CH可降階的二階微分方程PPT課件

1、1第1頁/共21頁2( )( ,)( ,)yf xyf x yyf y y 一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程降階法 第2頁/共21頁3( )yf x 一、型的微分方程 yx22yxdxxyc2xye22112xxye dxyec 21221214xxyecdxyec第3頁/共21頁4積積分分得得：對對)(xfy 1)(Cdxxfy 再次積分，得通解為: 21)(CdxCdxxfy 這種類型的方程的解法，可推廣到n階微分方程：)()(xfyn 只要連續(xù)積分n次, 就可得到這個方程的含有n個任意常數(shù)的通解. 解法：將 y視為新的未知函數(shù)，特點：.x等等式式右右端端僅僅含含有有自自變

2、變量量第4頁/共21頁5的通解的通解求微分方程求微分方程3sin2xeyx 解次，得次，得對所給方程連續(xù)積分兩對所給方程連續(xù)積分兩123cos321cxeyx 2123sin941cxcxeyx 第5頁/共21頁6 解 對所給方程接連積分三次 得 例 求微分方程ye2xcos x 的通解 這就是所給方程的通解 第6頁/共21頁7解法：令 ,特點：y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)pdxdpy 則則代入原方程, 得),(pxfp ),(1Cxp 其其通通解解為為：根據(jù)前面的變換又可得到一個一階微分方程：).,(1Cxdxdy 對它進行積分，即可得到原方程的通解：.),(21 CdxCxy 第7頁/共

3、21頁8,py 解解：設設xxepxp 1)(111cdxexeepdxxxdxx )()(11cexcdxexxx 于于是是有有：)(1cexypx 21)(cdxcexyx2212)1(cxcexx :代入方程得代入方程得則則py 的一階線性方程，有：的一階線性方程，有：是一關于是一關于p第8頁/共21頁9例例4 4 求解求解解 代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第9頁/共21頁10:,代代入入方方程程得得則則解解：設設pypy 12 ppx解此線性微分方程有：211122122cxxcdxexepdxxdxx 212cxcxy 所求通解為：所求通解為：212

4、1xcy xpxp12 或：或：第10頁/共21頁11特點：不顯含自變量x.解法：把y暫時看作自變量，并作變換： 問題：是否有 ？代入原式得 ？yp( , )pf y p ( ( )d ydyp y xpyppdxdx ypp第11頁/共21頁12特點：不顯含自變量x.解法：把y暫時看作自變量，并作變換： 由復合函數(shù)的求導法則有：.dydppdxdydydpdxdpy pp這樣就將原方程就化為 前式是一個關于變量y、p 的一階微分方程. 設它的通解為：這是可分離變量的方程，對其積分即得到原方程的通解：.),(21CxCydy 第12頁/共21頁13解,dPypppdy則代入原方程得 , 02

5、PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解為,1yCdxdy 例5第13頁/共21頁14dpypypppdy令解代入方程有，)1(2)(22 pdydpyppdydpyp1212 cypydypdp得得通通解解：解解方方程程：2(0)1(0)211yycpy，代入得，2121arctan1dyyydxyxcy 解得：)4tan(41arctan1)0(1 xycy第14頁/共21頁15練習練習 解初值問題解初值問題解 令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得第15頁/共21頁為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與

6、 x 軸圍成的三角形面二階可導, 且上任一點 P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,區(qū)間 0, x 上以解 于是在點 P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 .積記為( 考研 )第16頁/共21頁再利用 y (0) = 1 得利用得兩邊對 x 求導, 得初始條件為方程化為利用初始條件得得故所求曲線方程為第17頁/共21頁作業(yè)作業(yè)P396P3961 1（奇數(shù)），（奇數(shù)），2 2，3 3第18頁/共21頁一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點的經(jīng)過點)1,0(M且在此點與直線且在此點與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練 習 題第19頁/共21頁練習題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4