ch函數(shù)極限定義與性質PPT學習教案

1、會計學1ch函數(shù)極限定義與性質函數(shù)極限定義與性質幾何解釋幾何解釋:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使推論推論).,(),( aUxaUaaxnn 只只有有有有限限多多項項鄰鄰域域的的任任一一對對收收斂斂于于數(shù)數(shù)列列定義N12/8/2021第1頁/共58頁1.有界有界性性(全局性）全局性）定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必

2、要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .12/8/2021第2頁/共58頁2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .3.3.子列的收斂性子列的收斂性定理定理3 3 如果如果數(shù)列收斂，則它的任一個子數(shù)列數(shù)列收斂，則它的任一個子數(shù)列也收斂，且極限相同也收斂，且極限相同. .limlimlim 4212axxaxnnnnnn 定定理理12/8/2021第3頁/共58頁一、自變量的變化過程一、自變量的變化過程二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限三、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 新

3、課新課 第一章第一章 12/8/2021第4頁/共58頁.,0 . 1xxx記為記為無限增大無限增大且且2. x 0有定義有定義 , 對對任意給定的無論任意給定的無論多么小的正數(shù)多么小的正數(shù) ,總總存在正數(shù)存在正數(shù) X , 當當 x X 時，時， 恒有恒有 | f(x) A| ， 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當當 x+ 時的極限時的極限 .1. x + 時時 f (x) 的極限的極限. )()(,)(lim xAxfAxfx或或者者記記為為定義定義X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當lim( )xf xA0nnnxANZnNxAlim, ,. 使使恒恒

4、有有定義N當當 時時12/8/2021第8頁/共58頁幾何意義幾何意義.2,)(,0, 0的帶形區(qū)域內的帶形區(qū)域內寬為寬為為中心線為中心線落在以直線落在以直線圖形完全圖形完全函數(shù)函數(shù)時時當當對對 AyxfyXxX xxysin XAsinlim0 xxAx 定義定義X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當lim( )xf xA12/8/2021第9頁/共58頁2. x - - 時時 f (x) 的極限的極限定義定義 設設 f(x) 在在 x 0有定義有定義 , 對對任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) ,總總存在正數(shù)存在正數(shù) X , 當當 x- - X 時，恒有時，恒有| f(x)

5、 A| ，則，則稱常數(shù)稱常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當當 x- - 時的極限時的極限 .lim( ),( )().xf xAf xA x 或或者者定義定義X 記為記為 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當定義定義X .|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當lim( )xf xA無論多么小無論多么小12/8/2021第10頁/共58頁幾何意義幾何意義.2,)(,0, 0的帶形區(qū)域內的帶形區(qū)域內寬為寬為為中心線為中心線落在以直線落在以直線圖形完全圖形完全函數(shù)函數(shù)時時當當對對 AyxfyXxX xxysin X Asinlim0 xxAx

6、定義定義X Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當12/8/2021第11頁/共58頁 Axfx)(lim.)(,|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當3. x 時時f(x)的極限的極限 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理：定理：幾何意義幾何意義注注否否 Axfx)(lim.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當.|)(|, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當lim( )xf xA12/8/2021第12頁/共58頁xxysin 幾何意義幾何意義.2,)(,的帶形區(qū)域內的帶形區(qū)域內寬為寬為為中

7、心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXx X XAlim( )xf xA 0, 總總存在正數(shù)存在正數(shù) 0,只要只要 f 的定義域中的點的定義域中的點 x 滿足滿足0|x x0| 時，恒有時，恒有 |f(x) A| 0 ?不能不能! 200 limxx 如如12/8/2021第35頁/共58頁定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設。 推推論論).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且

8、設設。 ., 0)(即為前面的定理與推論即為前面的定理與推論若若 xg由此也可證由此也可證“極限的唯一極限的唯一性性”?不能不能! 222 ( ), ( )f xxg xx如如0af(x)=b存在的充要條件存在的充要條件是是:對屬于函數(shù)對屬于函數(shù)f(x)定義域的任意數(shù)列，定義域的任意數(shù)列，且且limn-an = a，ana，有，有l(wèi)imn-f(an)=b。海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限則可化為求數(shù)列極限，根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限則可化為求數(shù)列極限，同樣求數(shù)列極限也可轉化為求函數(shù)極限。同樣求數(shù)列極限也可轉化為求函數(shù)

9、極限。 因此，函數(shù)極限的所有性因此，函數(shù)極限的所有性 質都可用數(shù)列極限的有關性質質都可用數(shù)列極限的有關性質來加以證明。根據(jù)海涅定理的必要重要條件還可以判斷函數(shù)極限來加以證明。根據(jù)海涅定理的必要重要條件還可以判斷函數(shù)極限是否存在。所以在求數(shù)列或函數(shù)極限時，海涅定理起著重要的作是否存在。所以在求數(shù)列或函數(shù)極限時，海涅定理起著重要的作用。用。 海涅定理是德國數(shù)學家海涅（海涅定理是德國數(shù)學家海涅（Heine）給出的，應用海涅定）給出的，應用海涅定理人們可把函數(shù)極限問題轉化（歸結）成數(shù)列問題，因而人們又理人們可把函數(shù)極限問題轉化（歸結）成數(shù)列問題，因而人們又稱它為歸結原則。稱它為歸結原則。12/8/20

10、21第54頁/共58頁M-Myxoy=f(x)I有界有界0,( ),MxIf xM 若若有有成成立立則稱則稱 f(x) 在在I 上上有界有界.若這若這M不存在，則稱不存在，則稱 f(x)在在 I 上上無界無界.例：例：1( )(1,2) ?f xx 在在上上有有界界 ( )sin ?在在上上f xxR有界有界( )tan(,) ?2 2f xx 在在上上無界無界1121/2oxy1yx 補充知識補充知識函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:設設f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義v 12/8/2021第55頁/共58頁 設設 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 內有定義內有定義, ,若若 M1 和和 M2 使使x I, 都有都有 M1 f(x) M2 , 則稱則稱 f(x) 在在 I 內有內有界界, ,而而M1和和 M2稱為稱為f(x)在在 I 上的一個上的一個下界下界和一個和一個上界上界. .M-Myxoy=f(x)I有界有界0,( ),MxIf xM 若若有有成成立立則稱則稱 f