ch復合函數微分法PPT學習教案

1、會計學1ch復合函數微分法復合函數微分法，設設),(vufz ，而而),(yxu ),(yxv 則有復合函數則有復合函數),(, ),(yxyxfz 偏導數存在，偏導數存在，在點在點，如果如果),(),(),(yxyxvyxu 可可微微在在對對應應點點且且),(),(vuvufz 的的兩兩個個偏偏導導數數存存在在，在在點點則則復復合合函函數數),()1(yx) 1 (并且并且一一. . 鏈式法則鏈式法則 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 第1頁/共26頁uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ”“連連線線相相乘乘，分分線

2、線相相加加第2頁/共26頁。種種復復合合關關系系的的鏈鏈式式法法則則以以下下討討論論幾幾個個常常見見的的幾幾),(),(),(),()1(tszztsyytsxxzyxfu ，可可微微，而而若若存在偏導數，存在偏導數，則有則有szzusyyusxxusu tzzutyyutxxutu uxyzst第3頁/共26頁有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數，設設),()2(vufw ),(zyxuu 而而zyxvv,),(zyxzz wvxyzxvvwxuuwxwyvvwyuuwywzvvwzuuwzw都都存存在在偏偏導導數數，u第4頁/共26頁，有偏導數，有偏導數，設設),(yxfz ，而而)(txx 是是可可

3、導導函函數數，)(tyy 的的一一元元函函數數，是是關關于于則則有有ttytxfz) )(),(存在，存在，如果如果tzdd稱為稱為tyyztxxztzdddddd ）（3zxyt第5頁/共26頁上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz第6頁/共26頁)4()(),(),(yvyxuvufzzuvxyxuuzxzdydvvzyuuzyz第7頁/共26頁)5(),(),(yxuyxufzzuxyxy,xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區(qū)兩者的區(qū)別別區(qū)別類區(qū)別類似似口訣口訣 : 分段

4、用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 單路全導單路全導, 叉路偏叉路偏導導第8頁/共26頁，例例yxveuvuzyx 222)ln(1，求求yzxz 解解xz xvvzxuuz vuu 222yxe vu 21x2 vuu 22yeyx22 vu 21第9頁/共26頁yz yvvzyuuz vuu 22yeyx22 vu 21第10頁/共26頁及及，求，求，例例yuxuyxzyxuz 22)(2解解xu 1)( zyxzxzyxyxz )ln()(1)( zyxzxyxyxz2)ln()( yu 1)( zyxzyyxyxz2)ln()( 第11頁/共26頁，求，求，其中，其中設設例例xzxyx

5、yzdd132 解解xzddxz xyyzdd 2xy 211xxx yxy12 第12頁/共26頁的的可可微微函函數數，是是，其其中中設設例例xxvxuxuyxv)(),()(4)( ，且且0)( xu求求xyxudd1)( 解解xyddxvvyxuuydddd )(1xuuvv )(lnxvuuv 第13頁/共26頁具有一階連續(xù)具有一階連續(xù)且且，而，而設設例例fezxyzyxfux2sin),(5 求求xudd解解xuddxzzfxyyfxfdddd 1f 偏導數偏導數xfcos2 xef232 第14頁/共26頁6例例xzxzxy求求設設解解：xyu 令令則則uxuxfz),(xuufx

6、fxz yxxuxuuln1xyxxyxxyxyln1)ln1(xyxxyyz及及yz yuuf xxxulnxxxyln1第15頁/共26頁及及，求，求設設例例yzxzyxfxz)(722解解，引引入入22yxu ，則則)(ufxz xz )(uf xufx2)( )(2)(22222yxfxyxf yz yufx2)( )(222yxfxy 第16頁/共26頁，求求，設設例例zuyuxuxzyzxyfu ),),(arctan(82解解，引入引入)arctan(xy ，2yz ，xz 則則),( fu xu u2)(1xyy u)(2xz 21)(1xyyf 32fxz 第17頁/共26頁

7、yu u2)(1xyx u2z 21)(1xyxf 22fz zu uyz2 xu1 22fyz 31fx 第18頁/共26頁yzxzxyyxxyfz ,),(9，求求：設設例例解：解：xxyyxfxyxyyxyfxz ),(),( 2211 ),(fxyfyxyyxfx 221),(fxyxfxyyxyfxz 所以所以類似可得類似可得212),(yffyxxyyxxfyz 第19頁/共26頁 當當),(yxu 、),(yxv 時，有時，有dyyzdxxzdz . 由鏈式法則，得由鏈式法則，得dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz 第20頁/共26頁 dyyudxxu

8、uz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 全微分形式不變形的實質全微分形式不變形的實質： 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間變量的函數或中間變量 的函數，它的全微分形式是一樣的的函數，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、第21頁/共26頁全微分的運算法則全微分的運算法則uccud)d()1( vuvudd)d()2( uvvuuvdd)d()3( 2ddd)4(vvuuvvu ，求，求設設例例yzxzeyxzxy )(1022解解zd)(d22xyeyx xyxyeyxyxed)()(d2222 )d2d2(yyxxexy )d()(22xyeyxxy )d2d2(yyxxexy )dd()(22xyyxeyxxy 第22頁/共26頁xz ，)2(32xyyxexy yz )2(23yxyxexy yyxyxexxyyxexyxyd)2(d)2(2332 及及試求試求，設設例例uzuyuxuyexyzyxfuzd,),(1022 解解ud)d(221yxf )(d2xyzf )(d3zyef 第23頁/共26頁)d2d