電磁場與電磁波 矢量分析(11-13)

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波21. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：

2、標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。一個(gè)只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析

3、電磁場與電磁波電磁場與電磁波3zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波4（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2

4、. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波5（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA

5、B A B 0BA/A BAB第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波6（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波7CBAanaBaAOC ABBA(a

6、)(b)矢量積的圖示及右手螺旋矢量積的圖示及右手螺旋 ( (a) ) 矢量積矢量積 ( (b) ) 右手螺旋右手螺旋,xyzyzxzxyaa = a aaa aaa0 xxyyzzaa = aaaa第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波8（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波9第一章第一

7、章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波10 例題例題:給定三矢量給定三矢量C23xyz zA eee4xz zB ee52xz zC ee求求:(1)(2)B (3)(4)ABA在在C方向上的分量方向上的分量(6)A C(5)解解:(1)22212( 3)14A (2)1 ( 4)(2 0)( 3) 1xyzA Beee 524xyzeee22252( 4)35AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11(3)1 ( 4)20( 3) 17A B (4)根據(jù)公式根據(jù)公式cosABA BAB 77c

8、os14 17238ABA BAB 7cos117238ABarc第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波12(5)CAA先求矢量先求矢量A的大小的大小,即即11cos29ACACACAAACAC 再求矢量再求矢量A的方向的方向,即即015229xzCCCCeeCC故故矢量矢量A為為0115229xzAA Cee(6)利用行列式求利用行列式求解解12341310502 xyzxyzeeeACeee第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波13 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來三

9、維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電

10、磁場與電磁波141. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSz

11、zdddzxeSyyddd第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波152. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場

12、與電磁波電磁場與電磁波16ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000rP第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波174、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位

13、矢量之間的關(guān)系第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波181.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場標(biāo)量場：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。矢量場：矢量場：流速場、重力場、電場、磁場等：流速場、重力場、電場、磁場等。 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)該區(qū)域上定義了一個(gè)場場。標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波19第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量

14、分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波201.1. 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標(biāo)量

15、場的等值線標(biāo)量場的等值線( (面面) )第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波212. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。00coscoscos|limMluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減小；方向減小； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化

16、率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波22梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最

17、大值的方向max|luuel luel第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波23標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場的梯

18、度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波24 解解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)