高等數(shù)學(xué)：D10_9常系數(shù)非齊次

1、常系數(shù)非齊次線性微分方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九節(jié)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第十章 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實(shí)數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為,

2、)(*xQeyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項(xiàng)式, 故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為xm

3、exQxy)(*2小結(jié)小結(jié)對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題

4、特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為1C

5、Y xeC2xeC23原方程通解為x211Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)ximexP)()(機(jī)動 目錄 上頁

6、 下頁 返回 結(jié)束 第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項(xiàng)式為mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y這說明為方程

7、的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 設(shè)則 有特解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析的特點(diǎn)yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .

8、11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,11yy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r

9、,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3si

10、n303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.求物體的運(yùn)動規(guī)律. 解解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動方

11、程 tphxktxsindd222 當(dāng)p k 時, 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f,sin的作用ptHF 和鉛直干擾力xox代入可得: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,)(sintkAxtppkhsin22自由振動強(qiáng)迫振動!22將很大振幅pkh 當(dāng) p = k 時, )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解為 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與

12、 k 盡量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動的振幅tkh2這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;p = k .自由振動強(qiáng)迫振動xox對機(jī)械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等, 但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用, 如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方

13、程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當(dāng)xexxxf22cos)()2當(dāng)xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設(shè)特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實(shí)數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對應(yīng)齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexC