張量場的可視化及其科學(xué)應(yīng)用

1、張雖場的可視化及其科學(xué)應(yīng)用摘要：三維數(shù)據(jù)場的可視化是科學(xué)計算可視化的一個重要研究領(lǐng)域，其最初的應(yīng)用大大推動了計算流體動力學(xué)的研究。從標(biāo)量場數(shù)據(jù)發(fā)展到矢量場和張量場數(shù)據(jù)的可視化，我們對于新的可視化手段的需求與日俱增。本文從對三維二階張量的基本數(shù)學(xué)分析開始，介紹張量場可視化的幾類基本手段，圖元法，特征法，藝術(shù)法，體繪制法，和形變法。在此基礎(chǔ)上，本文 介紹張量場可視化在大腦成像和地質(zhì)勘探兩個科學(xué)研究中的具體應(yīng)用，以探討其可能的發(fā)展方向和前景。關(guān)鍵詞：張量數(shù)據(jù)；可視化;科學(xué)應(yīng)用按照數(shù)據(jù)參量的復(fù)雜程度，數(shù)據(jù)場可以分為標(biāo)量場，矢量場和張量場。標(biāo)量場的數(shù)據(jù)結(jié) 構(gòu)簡單，每一場點對應(yīng)單一數(shù)據(jù)，因此其可視化在已經(jīng)

2、有了成熟的技術(shù)，如體積光線投射， 等值面等方法；而矢量場和張量場的可視化則在原有的單一變量的基礎(chǔ)上，有了更多的數(shù)據(jù)維度，如方向，形變等，因此要求了更新、更復(fù)雜、更綜合的可視化方法。與矢量場相比， 張量場的數(shù)據(jù)點包含著更大的信息量，其可視化涉及了工程和基礎(chǔ)科學(xué)的各個領(lǐng)域，因此是目前科學(xué)計算可視化的熱點，也是難點。基本方法不同維度與階數(shù)的張量為具體的可視化操作帶來了巨大的挑戰(zhàn)。在科學(xué)數(shù)據(jù)可視化的常見情況下，三維二階對稱張量數(shù)據(jù)是我們需要進(jìn)行可視化操作的對象，比如流體微團(tuán)的變形率張量，流體面元的應(yīng)力張量等等。三維二階張量包含個分量，這九個分量的可視化必須建 立在統(tǒng)一表現(xiàn)的基礎(chǔ)上，才得以顯示出整個張量

3、在空間點的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，甚至是物理意義， 而不像標(biāo)量場可視化那樣， 僅僅關(guān)注每個空間點的單一數(shù)據(jù)。在我們所討論的張量可視化的方法和實例中，三維二階對稱張量都是我們的主要的，理想的研究對象。張量數(shù)據(jù)可視化的方法主要可以分為以下幾類：圖元類 (glyph),特征類(feature-based), 藝術(shù)類(art-based)，體繪制類(volume-rendered)以及形變類(deformation)。前兩者是最常見的 方法，在本文中會重點介紹。一、圖元法(glyph)圖元法是一種利用包含信息的圖像符號直接表示每個張量數(shù)據(jù)點的方法。在了解具體的圖元法實現(xiàn)手段之前，我們有必要了解張量數(shù)據(jù)的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

4、。以流體力學(xué)中流體微團(tuán)的變形率張量為例，流體微團(tuán)的應(yīng)變率張量是一個三維二階實對稱張量，通過矩陣形式表示：其中主對角線的&1,&2, &3代表坐標(biāo)軸方向的變形速度，91,92,%代表坐標(biāo)軸夾角的剪切應(yīng)變率。由線性代數(shù)理論，存在正交矩陣T ,使得500TST =0 cy. 000%即使得原張量矩陣對角化。并且，矩陣T的三個列矢量分別是上述對角矩陣的互相正交的特征矢量（特征方向），O1 ,。2 , b3是與特征矢量相對應(yīng)的特征值。通過這個數(shù)學(xué)變換,原張量數(shù)據(jù)所包含的信息，即六個獨立分量，被等價變換為三個實特征值和對應(yīng)的互相正交的特征矢量所包含的信息，而后者正是張量數(shù)據(jù)可視化的

