20062007學(xué)年度北京市西城區(qū)抽樣測試.

1、-1 -2006 2007 學(xué)年度北京市西城區(qū)抽樣測試高三數(shù)學(xué)試卷（文科）2007.1本試卷為第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分 滿分 150 分.考試時(shí)間 90 分鐘.第一卷（選擇題，共 40 分）、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合 S=R,A二x|x2-2x - 3空C,那么集合 L; A 等于2.A .x | 0：x空3C . x| x空0,或x 31將函數(shù)y的圖象按向量xB.D.a 平移后，得到y(tǒng)X | -1 _ X：2X|X：-1,或 X 一21=2的圖象，則x + 13.A. a=

2、（1, 2）B. a= （1, 2） C.在空間中，有如下四個(gè)命題：1平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；2垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；3若平面a內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)到平面3距離相等，則a/4過平面a的一條斜線有且只有一個(gè)平面與平面a垂直.其中正確的兩個(gè)命題是A.、B .、C .、D .、D. a= (- 1,4. 在（1-2x）6的展開式中x3的系數(shù)是5.A . 240在 1, 2, 3, 4,9 的三位數(shù)共有A . 16 個(gè)C. 156.B . 155 這五個(gè)數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,D. 240其各個(gè)數(shù)字之和為C. 19 個(gè)B . 18 個(gè)JI JI已知函數(shù)y =si

3、nx在-一，一上是增函數(shù)，則3的值可以是3 3D. 21 個(gè)3A.-畀)B.-3,0)3C.(0,3D.(0,3-2 -7已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n 項(xiàng)和是Sn,若log2an是公差為一 1 的等差數(shù)3列，且S6,那么 6 的值是()846812A .B .C.D .21312131ABC 中，ABB3, ABC 的面積&于自則 AB 與 BC夾角的取值范圍是第二卷(非選擇題共 110 分)二、 填空題(本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.把答案填在題中橫線上)XE1,9.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組_y _3,所表示的平面區(qū)域的面積是 _ .3Xy - 3 一

4、0,10._不等式|3X-5p： 4的解集是.11.若與球心距離為 4 的平面截球所得的截面圓的面積是9n,則球的表面積是 _.X2312._ 已知雙曲線-y1(a - 0)的一條準(zhǔn)線方程為x=，則 a 等于_ ，該雙曲a2線的離心率為_ .12 .設(shè)向量 a= (1, 0), b= (cos0, sinB),其中 OWBWn，貝 U | a+ b |的最大值是 _.14已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù) a，且不等式f(x) -X的解集為(1, 2),若f(x)的最大值為正數(shù)，則 a 的取值范圍是 _ .三、 解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.

5、(本小題滿分 12 分)已知an是等差數(shù)列，a2=5,a14.(I) 求an的通項(xiàng)公式；Jl 31JI JIJI JI- 43B .忖叩C.?331 Tt32-3 -(II) 設(shè)an的前 n 項(xiàng)和Sn=155，求 n 的值.16.(本小題 13 分)-4 -(I)求f (x)的定義域;(II) 求f (x)的值域；:丄4(III )設(shè)a的銳角，且tan,求f G )的值.2317.(本小題 13 分)在一天內(nèi)甲、乙、丙三臺(tái)設(shè)備是否需要維護(hù)相互之間沒有影響，且甲、乙、丙在一天 內(nèi)不需要維護(hù)的概率依次為0.9、0.8、0.85則在一天內(nèi)(I) 三臺(tái)設(shè)備都需要維護(hù)的概率是多少？(II) 恰有一臺(tái)設(shè)備

