高等數(shù)學(xué)：5-1 定積分

1、1第五章第五章 定積分定積分 定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個(gè)定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個(gè)一種認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的一種認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的definite integral不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想 主要組成部分主要組成部分.思想方法思想方法.2第五章第五章 定積分定積分基本要求基本要求 理解定積分的定義和性質(zhì)理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基微積分基本定理本定理,了解反常積分的概念了解反常積分的概念,掌握用定積掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體

2、如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法積、弧長、功、引力等）的方法.3第一節(jié)第一節(jié) 定積分定積分的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分問題舉例定積分的定義定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 定定 積積 分分定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)*definite integral41.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 定積分概念也是由大量的實(shí)際問題抽象出定積分概念也是由大量的實(shí)際問題抽象出求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線及及0)( xfy所所圍圍成成0, ybxax和和直直線線.A的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積一、一、

3、定積分問題舉例定積分問題舉例定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)來的來的, 現(xiàn)舉兩例現(xiàn)舉兩例.ab)(xfy Oxy? A5用用矩形面積矩形面積梯形面積梯形面積（五個(gè)小矩形）（五個(gè)小矩形）（十個(gè)小矩形）（十個(gè)小矩形）habAhxf)(,)()( 矩矩形形面面積積公公式式為為時(shí)時(shí)常常數(shù)數(shù)思想思想以直代曲以直代曲顯然顯然,小矩形越多小矩形越多, 矩形總面積越接近曲邊矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積OxyOxy6ab)(xfy 個(gè)個(gè)分成分成把區(qū)間把區(qū)間nba,1iixx 在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 采取下列四個(gè)步驟來求面積采取下列四個(gè)步驟

4、來求面積A.(1) 分割分割任任意意用用分分點(diǎn)點(diǎn),1210bxxxxxann (2) 取近似取近似為底，為底，以以,1iixx 的窄曲邊梯形的面積的窄曲邊梯形的面積上對應(yīng)上對應(yīng)表示表示,1iiixxA 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì);1 iiixxx，小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 長度為長度為)(if 為高的小矩形為高的小矩形,面積近似代替面積近似代替Oxyix1x1 ix1 nx，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i i iA ,( ),1,2,iiiiAAfx in有7 AiniixfA )(lim10 (3) 求和求和 這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積面積A的近似

5、值的近似值.(4) 求極限求極限 為了得到為了得到A的精確值的精確值,時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零)0( 取極限取極限,形的面積形的面積:分割無限加細(xì)分割無限加細(xì),定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)iniixf )(1 極限值就是曲邊梯極限值就是曲邊梯,max21nxxx 即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度82. .求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思想思想以不變代變以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度已知速度)(tvv 是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔tTT上上,21的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)連續(xù)函數(shù), 0)( tv且且求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思

6、路思路把整段時(shí)間分割成若干小段把整段時(shí)間分割成若干小段, 每小段上每小段上速度看作不變速度看作不變,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便便得到路程的近似值得到路程的近似值,最后通過對時(shí)間的無限最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值細(xì)分過程求得路程的精確值定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)9(1) 分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和iinitvs )(1 (4) 取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值(2) 取近似取近似is ), 2 , 1(ni 0 令令定積分的

7、概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)走過的路程內(nèi)走過的路程.,1iitt 某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度10二、定積分的定義二、定積分的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入定義定義若干個(gè)分點(diǎn)若干個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann 1210把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間, 各小區(qū)間長度依次為各小區(qū)間長度依次為), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)一點(diǎn)),(iiix 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 記記,max21nxxx 如果不論對如果不論對

8、(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn)上兩例共同點(diǎn):; II2) 方法一樣方法一樣;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 結(jié)果形式一樣結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì),ba11被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式記為記為積分和積分和怎樣的分法怎樣的分法,也不論在小區(qū)間也不論在小區(qū)間,1iixx 上點(diǎn)上點(diǎn)i 怎樣的取法怎樣的取法,只要當(dāng)只要當(dāng),0時(shí)時(shí) 和和S總趨于確定的總趨于確定的極限極限I,稱這個(gè)極限稱這個(gè)極限I為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的定積分定積分. .定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)iniibaxfIxxf )(limd)(10 積分下限積分下限積分

9、上限積分上限積分變量積分變量a,b積分區(qū)間積分區(qū)間12 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是與是與 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 (2) 的結(jié)構(gòu)和上、下限的結(jié)構(gòu)和上、下限, 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進(jìn)行推理進(jìn)行推理.定積分是一個(gè)數(shù)定積分是一個(gè)數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)取法取法上上i 有關(guān)有關(guān); ;注注取法取法上上i 無關(guān)無關(guān). .而與積分變量的記號無關(guān)而與積分變量的記號無關(guān).t

10、t bafd)(u u13, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值 baxxfd)(1. 幾何意義幾何意義2A 1A 3A 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義和物理意義三、定積分的幾何意義和物理意義Oxyab)(xf1A2A3A14幾何意義幾何意義定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) baxxfd)(各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號取負(fù)號.它是介于它是介于x軸、函數(shù)軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條直線直線 x = =a, x = = b之間的之間的

