4高考本源探究之平面解析幾何

1、平面解析幾何一、思維方法結(jié)構(gòu)圖平面解析幾何是中學數(shù)學中獨具特色的一門學科.它的學科思想是用代數(shù)方法解決幾何問題. 解析幾何課教學的根本任務(wù)就是要引導學生能深刻領(lǐng)會“平面解析幾何”的學科思想，把握“平面解析幾何”這門學科的思維方法. 在平面解析幾何的綜合性問題的教學中，要突出解析幾何的研究問題的一般方法，要能夠明確用代數(shù)方法解決幾何問題的幾個關(guān)鍵的步驟：（1）要能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對象的幾何特征.從兩個方面去分析：對于單個的幾何對象，要研究它的幾何性質(zhì)，對于不同的幾何對象，要關(guān)注它們之間的位置關(guān)系.再此基礎(chǔ)上做出圖形，直觀地表達出所分析出來的幾何對象的幾何特征；（2）在明確了幾何對象的幾

2、何特征的基礎(chǔ)上，要進行有效的、合理的代數(shù)化.包括幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要研究問題的目標進行代數(shù)化等；（3）進行代數(shù)運算.包括解所聯(lián)系的方程組、消去所引進的參數(shù)、運用函數(shù)的研究方法解決有關(guān)的最值問題，等等.（4）根據(jù)經(jīng)過代數(shù)運算得到的代數(shù)結(jié)果，分析得出幾何的結(jié)論.平面解析幾何綜合題的教學，要能夠教出味道，教出東西來.讓學生在解決問題的過程中去體會平面解析幾何的基本思想，掌握平面研究解析幾何問題的一般方法.而要實現(xiàn)這個目標，教師就要打破模式化的束縛，從解決問題的思維層面去引導學生思考問題與解決問題，要讓學生能夠從學科的思維方法角度理解解題的環(huán)節(jié).這種理性地認識我們的解題過程，才能夠

3、真正地讓學生們掌握研究問題的方法，在教學中的教的邏輯才能夠得以實施，學的邏輯也才能夠讓學生理解和接受.二、例題1.已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最大值為 2.如何理解：“直線通過點”？3. 如果圓C:總存在兩點到原點距離為1，求實數(shù)的取值范圍. 4.在平面直角坐標系中，點，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.5.過定點M（4，2）任作互相垂直的兩條直線和，分別與x軸、y軸交于A,B兩點，線段AB中點為P，求的最小值.6. 滿足條件的三角形的面積的最大值 7.直線與圓相交于、兩點（其中是實數(shù)），且是直角三角形(是坐標原點)，則點與點之間距離的最大值

4、為（ ）A B C D 8.如圖，線段，點在線段上，且，為線段上一動點，點繞點旋轉(zhuǎn)后與點繞點旋轉(zhuǎn)后重合于點.設(shè)， 的面積為.則的定義域為 ； 的零點是 . 9.已知點,. 若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點的個數(shù)為 10. 直線與圓交于兩點，且關(guān)于直線對稱.求 的值. 11.雙曲線，右支上一點M，的內(nèi)切圓與x軸切于P點，則的值是 12. 直線與圓的位置關(guān)系是 13.設(shè)關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點，滿足，求得的取值范圍是A B CD14. 若實數(shù)滿足，則的最小值是 .15 點P在左右焦點分別為的雙曲線上，若則= 16已知橢圓的左右焦點分別為,點P在橢圓上，若P，是一個直角三角形的

5、三個頂點，則點P到軸的距離為 17.已知橢圓C:.確定的取值范圍，使得對于直線，C上有兩個不同的點關(guān)于該直線對稱. 18. 拋物線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍.19.已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1.（）當直線過點時，求直線的方程;（）當時，求菱形面積的最大值.20.設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，設(shè)為直線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi).21. 已知：在上，直線傾斜角為，且.證明直線過定點. 22. 已知橢圓.設(shè)為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，試判斷與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.23.已知W: （），若 A，B