6、需要維護(hù)的概率是多少？(III )至少有一臺(tái)設(shè)備需要維護(hù)的概率是多少？18.(本小題 13 分)如圖，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，則棱長為(I)求異面直線 AA1和 BD1所成角的大??；(II)求證：BD1/ 平面 C1DE;(III )求二面角 C1 DE C 的大小.(本小題滿分 13 分)設(shè)a 1,函數(shù)f (x)=ax1-2.(I)求f (x)的反函數(shù)f(x);(II )若f4(x)在0, 1上的最大值與最小值互為相反數(shù)，求a 的值;(III )若f(X)的圖象不經(jīng)過第二象限，求a 的取值范圍.20.(本小題滿分 14 分)設(shè)a 0,定點(diǎn) F (a, 0),直線 I :x= a

7、 交 x 軸于點(diǎn) H，點(diǎn) B 是 I 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) B 垂直于 I 的直線與線段 BF 的垂直平分線交于點(diǎn) M.(I) 求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程；(II)設(shè)直線 BF 與曲線 C 交于 P, Q 兩點(diǎn)，證明：向量HP、HQ與HF的夾角相等.北京市西城區(qū) 2007 年抽樣測試已知函數(shù)sin 2x cos2x +1f(x)二3，底面邊長為 2, E 是棱 BC 的中點(diǎn).19.-5 -高三數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.題號(hào)12345678答案DCBDCAAB、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.3廠2139. 一；10

8、.x0 : x : 2；11. 100 二；12.、3,；13. 2; 14.( 4, 0).23注：其中 12 題第一個(gè)空 3 分，第二個(gè)空 2 分三、解答題：本大題共6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 15.(本小題滿分 12 分)(I)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,則a15,a1- 4d =14,.2 分解得a1=2, d =3.4 分所以數(shù)列an的通項(xiàng)為an=3 (n - 1)d =3n-1.6 分(n)解： 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和Sn(101 =空 n21n.9 分2 2 2由3n24 55, 化簡得 3n2n -310 =0,2 2即(3n31)(n -10

9、) =0;所以=10.12 分16.(本小題滿分 12 分)(I)解：由2sin x = 0, .1 分得x =k二(k Z), . 3 分所以f (x)的定義域?yàn)閄 I X = k二，k Z .4 分-6 -(山)解：因?yàn)閍是銳角，且tan二4,，從而si=-,35COS, . 8 分52 、sin2a-cosa+12 sinacosa+2sin af C ):2 si na2 si na=sin ：亠 cos：,故 f (二)二 sin 二1cos-：解：記甲、乙、丙三臺(tái)設(shè)備在一天內(nèi)不需要維護(hù)的事件分別為則P(A) =0.9,P(B) =0.8, P(C) =0.85.(I)解：三臺(tái)設(shè)備都

10、需要維護(hù)的概率a = p(ABC)二P(A) P(B)P(C).=(1-0.9)X(1-0.8)X(10.85)=0.003.答：三臺(tái)設(shè)備都需要維護(hù)的概率為0.003. 4 分(II )解：恰有一臺(tái)設(shè)備需要維護(hù)的概率p2二P(A B C) P(A B C) P(A B C)=(10.9)X0.8X0.85+0.9X(10.8)X0.85+0.9X0.8X(10.85)=0.329.答：恰有一臺(tái)設(shè)備需要維護(hù)的概率為0.329. 8 分(III )解：三臺(tái)設(shè)備都不需要維護(hù)的概率P3二P(ABC)二P(A) P(B) P(C) = 0.612, . 11 分所以至少有一臺(tái)設(shè)備需要維護(hù)的概率p4= 1

11、 - p3= 0.388.答：至少有一臺(tái)設(shè)備需要維護(hù)的概率為0.388. 13 分18.(本小題滿分 14 分)解法一：(I)解：17.(本小題滿分 13 分)11 分12 分A， B， C，-7 -連接 B1D1.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1/BB1,-B1BD1是異面直線AA1和 BD1所成的角.-8 -即在側(cè)棱 BBi上不存在點(diǎn) P,使得 CP 丄平面 CiDE.在-B1BD1中, B1D1=2.2,即異面直線AA|和 BD1所成角的大小為arctan . .4 分3(II)證明:連接 CD1，與 C1D 相交于 0,連接 EO./ CDD1C1是矩形， 0 是 CD