5、圖元法所主要依賴的理論基礎(chǔ)。在眾多可供選擇的圖元中，三維橢球圖元是最為常見的可視化元素。將橢球中心置于數(shù)據(jù)原點，橢球的三個主軸方向?qū)?yīng)于三個特征矢量方向，三個軸長對應(yīng)于相應(yīng)的特征值大小。如此，張量場中每一規(guī)則格點的數(shù)據(jù)都可以通過取向，大小和形狀不同的橢圓來對應(yīng)表示， 實現(xiàn)了多分量數(shù)據(jù)的統(tǒng)一可視化。將橢球作為圖元的方法有易見的優(yōu)點：橢球的幾何特征和張量數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的合理對應(yīng)，因而容易辨別每個分離點的張量數(shù)據(jù)特征。但是，橢球圖元也有其局限性：（1）特征值的符號無法通過橢球的幾何特征表現(xiàn)，而只能通過顏色標(biāo)記等其他方法區(qū)分；（2）橢球有其自身的光滑幾何表面，不合適的視角很容易影響觀者對特征方法和特征值數(shù)據(jù)

6、的觀察判定；（3）在三維情況下，密集的數(shù)據(jù)點容易發(fā)生堆積、層疊，從而影響視線；單一圖元表達(dá)的信息量局限于最基本的層面，無法表現(xiàn)出張量數(shù)據(jù)的互相關(guān)聯(lián)和局域性特征。事實上，特征值符號，圖元視角缺陷和區(qū)域結(jié)構(gòu)缺乏這三個問題較為普遍地存在于使用離散型圖元法的張量可 視化問題。因為缺乏對特征值符號的最優(yōu)表現(xiàn)方法，橢球以及其他圖元一般僅用于正定矩陣張量 （所有特征值均為正）的可視化，如腦成像中的擴(kuò)散張量等，而較少的應(yīng)用于既有拉伸又有壓縮的地應(yīng)力問題。為了克服橢球的視角問題，使用高級圖元的方法被提出，如Westin使用的球，盤和棒的復(fù)合圖元組合，Kindlmann使用超二次曲面圖元，將橢球，長方體，圓柱體的

7、最佳特征整 合在一起。這些方法都有效地豐富了圖元法的可視化表現(xiàn)力。圖一 橢圓半徑，圓盤半徑和棒長分別對應(yīng)于最小特征值，中間特征值，和最大特征值的兩倍（左）；相交的大腦白質(zhì)束的張量場模擬將圖元法與特征法結(jié)合，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)圖元法在表達(dá)區(qū)域結(jié)構(gòu)上的不足，從而能夠呈現(xiàn)局域特征，在表達(dá)信息層面更高一級。 這樣的方法包括線圖元和圖元堆積， 在如下的特征方 法中集中講述。、特征法(feature-based)基于特征的可視化方法著眼于數(shù)據(jù)場對象特征的提取與再呈現(xiàn)，是一種呈現(xiàn)信息層面較高的方法。最常用的能夠表現(xiàn)張量場數(shù)據(jù)局域性特征的方法是Delmarcelle和Hesselink提出的超流線（Hyperstr

8、eamline）。超流線的概念衍生于矢量場中的流線（描述速度場的連續(xù)曲線），其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)同樣基于我們在圖元法中對三維二階張量的特征矢量和特征值的分析。超流線通過以下方法生成：沿張量場的某一個特征矢量的軌跡作超流線的軌跡方向（主特征矢量對應(yīng)于主超流線），垂直于軌跡方向的橫截面積采用以另兩個特征矢量的大小為軸長的橢圓形（簡并情況下則為圓形），通過這樣的圖形掃過的空間區(qū)域表面就成為超流線。首先，主超流線的軌跡在實際物理背景下，能夠表示應(yīng)力的傳播或者動量的傳遞。我們還可以對超流線沿軌跡方向做不同的顏色標(biāo)度，這樣可以直觀地表現(xiàn)出例如主超流線軌跡方向的主特征值變化趨勢。其次，橫截面的圖形除了使用橢圓形（

9、圓形）之外，還可以采用十字形，即通過兩個正交軸的長度來表示對應(yīng)的兩個的特征值大小。相比之下，前者的使用能夠使得橫向特征矢量簡并的狀況（對應(yīng)與橫截面為圓形）更容易判斷，而后者的使用則能夠更清晰地指明兩個橫 向特征矢量的方向，但不適合用于簡并而特征矢量方向不唯一的情況。通過橫截面在空間的連續(xù)變化，可以得到主特征矢量之外另兩個特征矢量方向的區(qū)域信息。因此，超流線的方法的顯著優(yōu)點即是表現(xiàn)出了標(biāo)量場數(shù)據(jù)的連續(xù)變化。(b)(a)（c）圖2用超流線表現(xiàn)兩個點壓縮力引起的應(yīng)力分布 助超流線；（d）三種超流線一起呈現(xiàn)盡管超流線在表現(xiàn)數(shù)據(jù)連續(xù)性上要優(yōu)于圖元法,（d）（a）主超流線；（b）中超流線；（c）輔但是充分

