高等代數(shù)課件(北大版)第八章 λ-矩陣§8.6

1、2021-12-8數(shù)學與計算科學學院數(shù)學與計算科學學院數(shù)學與計算科學學院若當塊若當塊 00000000100000001n nj 的初等因子是的初等因子是 0.n 數(shù)學與計算科學學院00000000100000001n nej 00.nej此即此即 的的 級行列式因子級行列式因子. 0ej n又又 有一個有一個 級子式是級子式是 0ej 1n 數(shù)學與計算科學學院 01010001001001001n 所以所以 的的 級行列式因子為級行列式因子為1. 0ej 1n 從而，從而， 的的 級行列式因子皆為級行列式因子皆為1.0ej 2,2,1n 0j 的不變因子是的不變因子是: 1101,.nnnd

2、dd 故故 的初等因子是的初等因子是: 0j 0.n 數(shù)學與計算科學學院若當形矩陣若當形矩陣 12,sjjjj 其中其中 000100000001iiiiiiikkj 則則j 的全部初等因子是：的全部初等因子是： 1212() , () , () .skkks數(shù)學與計算科學學院證：證： 的初等因子是的初等因子是 () ,1,2,ikiisijiej 與矩陣與矩陣 等價等價. 111iki 于是于是 12sejejejej 數(shù)學與計算科學學院與矩陣與矩陣 d 1212111111skkks 等價等價. 由定理由定理9， 的全部初等因子是：的全部初等因子是： j1212() , () , () .

3、skkks數(shù)學與計算科學學院初等因子唯一確定初等因子唯一確定. .完全被它的級數(shù)與主對角線上的元素完全被它的級數(shù)與主對角線上的元素 所刻劃，所刻劃，0 而這兩個數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子而這兩個數(shù)都反應(yīng)在它的初等因子 上上. .0()n 可見，每個若當形矩陣的全部初等因子就是它可見，每個若當形矩陣的全部初等因子就是它的全部若當塊的初等因子構(gòu)成的的全部若當塊的初等因子構(gòu)成的. . 由于每個若當塊由于每個若當塊因此，因此，若當塊被它的初等因子唯一決定若當塊被它的初等因子唯一決定. .從而，若當形矩陣從而，若當形矩陣除去其中若當塊的排序外被它的除去其中若當塊的排序外被它的數(shù)學與計算科學學院（定理定理10

4、）每一個復(fù)矩陣）每一個復(fù)矩陣a都與一個若當形矩陣都與一個若當形矩陣相似，且這個若當形矩陣除去若當塊的排序外是相似，且這個若當形矩陣除去若當塊的排序外是 被矩陣被矩陣a唯一決定的，它稱為唯一決定的，它稱為a的若當標準形的若當標準形.1.數(shù)學與計算科學學院證：若證：若n 級復(fù)矩陣級復(fù)矩陣a的全部初等因子為的全部初等因子為: （*） 1212() , () , () .skkks （其中（其中 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) 12,s 12,sk kk也可能相同的）也可能相同的）.每一個初等因子每一個初等因子 對應(yīng)于一個若當塊對應(yīng)于一個若當塊 ()iki 000100,1,2,000001ii

5、iiijis 數(shù)學與計算科學學院令令 12sjjjj 則則 j 的初等因子也是（的初等因子也是（*），），故故j 與與a相似相似. 即即j與與a有相同的初等因子有相同的初等因子.數(shù)學與計算科學學院變換，在變換，在 v中必定存在一組基，使中必定存在一組基，使 在這組基下在這組基下 的矩陣是若當形矩陣，并且這個若當形矩陣除去的矩陣是若當形矩陣，并且這個若當形矩陣除去2.定理定理10換成線性變換的語言即為換成線性變換的語言即為（定理定理11）設(shè)是復(fù)數(shù)域上）設(shè)是復(fù)數(shù)域上n維線性空間維線性空間v的線性的線性 若當塊的排序外是被唯一確定的若當塊的排序外是被唯一確定的. 數(shù)學與計算科學學院的初等因子全是一次

6、的的初等因子全是一次的.a3.特殊情形特殊情形（定理定理12）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 a與對角矩陣相似與對角矩陣相似的不變因子沒有重根的不變因子沒有重根.a（定理定理13）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 a與對角矩陣相似與對角矩陣相似數(shù)學與計算科學學院4.n 階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣a的最小多項式就是的最小多項式就是a的最后一個的最后一個不變因子不變因子.( )nd 證：設(shè)證：設(shè)a的若當標準形是的若當標準形是12,sjjjj 1.siinn 其中其中 000100,000001iiiiiiinnj 數(shù)學與計算科學學院 ,1,2, .iniis 由一知，的最小多項式是由一知，的最小多項式是ij由不變因子與初等因子的關(guān)系知，由不

7、變因子與初等因子的關(guān)系知，1212( )() , () , ().skkknsd由由7.97.9中引理中引理3 3之推論之推論知，知，( )nd 為為a的最小多項式的最小多項式.又相似矩陣具有相同的最小多項式與不變因子，又相似矩陣具有相同的最小多項式與不變因子，所以，所以，a的最小多項是它的最后一個不變因子的最小多項是它的最后一個不變因子( ).nd 數(shù)學與計算科學學院例例1、求矩陣、求矩陣a的若當標準形的若當標準形. 解：解： 11 233 622 4a 112336224ea 211220 220 21210 2202 數(shù)學與計算科學學院21 000 0202 1 00000 02 a的初等因子為的初等因子為 ,2 . 故故 a的若當標準形為的若當標準形為 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 數(shù)學與計算科學學院求求a的若當標準形的若當標準形. 例例2、已知、已知12級矩陣級矩陣a的不變因子為的不變因子為 2222291,1,1,(1) ,(1)1 ,11 (1) 個個 解：依題意，解：依題意，a的初等因子為的初等因子為 2221,1,1,1 , 221 ,ii數(shù)學與計算科學學院a的若當標準形為的若當標準形為 1 01 11 01 11 01 1