11、在在 x 軸上方的面積取正號軸上方的面積取正號;在在 x 軸下方的面積軸下方的面積Oxyab)(xf 15例例xx d1102 求求解解4 21xy 2. 物理意義物理意義,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) tvt = b所經(jīng)過的路程所經(jīng)過的路程 s.)(tvv oxy11 xx d1102 battvd)(作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻 t = a 到時(shí)刻到時(shí)刻定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)定積分定積分表示以變速表示以變速16定理定理1 1定理定理2 2或或記為記為.,baRf 黎曼黎曼 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家(18261866)定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)四、四、關(guān)于函數(shù)的可積性關(guān)

12、于函數(shù)的可積性,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf上上在在則則,)(baxf可積可積. .,)(上有界上有界在在設(shè)設(shè)baxf且只有有限個(gè)間且只有有限個(gè)間上上在在則則,)(baxf可積可積. .當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)上上在區(qū)間在區(qū)間,)(baxf的定積分存在時(shí)的定積分存在時(shí),上上在區(qū)間在區(qū)間稱稱,)(baxf可積可積. .黎曼可積黎曼可積, , 斷點(diǎn)斷點(diǎn), ,充分條件充分條件17解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定義計(jì)算由拋物線用定義計(jì)算由拋物線,2xy ,等分等分n,nixi 分點(diǎn)為分點(diǎn)為分成分成將將1 , 0定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)和和x軸所圍成的曲邊梯形

13、面積軸所圍成的曲邊梯形面積.直線直線1 xni2 , 1 小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度,1nxi ni2 , 1 取取,iix ni2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxin1n18nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) niinixf )(1 nn121161對于任一確定的自然數(shù)對于任一確定的自然數(shù),n積分和積分和 xx d102當(dāng)當(dāng)n取不同值時(shí)取不同值時(shí),xx d102 近似值精度不同

14、近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.19定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計(jì)算問題討論定積分的近似計(jì)算問題.,)(baCxf 設(shè)設(shè) baxxfd)(存在存在.n等分等分,用分點(diǎn)用分點(diǎn)bxxxxan ,210分成分成n個(gè)長度相等個(gè)長度相等的小區(qū)間的小區(qū)間,長度長度,nabx 取取,1 iix 有有 iniibaxfxxf )(limd)(10 baxxfd)( ni 1nab )(1 ixf nlim)(lim11 niinxfnab每個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間對任一確定的自然數(shù)對任一確定的自然數(shù),n)(11 niixfnab , a b將 , a b將20定

15、積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)nab baxxfd)()(11 niixfnab), 2 , 1 , 0(ni iiyxf )(記記取取,1 iix ,nabx 如取如取,iix baxxfd)(nab baxxfd)(矩形法矩形法公式公式).(110 nyyy).(21nyyy 矩形法的矩形法的幾何意義幾何意義xOy)(xfy ab21對定積分的對定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定,)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)(0,)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)( abxxfd)(定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在假定定積

16、分都存在, 且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小22證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)1 1定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(23證證 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2稱為稱

17、為定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì). . baxxkfd)( baxxfkd)()( 為常數(shù)為常數(shù)k24cba,例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則則性質(zhì)性質(zhì)3 3 cbxxfd)( cbxxfd)(定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)假設(shè)bca baxxfd)( axxfd)( bxxfd)(cc的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.不論不論25證證0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(

18、1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 baxxf0d)(性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) baxd1 baxdab 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba 26解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)xxd20 比較積分值比較積分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例27性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論1 1證證)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxf

19、xgba0d)(d)( babaxxfxxg定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba),()(xgxf 則則 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba 28)(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf 說明說明性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論2 2定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfx

20、xfd| )(|d)( baxd baxd baxd可積性是顯然的可積性是顯然的.上的上的在在,| )(|baxf由由推論推論1 129證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍)性質(zhì)性質(zhì)6 6定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)mM和和設(shè)設(shè)分別是函數(shù)分別是函數(shù)上的上的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 則則30解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030

21、 3dsin31403 xx定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)估計(jì)積分估計(jì)積分.dsin3103的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 31解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)( Cxf定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)估計(jì)積分估計(jì)積分.dsin24的值的值xxx 例例上上在在 2,4)( xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 2132證證Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由閉區(qū)間上連

22、續(xù)函數(shù)的介值定理由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理）定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上,ba連續(xù)連續(xù), ,則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間上上,ba至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 積分中值公式積分中值公式上上在在,ba至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , baxxfabfd)(1)( 使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 33定理用途定理用途 )( f注注定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理）定積分中值定理） 如果函數(shù)如果函

23、數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上,ba連續(xù)連續(xù), ,則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間上上,ba至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 無論從幾何上無論從幾何上, 還是從物理上還是從物理上, 都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求連續(xù)變量的連續(xù)變量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉積分號來表示積分值如何去掉積分號來表示積分值. baxxfabfd)(1)( )(ba .,)(上上的的平平均均值值在在區(qū)區(qū)間間就就是是baxf34).1( 設(shè)設(shè)解解.2 T周期周期 21例例 200dsin2ttE0 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)定積分幾何

24、意義定積分幾何意義 E 2tE sin0td0求電動(dòng)勢求電動(dòng)勢在一個(gè)周期上的在一個(gè)周期上的tEE sin0 平均值平均值35積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì))(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 在區(qū)間在區(qū)間, 使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為底邊為底邊,以曲線以曲線)(xfy 為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的一個(gè)矩形的面積的一個(gè)矩形的面積.)(xfy ab )( fOxy36例例0dsinlim xxxannn求證求證證證 由由積分中值定理積分中值定理有有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a為常數(shù)為常數(shù))nn sin定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì))()(d)(baabfxxfba ()nan373. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4.