10、表現(xiàn)局域特征的同時也犧牲了數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)。因此，如何能夠兼顧大特征與小細(xì)節(jié)是一個需要解決的問題。在圖元法的基礎(chǔ)上改進(jìn)，Kindlmann和Westin在可視化擴(kuò)散張量時提出了圖元堆積方法(Glyph Packing)o圖元堆積的方法并非試圖尋找更佳的幾何圖元組合來呈現(xiàn)最佳視圖，而是在常規(guī)橢球坐標(biāo)法上增加基于紋理的可視化方法。它拋棄了數(shù)據(jù)點分布的規(guī)則格子，避免了在視覺上造成的錯誤數(shù)據(jù)分布結(jié)構(gòu)，而是將點坐標(biāo)類比于粒子系統(tǒng)，通過基于張量場數(shù)據(jù)演算得到的勢函數(shù)，來計算圖元粒子”之間的相互作用，從而得到他們的平衡網(wǎng)絡(luò)位置。規(guī)則格子和圖像堆積這兩種情況的可視化效果如圖1。圖像堆積的可視化方法，在點圖元方法的基

11、礎(chǔ)上，自然地避免了數(shù)據(jù)點之間的交疊和空隙，更加有效地地顯現(xiàn)了張量場數(shù)據(jù)的連續(xù)變化特征，將傳統(tǒng)的圖元法提升到了得以表現(xiàn)特征的層次。(a) Regular Grid (b) Glyph Packing圖三常規(guī)點坐標(biāo)方法與圖像堆積方法的可視化結(jié)果對比7三藝術(shù)法(art-based)藝術(shù)法是參考藝術(shù)作品的創(chuàng)作表現(xiàn)方式，而將其基本手段應(yīng)用于張量數(shù)據(jù)可視化的方 法。Lailaw在可視化小鼠脊椎神經(jīng)的擴(kuò)散張量時，巧妙借用了油畫中的分層繪制的概念，將復(fù)雜的擴(kuò)散張量和相關(guān)聯(lián)的解剖標(biāo)量信息一起表現(xiàn)于復(fù)雜的多層疊加的可視化圖像(底板 層、檢測板層和線條層)。通過分析數(shù)據(jù)，將參量與可視化技巧作如下對應(yīng)：解剖標(biāo)量-底板

12、層顏色亮度，體積元大小-檢測板層陣列間距，本征值大小比值-線條長寬比和透明度，主本征方向-線條方向，主本征x方向-線條紅飽和度，擴(kuò)散率大小 -線條的紋理頻率。所以，這樣 的技巧可以將擴(kuò)散張量的所有數(shù)據(jù)參數(shù)都一起可視化，供觀者獲取自己需要的數(shù)據(jù)信息。圖四小鼠脊椎神經(jīng)的分層結(jié)構(gòu)可視化Kirby也是采用分層的繪畫方法，用二維的橢圓圖元表示流體場內(nèi)流體微團(tuán)的形變率張 量，并且通過箭頭方向，箭頭面積，底板顏色來分別表示流場速度，大小和渦量場信息，實 現(xiàn)了獨立信息的統(tǒng)一呈現(xiàn)。圖五流體場的參量組合可視化由此可見，在這些基于藝術(shù)手法的方法中， 盡管圖元，線條的運用仍然是其張量數(shù)據(jù)可 視化方面的基本思想，但他們

13、很好的利用了多參量數(shù)據(jù)可視化的現(xiàn)有技巧，得以有效地將眾多的參量數(shù)值以不同方式整合到可視化圖像中，統(tǒng)一顯示。觀者通過他們熟悉的類繪畫的可視化手段，可以有效獲取他們需要的參量信息以及整體理解。四、體繪制方法(volume-rendered)體繪制方法與以上三種方法的出發(fā)點不同。前三者都離不開點、線圖元的使用，先分析變換張量數(shù)據(jù)，再把多維信息整合到一個圖像中的數(shù)據(jù)點，其信息顯示層面是獨立的或者是局域的；而體繪制方法的思想則是以全局的方式展現(xiàn)數(shù)據(jù)的部分信息，不求全但求廣，這對于展現(xiàn)特定研究對象的整體結(jié)構(gòu)是很有益處的。張量數(shù)據(jù)的龐大信息量使得對特定信息的選擇性忽略是技術(shù)上的必然，而如何進(jìn)行參量選擇并呈現(xiàn)

