初一數(shù)學(xué).秋.直升班.教師版.第1講絕對值的化簡和幾何意義

1、第一講絕對值的化簡和幾何意義模塊一絕對值的基本概念（ 1）非負(fù)性： | a |0 （補充： a20）（ 2）雙解性： | a |b(b0) ，則 ab a(a0)（ 3）絕對值的代數(shù)意義：| a |0(a0)a(a0)a(a 0)a(a0)（常用） | a |(a或 | a |a (a0)a0)變式結(jié)論： 若 | a |a ，則 a0 ；若 | a |a ，則 a0 對應(yīng)題型： 絕對值的化簡方法：判斷“ | | ”里面整體的正負(fù)性易錯點： 求一個多項式的相反數(shù)對應(yīng)策略： 求一個多項式的相反數(shù)即求多項式中每個單項式的相反數(shù) ab 的相反數(shù)是 ab ； abc 的相反數(shù)是abc ； a1 b3 的

2、相反數(shù)a1 b3 22模塊二零點分段法（目的：去無范圍限定的絕對值題型）零點： 使絕對值為0 的未知數(shù)值即為零點方法：尋找所有零點，并在數(shù)軸上表示；依據(jù)零點將數(shù)軸進(jìn)行分段；分別根據(jù)每段未知數(shù)的范圍去絕對值易錯點： 分類不明確，不會去絕對值化簡： | x 1| | x2 | 零點為 1， 2，故將數(shù)軸分為3 個部分，即 x1 ， 1 x 2 ， x 2 當(dāng) x1 時，原式2x3 ；當(dāng) 1x2 時，原式( x1)( x 2) 1 ；當(dāng) x2時，原式2x 3模塊三幾何意義| x | 的幾何意義： 數(shù)軸上表示數(shù)x 的點與原點的距離；| xa | 的幾何意義： 數(shù)軸上表示數(shù)x 的點與數(shù) a 的點之間的距

3、離；| x a | | x b | 的幾何意義： 數(shù)軸上表示數(shù) x 的點與數(shù) a、 b 兩點的距離之和基本結(jié)論： 令 a1 a2a3 an ，| x a1 | | x a2 | | xa3 | + | x an |方法： 直接套用幾何意義畫數(shù)軸當(dāng) n 為奇數(shù)時，當(dāng) xan 1 時取最小值；2當(dāng) n 為偶數(shù)時，當(dāng)a nxa n 1 時取最小22值舉例： | x1|=| x( 1) | 表示 x 到1 的距離 | x 1| | x 2| 表示 x 到 1和 x 到 2 的距離之和 | x1| x2 | 表示 x 到1和 x 到2的距離之差常見變形： | x1|2 | x3|3| x4 | 在 3x

4、4時取得最小值1x 111x13| x 2| 2| x 3|236在 x2 時取得最小值 | x1| x2 | 既有最小值也有最大值模塊一絕對值的基本概念例 1（ 1）已知 ( x3)2| y2|= 0 ，則 xy_ （ 2）若 | x y3| 與 | xy1999 | 互為相反數(shù)，求xy 的值是xy（ 3）已知 ( ab) 2| b5|b 5 ，且 | 2 a b 1|0 ，那么 ab_（ 1） ( x3) 2| y2 | 0 ， x3， y2 原式1 9（ 2）原式1999 b)23（ 3） (a| b 5| b 5 ， b 50 ， a b 0又 | 2ab 1|0 ， 2ab 1 0，

5、解得 a1 ， b1 ， ab1 339【教師備課提示】這道題主要講解回顧絕對值的非負(fù)性和平方的非負(fù)性例 2（ 1）若 | x | 3 ，| y | 2，且 xy ，求 xy 的值是（ 2）已知 | a | 5， | b |3 ，且 | ab | ba ，求 ab 的值是 _（ 3）若 a， b， c 為整數(shù)，且 | ab | 2016| c a | 20161 ，則 | c a | | a b | | bc | 的值是 _（ 1）5 或 1；（ 2） 8或 2；（ 3） a 、 b 、 c 均為整數(shù)， | ab | ， | ac |均為非負(fù)整數(shù)，只能有 | a b |0 ， | a c |1

