函數(shù)性質(zhì)總結(jié)

1、北 京 四 中 函數(shù)的基本性質(zhì) 一、基礎(chǔ)知識梳理1、函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個給定區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1, x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間D上是增函數(shù)。如果對于定義域I內(nèi)某個給定區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1, x2，當(dāng) x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上的減函數(shù)。認知：函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的，它是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，不同于函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是對整個定義域而言的，是函數(shù)“整體”性質(zhì)；對某一函數(shù)y=f（x），它在某區(qū)間上可

2、能有單調(diào)性，也可能沒有單調(diào)性；即使是同一個函數(shù)它在某區(qū)間上可能單調(diào)增，而在另外一區(qū)間上可能單調(diào)減；對某一函數(shù)y=f（x），它在區(qū)間（a，b）與（c，d）上都是單調(diào)增（減）函數(shù)，不能說y=f（x）在（a，b）（c，d）上一定是單調(diào)增（減）函數(shù)；定義均為充要性命題,因此,在函數(shù)的單調(diào)性之下,自變量的不等關(guān)系與相應(yīng)函數(shù)值間的不等關(guān)系相互貫通:f(x)在D上為增函數(shù)且f( )<f( ) < ,且 , D;f(x)在D上為減函數(shù)且f( )<f( ) > , , D.單調(diào)性的定義,是判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性以及尋求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本依據(jù).應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性定義的解題三部曲為()設(shè)值定大

3、小:設(shè) , 為給定區(qū)間上任意兩個自變量值,且 < ;()作差并變形:作差f( )-f( ),并將差式向著有利于判斷差式符號的方向變形;()定號作結(jié)論:確定差值的符號,當(dāng)符號不確定時考慮分類討論,而后根據(jù)定義作出結(jié)論.在這里,差式的變形到位與否是解題成功的關(guān)鍵環(huán)節(jié),差式變形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,應(yīng)用最為廣泛的是分解因式.復(fù)合函數(shù)y=fg（x）的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即外層函數(shù)f（u）與內(nèi)層函數(shù)g（x）若具有相同的單調(diào)性，則y=fg（x）必定是增函數(shù)；若具有不同的單調(diào)性，則y=fg（x）必定是減函數(shù).討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：第一步，求

4、出復(fù)合函數(shù)的定義域；第二步，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，并判斷其單調(diào)性；第三步，把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；第四步，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性.2、函數(shù)的奇偶性： 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)則奇函數(shù)。對函數(shù)奇偶性定義的理解與運用應(yīng)注意以下方面：函數(shù)的定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件，所以判斷函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，首先看定義域是否關(guān)于原點對稱，如f(x)=x2，x(

5、-1,1，則f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有意義，則f(0)=0；奇偶性的定義是判斷函數(shù)奇偶性的依據(jù)，對于不易找到函數(shù)f(-x)和±f(x)關(guān)系時，常用以下等價形式： 當(dāng)f(x)0時，也可用 來判斷。例如：判斷函數(shù) 的奇偶性， 可由xR， 得f(x)為奇函數(shù)。f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0.可利用定義說明以下常見結(jié)論：奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性。定義在R上的任一函數(shù)f(x

6、)，可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。 其中 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。典型例題例1、研究二次函數(shù) 的單調(diào)性，并加以證明.分析：研究函數(shù)的單調(diào)性，首先得確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后討論函數(shù)在這個區(qū)間上是遞增還是遞減.從二次函數(shù) 的圖象可知，是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x=1，因此這個函數(shù)的定義域R分為（，1和1，+）兩個單調(diào)區(qū)間，在（，1）上遞減，在1，+）上遞增. 證明：設(shè)x1、x2是1，+）內(nèi)的任意兩個實數(shù)，且x1x2，則有f（x1）=2x124x11，f（x2）=2x224x21，f（x2）f（x1）=2（x22x12）4（x2x1）

7、=2（x2+x1）（x2x1）4（x2x1）=2（x2x1）（x1+x22）由于x1x2時，有x2x10，又由于x11，x21，有x1+x22，即x1+x220，所以f（x2）f（x1）=2（x2x1）（x1+x22）0，即f（x2）f（x1）.所以f（x）在1，+）上遞增.用同樣的方法可證明f（x）在（，1上遞減.點評：本題的研究方法是先觀察，其次對觀察結(jié)果進行證明.這是數(shù)學(xué)研究的基本方法.從觀察到證明的過程，也是從直觀的粗略性向精確性過渡的過程.對于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的單調(diào)性，有如下四種情況：（1）當(dāng)a0時，x（， ，f（x）為減函數(shù)；（2）當(dāng)a0時，x ，+），f（x）為