14、則是張量數(shù)據(jù)體繪制所需要研究的問題。Kindlmann在白質(zhì)纖維束的可視化中使用了體繪制，利用重心透明度貼圖(barycentric opacitymaps)，灰度球(顏色)(Hue-balls),光照張量(陰影)(lit-tensor)這三種方法，可以從張量信息中生成相對應(yīng)的透明度，顏色和陰 影，通過設(shè)計傳遞函數(shù)，可以突出顯示感興趣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。lit-tensor處理后的結(jié)果圖六 圖示透明度和光照下的張量體繪制結(jié)果（左）和經(jīng)過五形變法（deformation）形變法可視化的基本思想是實現(xiàn)張量場的實體化”，即呈現(xiàn)出特定張量場在理想物體上產(chǎn)生的作用。因此，對于具有明確物理意義的張量數(shù)據(jù)來說，形變

15、的可視化方法直觀，有效,將抽象的數(shù)據(jù)還原成具體的更易被觀者接受的視覺信息。這種方法在力學(xué)教科書中介紹材料應(yīng)力，變形率的時候，在研究地質(zhì)形變和液晶分子取向等等問題時都被廣泛的采用。Zheng在可視化張量場形變時提出兩種各有優(yōu)勢的方法：法向量形變法和各向異性形變法，前者適合于展現(xiàn)張量場的方向信息，后者適合于表現(xiàn)張量場的壓縮和剪切性質(zhì)。圖七 以線框繪制和用顏色標(biāo)記應(yīng)力張量的各向異性形變：法向量方法（左）和各向異性形變法（右）科學(xué)應(yīng)用張量場的可視化在工程和科學(xué)的研究和教學(xué)中尤其具有巨大意義，其熱門應(yīng)用領(lǐng)域集中在醫(yī)學(xué)的核磁成像中擴(kuò)散張量數(shù)據(jù)，物理學(xué)中的地質(zhì)學(xué)應(yīng)力張量數(shù)據(jù)和流體中張量場的可視 化。以下，通

16、過對于這幾個具體應(yīng)用領(lǐng)域可視化工作的概述以及實例，來體現(xiàn)說明張量數(shù)據(jù)可視化的應(yīng)用價值和發(fā)展前景。 一、磁共振成像（MRI）擴(kuò)散磁共振成像技術(shù)（diffusion MRI）由于在神經(jīng)疾病診斷方面的巨大價值而很早已被廣 泛應(yīng)用。技術(shù)發(fā)展使得測量大腦中各向異性的擴(kuò)散系數(shù)成為可能，擴(kuò)散張量成像技術(shù) （diffusion tensor imaging, DTI）的發(fā)展，對白質(zhì)束的走向，完整性和連通性的檢查，對大腦功 能的基礎(chǔ)和臨床研究都有重要的應(yīng)用。因此，擴(kuò)散張量的可視化研究不僅在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價值，還對于張量可視化，尤其是擴(kuò)散張量數(shù)據(jù)的可視化的基礎(chǔ)研究自身也具有推動 作用。擴(kuò)散張量是一個三維二階

17、的正對稱矩陣，其各個分量代表了不同方向上的擴(kuò)散率。根據(jù)數(shù)學(xué)理論，擴(kuò)散張量具有三個實數(shù)本征值，他們之間的大小相差越大，其擴(kuò)散的各向異性程度越高。擴(kuò)散張量的可視化手段主要有如下方法：1、顏色編碼法通過對擴(kuò)散張量進(jìn)行合理處理，可以在保證各向異性擴(kuò)散本質(zhì)的同時，將張量數(shù)據(jù)壓縮為標(biāo)量信息，從而建立起顏色的索引，例如對于主特征矢量的坐標(biāo)來分配顏色值。特定體積從而可以利用顏色來表示纖維的不同取元的顏色值直接由此位點處本征值和本征矢量決定, 向，如圖八中的顏色編碼所示所示。圖八顏色編碼的擴(kuò)散張量可視化方法2、圖兀表示法由于擴(kuò)散張量是的矩陣形式是正定的，因此如前所述的橢球圖元法是最自然的可視化方法。如下圖所示的