6、 或者 | ab | 1 ， | a c | 0 當(dāng) | a b |0 ， | ac| 1 時， ab ， |bc | | a c | 1，此時， | ab | | bc | | c a |01 12 當(dāng) | a b |1 ， | ac | 0 時， ac ， |bc | | b a | 1，此時， | ab | | bc | | c a |11 02 故總有 | a b | | b c | | c a | 2 【教師備課提示】這道題主要考查絕對值的雙解性例 3（ 1）化簡：11111120042003200320021003_1002（ 2）若 x 22015 ，則 | x | x 1| |

7、 x 2 | | x3| | x2016（ 3 ） a ， b ， c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：| a | | b | | c | b a | | ca | | b c | （ 4）已知數(shù)a， b，c 的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式： b a ( c) 0 ； ( a)b c 0 ； ab| c | 1 ； bca 0 ；| a | b |c | ab | | cb | | a c |2b 其中正確的有4| x5|ba0cb0ac（ 1）原式=111111111200320042002200310021003100220042004（ 2）由于2 x3 ，故原式xx 1 x2 3x 4

8、x5 x9 （ 3）原式3a3b c （ 4）【教師備課提示】這道題主要考查絕對值的化簡，去絕對值模塊二零點分段法例 4化簡：（ 1） | x1| | x2 |（ 2） | x 5| | 2x 3|（ 3） | x1| | x2 | x 3|（ 4） | x 1| 2 | | x 1|（ 1）零點為1， 2，故將數(shù)軸分為3 個部分，即x 1， 1 x2 ， x 2 當(dāng) x1時，原式( x1)(x2)2x3 ；當(dāng) 1x2時，原式( x1)( x2)1 ；當(dāng) x2時，原式(x1)( x2)2x3 2 x3， x 1即原式=，1x212x 3， x2（ 2）零點為5 ， 3 ，故將數(shù)軸分為3 個部分

9、，即 x5 ， 5x3 ， x3 當(dāng) x52( x5)(2 x3)x8 ；22時，原式當(dāng) 5x3 時，原式(x5)(2 x 3)3x2 ；2當(dāng) x3 時，原式( x5)(2 x3)x8 2（ 3）零點為1， 2， 3當(dāng) x1時，原式( x1)( x2)( x3)3 x6 ；當(dāng) 1x2時，原式(x 1)( x2)(x3)x4 ；當(dāng) 2x3 時，原式(x1)(x2)(x3)x ；當(dāng) x3時，原式(x1)(x2)(x3)3x6 （ 4）先找零點由 x 10 得 x1；由 | x 1|2 0 得 x1 或 x3 ；由 x10得 x1 所以零點共有 1，1，3三個，故將數(shù)軸分為4 個部分當(dāng) x1時，原式

10、|( x1)2 |( x1)x1x12x2 ；當(dāng)1x1 時，原式|(x1)2 |(x1)x1x12 x2 ；當(dāng)1x3時，原式| (x1)2 |( x1)3xx14 ；當(dāng)x3 時，原式| ( x1)2 | ( x 1) x3x12x2 【教師備課提示】這道題主要考查零點分段法去絕對值例 5求 y| x1| x5| 的最大值和最小值零點為5 ，1當(dāng) x5時， y(x1)( x5)6 ；當(dāng)5x1時， y(x1)( x5)2x 4 ，有 6y 6 ；當(dāng) x1時， y ( x1)(x5)6 故最大值為6，最小值為6 【教師備課提示】這道題主要考查零點分段法去絕對值的作用，求最值模塊三絕對值的幾何意義例

11、6規(guī)律探究和應(yīng)用：（ 1）數(shù)軸上表示4 和 1 的兩點之間的距離是；表示3 和 2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m 和數(shù) n 的兩點之間的距離等于；如果表示數(shù)a 和2 的之間的距離是 3，那么 a（ 2）若數(shù)軸上表示數(shù)a 的點位于4與 2之間，求 | a 4 | | a2|的值（ 3）當(dāng) a 取何值時， | a 5| | a1| a4 | 的值最小，最小值是多少？（ 4）求 | a 1| | a2 | +| a100 | 的最小值，并求出此時a 的取值范圍 （ 1） 3； 5； | mn | ；5 或 1（ 2） | a4 | a2 |6 （ 3） | a5| a1| a4 | 最小值