8、增函數(shù)；（3）當(dāng)a0時，x（， ），f（x）為增函數(shù)；（4）當(dāng)a0時，x ，+），f（x）為減函數(shù).例2、證明函數(shù) 在（1，）上為增函數(shù).分析：證明函數(shù)的增減性，先在定義域上取x1x2，然后作差f（x1）f（x2），判斷這個差的符號即可.證明：設(shè)x1、x2是（1，）上的任意兩個實數(shù)，且x1x2，則f（x1）f（x2）=x1+ （x2+ ）=x1x2+（ ）=x1x2 =（x1x2）（ ）x1x20，x1x210，x1x20，f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）.函數(shù)y=x 在（1，）上為增函數(shù).點評：俗話說“他山之石，可以攻玉”，可以應(yīng)用計算機技術(shù)，繪出這個函數(shù)的圖象（如圖所示），

9、這樣會有個直觀的認識，從而加深對這個函數(shù)的理解.例3、作出函數(shù)y=x22|x|3的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間.解：作函數(shù)圖象如下圖，由圖象可知，函數(shù)的單增區(qū)間為（，1）、（0，1）；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，0）、（1，）.例4、判定下列函數(shù)的奇偶性(1) (2) f(x)=ln(1+e2x)-x分析與解答：(1)函數(shù)定義域為-1，0)（0，1在定義域內(nèi)，原函數(shù)f(x)可化簡為 ， f(x)為奇函數(shù)。(2) 定義域為(-,+)， = ，f(x)為偶函數(shù)。點評：(1)先求函數(shù)定義域，并利用定義域化簡函數(shù)，便于判斷，否則，按以下判斷： 。就會得出f(x)是非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。(2)在對具體函數(shù)進行奇

10、偶性判斷時，常可通過“試數(shù)”方法猜測其奇偶性，再予以證明，證明過程中，應(yīng)先對函數(shù)進行化簡，以便于判斷。例5、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時， ，求f(x)在R上的完整表達式。分析與解答：首先f(0)=0當(dāng)x<0時，-x>0, 點評：已知函數(shù)在某一范圍的解析式，利用函數(shù)性質(zhì)，求其在其它區(qū)間上的解析式；或已知函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，研究它在其它區(qū)間上的單調(diào)性等問題，都要做到“求誰設(shè)誰”，即將所求范圍內(nèi)的變量設(shè)為x，或(x, y)，再利用對稱性等其它性質(zhì)，利用對稱區(qū)間的條件，來獲得x, y的函數(shù)關(guān)系。練： 的圖象上任一點為(x,y)，則點 在y=g(x)圖象上，求y

11、=g(x)的解析式。解：設(shè)y=g(x)圖象上任一點為 則點P(2x, 3y)在y=f(x)圖象上， ， 為所求。例6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(1) (2) y=|x|(1-x)(3) 分析與解答：可以通過引入中間變量u，將復(fù)合函數(shù)y=fg(x)拆分為 u=g(x)和y=f(u)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以通過u=g(x)和y=f(u)的單調(diào)性獲得，結(jié)果如下表，但實施時要首先考慮函數(shù)定義域。u=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增減減減增減減減增(1) x2-8x+7>0, x>7或x<-1當(dāng)x(-,-1)時，x，u=x2-8x+7, (-,-1)為單增區(qū)間；當(dāng)x(7,+)時，x,

12、 u=x2-8x+7, ,(7, +)為單減區(qū)間。(2)含絕對值的函數(shù)，可分情況討論，去掉絕對值符號因函數(shù)圖象易于畫出，所以畫圖（見左），直接讀出單調(diào)區(qū)間單增區(qū)間為 ，單減區(qū)間為（-，0和 。(3)可先化簡函數(shù)為 當(dāng) ，kZ時，即 時，x ， ， 當(dāng) ，kZ時，即 時，x， ， 單增區(qū)間為 ，kZ，單減區(qū)間為 ，kZ。評注：數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決，內(nèi)外層函數(shù)同向變化Þ復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化Þ復(fù)合函數(shù)為

13、減函數(shù)。例7、設(shè)函數(shù)f（x）在定義域R上是單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）， ），求：f（1）及f（ ）.分析：這里的函數(shù)f（x）沒有給出具體的解析式，要求f（1）的值，就需要對已知條件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y進行恰當(dāng)?shù)馁x值，于是令x= ，y=1，得f（1）=0.解：令x= ，y=1，得f（1）=0.f（ ）=1，f（ ）=2.例8、定義在（-2，2）上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時為減函數(shù)，若f(1-a)<f(a)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析與解答：f(x)為偶函數(shù)， f(x)=f(|x|)由f(1-a)<f(a)，有f(|1-a|)<f(