18、擴(kuò)散橢球體方法，每一個擴(kuò)散張量的橢球代表一定擴(kuò)散時間內(nèi)分子離開像素中心的最小均方位移所形成的擴(kuò)散區(qū)域，擴(kuò)散的主要方向通過擴(kuò)散橢球體的主要方向顯示出來，還可以通過附加的顏色編碼對其空間取向進(jìn)行區(qū)分，從而能很好地表現(xiàn)出局域的各向異性。除此之外，復(fù)合圖元、超二次型圖元等張量場可視化圖元法的常用手段也均能夠應(yīng)用 于擴(kuò)散張量的成像。圖九利用橢球圖元的擴(kuò)散張量成像3、纖維跟蹤技術(shù)（白質(zhì)束成像）離散的圖元顯示法在表達(dá)大腦中連續(xù)的神經(jīng)通路方面具有本身的缺點，而與此相比，纖維跟蹤技術(shù)則能體現(xiàn)連續(xù)的直觀的神經(jīng)通路走向。流線和超流線的概念被應(yīng)用于白質(zhì)束的成像結(jié)果，根據(jù)擴(kuò)散張量數(shù)據(jù)的主方向描繪出纖維從種子點開始的走向

19、，從而可以建立起纖維束的結(jié)構(gòu)。這種方法不僅可作為觀察和分析型的可視化工具，還可以在臨床時作為手術(shù)操作的指導(dǎo)。但是，纖維跟蹤技術(shù)在具體實現(xiàn)上仍有很多現(xiàn)實和技術(shù)問題，如纖維走向的不明顯，噪聲的影響，仍有待張量可視化在此特定領(lǐng)域的進(jìn)一步研究。圖十纖維跟蹤技術(shù)成像二、地質(zhì)形變地質(zhì)的形變所涉及的應(yīng)力張量是礦藏勘探中需要分析的一個重要物理量，因此其合理有效的可視化具有很大的工程應(yīng)用價值。 由于拉伸與壓縮這兩種正反作用力的存在， 應(yīng)力張量 比起擴(kuò)散張量有更復(fù)雜的表現(xiàn)形式。許多有關(guān)應(yīng)力張量的可視化工作可以歸類于上文所提的集中基本方法，超流線，形變法是最為常見的可視化方法。Crossno提出的地質(zhì)應(yīng)力可視化則是

20、采用了一種非常規(guī)的方法摩爾圖，將已有的可視化手段與傳統(tǒng)的科學(xué)分析工具相結(jié)合，將互動瀏覽方式引入張量數(shù)據(jù)的表現(xiàn)中。摩爾圓是傳統(tǒng)地質(zhì)力學(xué)中廣泛采用的用于應(yīng)力坐標(biāo)變換的圖形方法。它不僅可以用于分析應(yīng)力，還可以用來表示張量矩陣。Tcompression tension圖十一代表四個不同應(yīng)力張量的摩爾圓如圖十所示，A, B, C, D四個應(yīng)力張量分別對應(yīng)于復(fù)合圓或點，圓與。軸的截點位置依次對應(yīng)于相應(yīng)大小的特征值， 特征值的大小和處于坐標(biāo)軸的正負(fù)位置則表明了相應(yīng)的壓縮 力或拉伸力。最大特征值和最小特征值之差，即摩爾圓縱軸跨度， 表現(xiàn)了剪切力的大小。復(fù)合圓中的陰影區(qū)域在物理意義上表明了無窮多經(jīng)過此點的平面在這一點所能達(dá)到的應(yīng)力分 布情況。即拉伸或壓縮，剪切的可能情況范圍。因此這樣的摩爾圓可以作為一種特殊的圖元 來表現(xiàn)這種特定情況下的張量數(shù)據(jù)。圖十二 經(jīng)過顏色編碼的材料邊界有限元（上圖）；對應(yīng)于所有顏色編碼有限元的摩爾圓，黑框的摩爾圓對應(yīng)于上圖中選定的區(qū)域點（下圖）因此，利用摩爾圓的張量表示方法，以及互動式的有限元選擇方式，可以將材料界面點的應(yīng)力張量信息逐個表示出來，并且，通過把顏色按照有限元的剪切程度大小進(jìn)行從冷色系到暖色系的漸變編碼，可以把應(yīng)力場的局域變化趨勢顯示出來。這種方法盡管較局限于地質(zhì)應(yīng)力領(lǐng)域的研究，但是為張量可視化在其他領(lǐng)域的特色發(fā)展提供了可供借鑒