12、1 的中點(diǎn)，又 E 是 BC 的中點(diǎn)， E0 / BD1. 2 分又 BD1二平面 C1DE, E0 二平面 C1DE, BD1/ 平面 C1DE. 4 分(III )解：過點(diǎn) C 作 CH 丄 DE 于 H，連接 C1H.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，CG 丄平面 ABCD ,- C1H 丄 DE,/ C1HC 是二面角 C1 DE C 的平面角 . 11 分在CDE 中,CD =2,CE =1,在GCH 中,CC1 =3,二面角 C1DE C 的大小為arctan .14 分2解法二：(I)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz,如圖。則有 D (0, 0,0), B (2,2, 0)

13、, C (0,2, 0),C1(0, 2, 3),D1(0, 0,3), B (2, 2,3), E (1,2, 0)。14 分ta nB1BD1B1D12、23CHCD CE 2DE - .5tan GHC 二 CCCH3J5J213 分-9 -在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1/BB1,-10 -T . B1BD1是異面直線 AAi和 BDi所成的角BBi=(0,0,3),BDi=(-2,-2,3),3，i7即異面直線 AAi和 BDi所成角的大小為arccos: .4 分i7(II)證明：:廠連接 CDi，與 CiD 相交于 O,連接 EO.1A.必易知 O (0, i,

14、i.5). s；: 3 Jf二BDi=(2-2,3), EO=(-1,-i,i.5),百*1*Di”丄/Ji二BDi- 2EO,.7 分 EO / BDi. 2 分又 BDi二平面 CiDE, EO 二平面 CiDE, BDi/ 平面 CiDE. 4 分(III )解：過點(diǎn) C 作 CH 丄 DE 于 H，連接 CiH.在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，CCi丄平面 ABCD , CiH 丄 DE,/ CiHC 是二面角 Ci DE C 的平面角 . ii 分根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得H ( 0.8, i.6, 0).cos：BBiBDi二BBiBDiBBiBDi3,i7i7.HC =(-

15、0.8,0.4,0),HC (-0.8,0.4,3),cosCiHC : HC HCiHCiHCiHC HCi27.i3 分CiHC2=arccos ,7二面角i9.(本小題滿分(I)解：2CiDE C 的大小為arctan .7i4 分)i4 分因?yàn)閍xi- 0,-11 -所以f (x)的值域是CyI y . _2l設(shè)y =ax _2,解得 x 二 logn(x 2)-1;所以f (x)的反函數(shù)為f(x) = loga(x 2)一1, (x-2).4 分(n)解： 當(dāng)a . 1時(shí)，函數(shù)fJ(x) -loga(x 2) -1為(-2：)上的增函數(shù)，. 6 分所以f(0) fd(1) =0,即(

16、loga2-1) (loga3-1)=0,解得a= ；6.8 分(川)解:當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f(x)是(-2,=)上的增函數(shù)，且經(jīng)過定點(diǎn)(一 1, 1)所以f4(x)的圖象不經(jīng)過第二象限的充要條件是f (X)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)位于 x 軸的非負(fù)半軸上. 11 分令loga(x 2) -1 =0,解得x =a -2,由a - 20, 解得 a 2.14 分20.(本小題滿分 14 分)(I) 解：連接 MF，依題意有|MF|=|MB|, . 3 分所以動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是以 F( a, 0)為焦點(diǎn)，直線 l: x= a為準(zhǔn)線的拋物線，所以 C 的方程為y2=4ax.5 分(II)解：設(shè) P, Q 的坐標(biāo)分別為(x-!,y1),(x2, y2),依題意直線 BF 的斜率存在且不為 0，設(shè)直線 BF 的方程為y = k(x - a)(k = 0),將其與 C 的方程聯(lián)立，消去 y