14、|a|) ，解得： 。點評：利用函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)法將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組，處理時，應(yīng)關(guān)注定義域條件，特別是利用奇偶性，將f(1-a),f(a)均化為f(|1-a|)、f(|a|)，從而利用x0的減函數(shù)性質(zhì)，獲得關(guān)于a的條件，巧妙地避開了對a的分類討論。例9、x0,1，不等式 恒成立，求a的取值范圍。分析與解答：將不等式的左端整理為關(guān)于x的函數(shù)，即 對x0,1恒成立， 只需fmin(x)>0f(x)可視為關(guān)于x的一次型函數(shù)，只需 ，即有 , .說明：（1）若函數(shù)f(x)=kx+b在a,b恒成立，限定方法有兩種：方法一：只需 方法二：只需 。利用f(x)為一次函數(shù)，故其最值存在，只能在

15、區(qū)間端點處取得，即若其兩端點值均大于零。（2）恒成立問題：常?？蓪⒑瘮?shù)整理為已給范圍的變量為自變量的函數(shù)的最值問題去處理。例10、設(shè)a>0， 是奇函數(shù)。（1）試確定a的值；（2）試判斷f(x)的反函數(shù)f-1(x)的單調(diào)性，并證明；（3）設(shè) （nN*）試比較f-1(n)與g(n)的大小。解析：（1）f(x)為奇函數(shù)， f(x)+f(-x)=0即 對定義域內(nèi)x均成立，解得a=1，即 ；（2）由 得 ， ， ， f-1(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)任取定義域內(nèi)x1,x2且x1<x2時，因 得 ，則 ， f-1(x1)<f-1(x2)，即f-1(x)為增函數(shù)。（3） ，則：f-1(1)

16、<g(1), f-1(2)<g(2), f-1(3)>g(3),假設(shè)f-1(k)>g(k)(k3)成立，即： 即2k>2k+1,則 。 f-1(k+1)>g(k+1)，綜上知，n3時，恒有 f-1(n)>g(n).評注：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，部分分式法的變形技巧及數(shù)學(xué)歸納法、邏輯推理能力等。例11、設(shè)函數(shù)定義在R上對任意實數(shù)m,n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1.(1)求證：f(0)=1且當(dāng)x<0時f(x)>1；(2)求證：f(x)在R上單調(diào)遞減；(3)設(shè)集合

17、A=(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1), B=(x,y)|f(ax-y+2)=1, aR，若ABÆ，求a的取值范圍。解：(1)取m>0,n=0，得f(m)=f(m)·f(0)，且f(m)(0,1), f(0)=1, 又對于x<0, f(x-x)=f(x)·f(-x), f(0)= f(x)·f(-x)，而-x>0, 即 f(x)>1.(2) 任取x1,x2R, 且x1<x2，f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)f(x2)，而 f(x2)>0(由題設(shè)及(1)， ， 故f(x1)>f(x

18、2), 則f(x)在(-,+)單調(diào)遞減。(3)由A得f(x2+y2)>f(1)及(2)知x2+y2<1,又由B得f(ax-y+2)=f(0)及(2)知ax-y+2=0.若ABÆÛ直線ax-y+2=0與圓x2+y2=1無公共點，則 ， 。例12、若f(x)=2x+1, , h(x)=-3x-1，設(shè)F(x)為f(x), g(x), h(x)中的較大者，求F(x)的解析式。解：在同一坐標(biāo)系中做出三個函數(shù)f(x), g(x), h(x)的圖象。由圖可知，F(xiàn)(x)的圖象就是圖中用 標(biāo)注的折線，令g(x)=h(x)，解出 ，即A點橫坐標(biāo)為 ，令f(x)=g(x)，解出 ,

19、即B點橫坐標(biāo)為 本周練習(xí)：1.函數(shù)f（x）=x22（a1）x2在（，4）上是增函數(shù)，則a的范圍是A.a5 B.a3 C.a3 D.a52.y=f（x）（xR）是奇函數(shù)，則它的圖象必經(jīng)過點A.（a，f（a）B.（a，f（a）C.（a，f（ ） D.（a，f（a）3.設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，）上是減函數(shù)，若x10且x1x20，則A.f（x1）f（x2） B.f（x1）=f（x2）C.f（x1）f（x2） D.f（x1）與f（x2）大小不確定4.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=x|x|，則f（x）A.既是奇函數(shù)，又是增函數(shù) B.既是偶函數(shù)，又是增函數(shù)C.既是奇函數(shù)，又是減函數(shù) D.既是偶函數(shù)

