二積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)2在變速直線運(yùn)動(dòng)中在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù)已知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù)與速度函數(shù))(tv之間有關(guān)系之間有關(guān)系:)()(tvts 物體在時(shí)間間隔物體在時(shí)間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT 這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .)()(的原函數(shù)的原函數(shù)是是這里這里tvts第1頁/共16頁3O)(xfy xbay)(xxhx , ,)(baCxf 則變上限函數(shù)則變上限函數(shù) xattfxd)()(證證 , ,bahxx 則有則有hxhx)

2、()( h1 xahxattfttfd)(d)( hxxttfhd)(1)( f )(之間之間與與介于介于hxx hxhxh)()(lim0 )(lim0 fh )(xf )(x 定理定理1 若若.,)(上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)在在是是baxf,)(baCxf 積分中值定理積分中值定理第2頁/共16頁41) 定理定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 其他變限積分求導(dǎo)其他變限積分求導(dǎo) bxttfxd)(dd)(xf )(d)(ddxattfx )()(xxf 同時(shí)為同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 . )()(d)(d

3、dxxttfx )()()()(xxfxxf )()(d)(d)(ddxaaxttfttfx 證明見證明見補(bǔ)充定理補(bǔ)充定理3第3頁/共16頁5.delim21cos02xtxtx 求求 1cosdedd2xttx因?yàn)橐驗(yàn)?xttxcos1dedd2)(cose2cos xx,esin2cos xx 21cos0delim 2xtxtx 所以所以xxxx2esinlim2cos0 .e21 使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則. .型型未未定定式式, ,0 00 0此此為為例例1解解型型00第4頁/共16頁6, 1d)(2)( 0 ttfxxFx令令, 0)(2)( xfxF所所以以, 1)( xf因?yàn)?/p>

4、因?yàn)? 01)0( F由由于于 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf, 0 .1 , 01d)(2 . 1)(,1 , 0)(0上上只只有有一一個(gè)個(gè)解解在在證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè) xttfxxfxf,1 , 0)(上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在從從而而xF.1 , 0, 0)(上上只只有有一一個(gè)個(gè)解解即即原原方方程程在在所所以以 xF例例2證證第5頁/共16頁7 ttftxfxd)()(0 ,0)(),0)( xfxf且且, ,內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)證明證明 )(xFttftxd)(0 ttfxd)(0 在在),0( 內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證 )(xF

5、 20d)(ttfx ttfxfxxd)()(0 20d)(ttfx ttfxfxd)()(0 )(tx 0 .)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)在在 ，（xF只要證只要證0)( xF 20d)(ttfx xfx)()( )(xf)0(x 第6頁/共16頁8上的一個(gè)原上的一個(gè)原在在是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè),)()(baxfxF).()(d)(aFbFxxfba ( 牛頓牛頓 - 萊布尼茨公式萊布尼茨公式) 證證 根據(jù)定理根據(jù)定理 1,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是xfxxfxa 故故CxxfxFxa d)()(,ax 令令, )(aFC 得得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa

6、,bx 再令再令得得)()(d)(aFbFxxfba 記記作作 )(xFab)(xFab定理定理2 函數(shù)函數(shù) , 則則記記作作第7頁/共16頁9.1d312 xx解解 xxxarctan1d312 13 )1arctan(3arctan 3 127 例例5 計(jì)算正弦曲線計(jì)算正弦曲線軸所圍成軸所圍成上與上與在在xxy, 0sin 的面積的面積 . 解解 0dsinxxAxcos 01( )1 2 )4( Oyxxysin 第8頁/共16頁10例例6 求求 解解.d112xx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是|ln x, xxd112 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例7

7、求求 .d)1sincos2(20 xxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解第9頁/共16頁11例例8 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20d)(xxf解解 102120d)(d)(d)(xxfxxfxxf 1021d5d2xxx原式原式. 6 xyo12第10頁/共16頁12速停車速停車,2sm5 a解解 設(shè)開始剎車時(shí)刻為設(shè)開始剎車時(shí)刻為,0 t則此時(shí)刻汽車速度則此時(shí)刻汽車速度 0v)(10sm )(sm3600100036 剎車后汽車減速行駛剎車后汽車減速行駛 , 其速度為其速度為tavtv 0)(t510 當(dāng)汽車停住時(shí)當(dāng)汽車停住時(shí),0)( tv即即,051

8、0 t得得(s)2 t故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為為 20d)(ttvs 20d)510(tt 22510tt (m)10 02)(36hmk剎車剎車, ,問從開始剎問從開始剎到某處需要減到某處需要減設(shè)汽車以等加速度設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離車到停車走了多少距離? 第11頁/共16頁13.dsinsin03xxx 計(jì)算積分計(jì)算積分xxxxxxdcossindsinsin003 xxxxxxd)cos(sindcossin220 .34)(sin32)(sin322232023 xx例例10解解第12頁/共16頁14, )()(, ,)(xfxFbaCxf

9、 且且設(shè)設(shè)則有則有1. 微積分基本公式微積分基本公式 xxfbad)(積分中值定理積分中值定理)(abF )()(aFbF 微分中值定理微分中值定理)(abf 牛頓牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式 2. 變限積分求導(dǎo)公式變限積分求導(dǎo)公式 四、小結(jié)四、小結(jié) 第13頁/共16頁15定理定理3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (t) 在區(qū)間在區(qū)間 c, d 上連續(xù)上連續(xù), 函數(shù)函數(shù)( )x 、( )x 區(qū)間區(qū)間a, b上可導(dǎo)上可導(dǎo), 且且( , ) , a bc d 、( , )a b , c d ，則函數(shù)則函數(shù)( )( )( )( )xxG xf t dt 在區(qū)間在區(qū)間a, b上可導(dǎo)上可導(dǎo), 且且 ( )( )( )( ).)G xfxxfxx 積分變限函數(shù)積分變限函數(shù)補(bǔ)充補(bǔ)充: :第14頁/共16頁16證明證明 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) f (t) 在區(qū)間在區(qū)間c, d 上連續(xù)上連續(xù),所以所以 f (t)在區(qū)間在區(qū)間c, d 上有原函數(shù)上有原函數(shù)F (t), 由由Newton- -Leibniz( )( )( )( )xxd