12、為 9，在 a1 時取得最小值（ 4）當(dāng) 50a51 時，原式有最小值，代數(shù)式的值為2500例 7已知5 x 7 ，求x 取何值時| x1| x3| 取最大值與最小值9| x1| | x 3| 表示 x 到點 1 和 3的距離差，畫出數(shù)軸，可得當(dāng) x7 時兩者的距離差最小為32 ，即 (| x 1| x3|) min32 ；999當(dāng)5 x 3 時，兩者的距離差最大為4，即 (| x 1| | x 3|) max4例 8（ 1）求 2 | x1| x2|的最小值及此時 x 的取值（ 2）求 3| x1|2| x4| x2| 的最小值及此時x 的取值（ 3）求 | x1| 2x3| 3x4| 的最

13、小值及此時x 的取值（4）求 |1x1|1x2 |1x 3| 的最小值及此時 x 的取值234（ 1）中位項為 | x1| ，故 x1，最小值為 1（ 2）中位項為 | x1| 和 | x2|，故1 x 2 ，最小值為 13（ 3）原式 | x 1|2 | x3|3| x4| ，中位項為 x44，最小值為2 ，故 x23333（ 4）原式 1 | x 2 |1 | x6 | 1 | x12 |2341 (6 | x 2 | 4 | x 6| 3| x 12 | ) ，12括號里的中位項為| x6 | ，故 x6 ，最小值為 7 2【教師備課提示】例 6例 8 主要考查絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合

14、的思想復(fù)習(xí)鞏固模塊一絕對值的基本概念演練 1（ 1）已知 | x( 2)| y 3| z | 0 ，則 xyz.（ 2） | a 1| b2 |0 ，求( ab)2016(ab)2015(a b) 2ab（ 3）已知222| x1|(x22)|x33 |(x44). |x20152015 |x(20162016) = 01，求111.1的值x1 x2x2 x3x3x4x2015x 2016（1）1（ 2） | a1| b（ 3）由 | a | 0 ， a2則 11x1 x2x2 x3演練 22 | 0 ， a1， b2， a b1，則原式 00 可知， x11 ， x22x20162016，1

15、11112015x2015 x20161 223201512016.20162016（ 1）已知 | x | 4 ， | y |6 ，則| x y | 的值為（ 2）已知 | a | 1， | b |2 ， | c |3 ， a b c ，則 (ab c) 2（ 1）2 或 10（ 2）由 abc知只能有 a1， b2 ， c3 ，故原式0 或 4 演練 3（ 1）（樹德半期）a， b， c 在數(shù)軸上的位置如圖3-1 所示，化簡： | a | b | c | ba1| ca2 | bc | （ 2）已知 a、b、c 在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖3-2 所示，化簡：| a | a b | c a | |

16、 b c |cb0a圖 3-1圖 3-2（ 1）3a3bc1；（ 2） 3a2c 模塊二零點分段法演練 4化簡：（ 1） | x5| 2x3|（2） | x1|3|（ 1）先找零點 .x50， x5 ；2x30 ， x3 ，零點可以將數(shù)軸分成三段當(dāng) x 3 ， x 520 ， 2x3 0 ， | x 5| | 2 x3| 3 x 2 ；23 ， x當(dāng) 5 x5 0 ， 2x 30 ， | x 5| 2x 3| 8 x ；2當(dāng) x5 ， x 50 ， 2x3 0 ， | x 5| | 2 x 3|3x 2 （ 2）先找零點由 x 10 得 x1；由 | x1|3 0 得 x4 或 x 2 所以零點共有4 ，1， 2三個，故將數(shù)軸分為4 個部分當(dāng) x4 時，原式|( x1) 3| x4 |x4 ；當(dāng) 4x1時，原式|(x1)3| x4 |x4 ；當(dāng) 1x2時，原式| ( x1)3| x2 |2x ；當(dāng) x2 時，原式| ( x1)3| x2 |x2 模塊三絕對值的幾何意義演練 5試求 | x1| x2| x1996 | 的最小值| x 1| | x 2 | x1996 | 表示 x 到 1， 2， ， 1996的距離和 .中間的兩點代表的數(shù)是 998、 999，所以當(dāng)998 x 999時，原式有最小值；我們可以取 x998，原式 997 9961012998