6、是W上的不同兩點，O 是坐標原點，求·的最小值.三、如何教會學生解決數(shù)學問題的方法如何找到解決數(shù)學問題的方法呢.過去我強調(diào)比較多的是解決數(shù)學問題的一般方法，但是這樣的闡述就解決數(shù)學問題而言還不是全面的.我曾經(jīng)的一個觀點是解決數(shù)學問題的方法越少越好，就是針對解決數(shù)學問題的一般方法而言的.但是解決數(shù)學問題只靠一般方法就能解決嗎？換句話說，解決數(shù)學問題的一般方法是解決哪個方面的問題？為什么叫一般方法或通性通法呢？我們常見的數(shù)學問題（這里專指學生做的數(shù)學題目）都包含兩個要素：一個是這個問題中涉及到的研究對象，如函數(shù)的解析式、曲線方程、空間幾何體、數(shù)列的通項等，這個對象不一定是一個，也許是兩個

7、或更多；還有一個要素是針對研究對象所提出來的需要解決的具體問題.因此，要解決一個數(shù)學問題，首先就要對數(shù)學問題的對象（也可以稱之為數(shù)學問題的主體）進行研究.要研究單個對象的屬性、性質(zhì)以及兩個及以上對象之間的關(guān)系.如：對于一個函數(shù)要研究其所有的性質(zhì)；對于兩個函數(shù)不僅要研究它們各自的性質(zhì)，還要研究它們的代數(shù)關(guān)系；同樣，對于兩個幾何對象也要研究它們之間的位置關(guān)系，等等.這種方法是研究問題主體的性質(zhì)、屬性及關(guān)系的，也是解決任何一個數(shù)學問題都需要面對的并加以解決的.從這個意義上來說，這種研究數(shù)學問題的方法就是一般方法、通性通法.解決針對這個研究對象的具體問題的方法是怎么得到的呢？在教學實踐中，教師經(jīng)常會結(jié)

8、合例題來講解決問題的方法，通常是對數(shù)學問題分類，針對不同類型的問題對應(yīng)著不同的方法進行教學.為了讓學生能夠熟練地掌握老師教給的方法，常常需要通過一定量的練習、考試等手段達到教學目的.在這種理念下進行的教學，教師不太關(guān)注解決數(shù)學問題的方法是如何得到的，而是把教學的重點放在了學生會不會熟練運用方法去解決問題. 課堂上如果涉及這個方法是從哪里來的時候，教師經(jīng)常會說和這個問題類似的我們什么時候做過、上周我們講過，所以解決這個問題的方法是什么等等.這種說辭掩蓋了解決數(shù)學問題方法的本質(zhì)，就是說方法是老師教的，只要會用就夠了.如此，在學生的數(shù)學思維中，關(guān)于方法的思維活動就變得缺乏邏輯，數(shù)學教學就很容易演變成

9、對解題方法熟練運用的教學，解決數(shù)學問題的思維活動越來越偏離數(shù)學學科的本質(zhì).我認為，解決數(shù)學具體問題的方法是數(shù)學問題的研究對象的性質(zhì)及關(guān)系轉(zhuǎn)化而來的，是對研究對象的性質(zhì)及關(guān)系研究之后并深刻理解的基礎(chǔ)上得到的. 這種方法不是前面我們所說的一般方法，而是在運用一般方法之后的解決具體數(shù)學問題的具體方法.學生要體會到：這種具體方法不是老師告訴的，這樣的方法沒有套路可循，這樣的方法是學生自己根據(jù)對問題對象的性質(zhì)及關(guān)系的研究基礎(chǔ)上找到的.如果不分析研究對象的性質(zhì)及關(guān)系，就不會有解決數(shù)學具體問題的具體方法.這樣，我們就看到解決數(shù)學問題的方法實際上是兩個方法，即一般方法和具體方法.一般方法不多，但是，由于對數(shù)學具體問題分理解不同，對研究對象的性質(zhì)和關(guān)系運用的角度不同，就出現(xiàn)了各種各樣的具體方法.但是，有經(jīng)驗的數(shù)學教師會從多種多樣的具體方法中提煉概括，讓學生感受到這些具體方法都是來源于問題對象的性質(zhì)或關(guān)系的.如果學生面對數(shù)學問題時，不再是急急忙忙地進行運算或套用現(xiàn)成的方法，而是能夠比較從容的對數(shù)學問題的研究對象進行理解和深入研究，并能夠在研究的基礎(chǔ)上，找到解決具體問題的具體方法，那么他的解決數(shù)學問題的活動就是有邏輯的數(shù)學思維活動.這種能力一旦獲得，他就不需要依賴老師是否講過類似的題目，他也不再靠識別問題的類型和所記憶的方法來解決問題.