20、，又是減函數(shù)5.函數(shù)（1）y=|x|，（2）y= ，（3）y= ，（4）y= ，（5）y=x+ 中，在（，0）上為增函數(shù)的有A.（1）（2）（4） B.（2）（4）（5）C.（2）（3）（4） D.（3）（4）（5）6.已知函數(shù)f（x）=log2（x2ax+3a）在區(qū)間2，+）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A.（，4）B.（4，4）C.（，4）2，+） D.4，2）7設(shè)實數(shù)a-1,3, 函數(shù)f(x)=x2-(a+3)x+2a，當(dāng)f(x)>1時，實數(shù)x的取值范圍是（ ）A、-1,3 B、(-5,+) C、(-,-1)(5,+) D、(-,1)(5,+)8已知函數(shù) ，若函數(shù)g(x)的圖象與

21、函數(shù)f-1(x+1)的圖象關(guān)于y=x對稱，那么 的值等于（ ）。A、-1 B、-2 C、 D、 9已知函數(shù)f(x)定義域為R，則下列命題：y=f(x)為偶函數(shù)，則y=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱.y=f(x+2)為偶函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.若函數(shù)f(2x+1)是偶函數(shù)，則f(2x)的圖象關(guān)于直線 對稱.若f(x-2)=f(2-x)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.y=f(x-2)和y=f(2-x)的圖象關(guān)于x=2對稱.其中正確的命題序號是（ ）.A、B、 C、 D、10.函數(shù)y= 在區(qū)間（，a）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是A.（，0） B.（，1）C.0，）D.1，）11.

22、函數(shù)f（x）=2x23|x|的單調(diào)減區(qū)間是_。12.已知f（x）=x5ax3bx8，f（2）=10，則f（2）=_。13.若f（x）是偶函數(shù)，其定義域為R且在0，）上是減函數(shù)，則f（ ）與f（a2a1）的大小關(guān)系是_。14.函數(shù)y=x22ax+1，（1）若它的增區(qū)間是2，+），則a=_。（2）若它在區(qū)間2，+）上遞增，則a_。15如果函數(shù) 在(-2,+)是增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是_。16已知22-a-2<x<2a-2, 函數(shù)y=3x-3-x 是奇函數(shù)，則實數(shù)a=_。17已知奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2且g(b)=a ，則f(a)=_。

23、18. 已知f（x）是奇函數(shù)，在（0，）上是增函數(shù)，證明f（x）在（，0）上是增函數(shù).19.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由.（1）y= ；（2）y=x22|x|1.20.已知f（x）是奇函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)，且滿足f（1a）f（1a2）0，求實數(shù)a的范圍.21設(shè)f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且對任意a,b-1,1，當(dāng)a+b 0時，都有 。(1)若a>b,試比較f(a),f(b)的大小。(2)解不等式 (3)設(shè)P=x|y=f(x-c),Q=x|y=f(x-c2) 且PQ=Æ，求C的取值范圍。參考答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B7、C解析：反客為

24、主，視a為變量，函數(shù)表達式為y=(2-x)a+x2-3x, 由一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的圖象知，只需端點a=-1 及a=3時 y>1即可。由 , x>5或x<-1.8.A解析：由y=f-1(x+1）得f(y)=x+1, x=f(y)-1,f-1(x+1)的反函數(shù)為 y=f(x)-1，即g(x)=f(x)-1,9.By=f(x)是偶函數(shù)，而f(x+2)是將f(x)的圖象向左平移2個單位得到的，則f(x+2)的圖象關(guān)于x=-2對稱。y=f(x+2)為偶函數(shù)，則f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱。f(2x+1)是偶函數(shù)， f(-2x+1)=f(2x+1

25、), 則f(x)的對稱軸是x=1,f(2x)對稱軸是 。令x-2=t, 則2-x=-t，得 f(t)=f(-t), 則f(x)圖象關(guān)于y軸對稱。f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱，將f(x)與f(-x)的圖象分別向右平移2個單位得f(x-2)與f(2-x)的圖象，則對稱軸為x=2。10.B 11.0, （， ）12.-2613.f（a2a+1）f（ ）14.（1）2 （2）215. .16.a =217.解析：由f(x)+g(x)=ax-a-x+2，由奇偶性以-x代替x得：f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2 即 -f(x)+g(x)=a-x-ax+2與原式聯(lián)立得 ，所以g(b)=a=2, .18.解：設(shè)x1x20，則x1x20.f（x）在（0，）上是增函數(shù)，f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函數(shù)，f（x1）f（x2）.從而有f（x1）f（x2），f（x）在（，0）上是增函數(shù).19.解：（1）由題意32xx20，解得3x1，故函數(shù)y= 的定義域是3，1.32xx2=（x+1）2+4，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此函數(shù)在3，1上是增函數(shù)，在1，1上是減函數(shù).（2）由題意，y=x22|x|1= 它的圖象如圖所示，