第五章電磁波的輻射

1、授課主要內(nèi)容備注第五章電磁波的輻射上一章討論了電磁波在空間的傳播規(guī)律，但尚未解決電磁波是怎樣產(chǎn)生的？電磁波是由運(yùn)動(dòng)電荷輻射出來的。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的交變電流輻射出來的，本章討論咼頻父變電流輻射電磁波的規(guī)律。嚴(yán)格說來，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場(chǎng)是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場(chǎng)，而電磁場(chǎng)發(fā)過來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質(zhì)上也是 個(gè)邊值問題。 天線電流和空間電磁場(chǎng)是相互作用的兩方面，需要應(yīng)用天線外表上的邊界條件，同時(shí)確定空間中的電磁波形式和天線上的電流分布。這種問題的求解 般是比較復(fù)雜的，對(duì)此我們不準(zhǔn)備作深入探討，而僅局限于討論由天線上給定電流分布如何計(jì)算輻

2、射電磁波的問題。和恒疋場(chǎng)情形 樣，當(dāng)考慮由電何電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)的問題時(shí)，引入勢(shì)的概念來描述電磁場(chǎng)比較方便。本章首先把勢(shì)的概念推廣到 般變化電磁場(chǎng)情況，然后通過勢(shì)來解決輻射問題。第一節(jié)電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)對(duì)靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)，當(dāng)考慮電荷、電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)時(shí)，引入勢(shì)的概念是比較方便的，對(duì)父變的電磁場(chǎng)也是如此，只不過勢(shì)的定義與靜電靜磁情況有所不同一.非恒定情況下電磁場(chǎng)的勢(shì)1、真空中的麥克斯韋方程組為簡(jiǎn)單計(jì)，討論真空情況下的電磁場(chǎng)。麥?zhǔn)戏匠探M為E B , H D J ( Jf)t tfD ( f ), B 0電磁性質(zhì)方程 D oE, BoH ,2、電磁場(chǎng)的勢(shì)(1)矢勢(shì)Bo磁場(chǎng)仍是無源場(chǎng)，B 0，與靜磁場(chǎng)

3、樣。盡管兩種情況下B的旋度不同，由于磁場(chǎng)仍是無源場(chǎng)，故可引入矢勢(shì)A,BA,與靜電場(chǎng)不同的是，兩者是時(shí)間與空間的函數(shù)。與靜磁場(chǎng)相同。A的物理意義是任意時(shí)刻 A的環(huán)路積分等于該時(shí)刻通過回路的磁通量。(2)標(biāo)勢(shì)電場(chǎng)E的特性與靜電場(chǎng)不同 ，靜電場(chǎng)是有源的 E,無旋的E 0。0現(xiàn)在，在一般E青況下電場(chǎng)是有源A( A) E所有旋的E B，因而不可能用 0t單一的標(biāo)勢(shì)來描寫。由于電場(chǎng)還 與磁場(chǎng)有關(guān)，因而應(yīng)該把電場(chǎng)與磁場(chǎng)合在一起考慮。由于E A是無旋場(chǎng)，可引標(biāo)勢(shì)t 1ct由于EA是無旋場(chǎng)，可引標(biāo)勢(shì)，滿足E A ,tt故E A汪意：,B A t(1) 由于 E不是單由確定，還要矢勢(shì) A。因而 已不再與勢(shì)能聯(lián)系，

4、 頻電路中電壓也失去確定的意義。此時(shí)相應(yīng)的稱為電磁場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)。(2) 此結(jié)果已把靜電場(chǎng)，靜磁場(chǎng)作為特殊情況包含在其中。在高乙標(biāo)準(zhǔn)變換和標(biāo)準(zhǔn)不變性(1 )標(biāo)準(zhǔn)變換和標(biāo)準(zhǔn)不變性給定一組 和A，可確定唯一的一組E和B，但給定 E和BA,與之對(duì)應(yīng)的當(dāng)作變換3 T V = VI Y應(yīng) k = W (Jf + VV) =Vx X = 3為任意標(biāo)量函數(shù))不唯一。設(shè)由給定的一組和A可得到E A , b即，如果在矢勢(shì)A ' (A )A上加任意標(biāo)量函數(shù) 的梯度，同時(shí)在標(biāo)勢(shì)上減去，那么B、保持不變。變換AA，)稱為一種標(biāo)準(zhǔn)。在稱為勢(shì)的標(biāo)準(zhǔn)變換，每一組(t經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，由于表示電磁場(chǎng)客觀屬性的可觀測(cè)的物

5、理量為E、而不同的標(biāo)準(zhǔn)又 對(duì)應(yīng)著同一的 E和B，因此如果用勢(shì)來描述電磁場(chǎng)，客觀規(guī)律應(yīng)該和勢(shì)的特殊的標(biāo)準(zhǔn)無關(guān)。變換時(shí)，所有物理量和物理規(guī)律都應(yīng)該保持不變，這種不變性稱為標(biāo)準(zhǔn)不變性。不僅在電磁相互作用中，而且在其他根本相互作用，包括弱相互作用和強(qiáng)相互作用中，決定相互作用形式的一條根本原理。傳遞這些作用的場(chǎng)稱為標(biāo)準(zhǔn)場(chǎng)。電磁場(chǎng)是 人們最熟知的一種標(biāo)準(zhǔn)場(chǎng)。由于A和的這種任意性，需要對(duì)它加上限制條件。數(shù)學(xué)上來說，標(biāo)準(zhǔn)變換的自由度的存在是由于在勢(shì)的定義式中，只給出了 A的旋度，而沒有給出 A的散度。為了確定 A，還 必須給定它的散度。電磁場(chǎng) E 和B本身對(duì) A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢(shì)的輔助條件，

6、我們可以取 A為任意值。每一種選擇對(duì)應(yīng)一種標(biāo)準(zhǔn)。采用適當(dāng)?shù)妮o助條件可以 使根本方程和計(jì)算簡(jiǎn)化， 而且物理意義也較明顯。 靜磁場(chǎng)情況下， 對(duì)A也是加了限制條件A 0的，限制條件不唯一。(2)常用兩種標(biāo)準(zhǔn)：庫(kù)侖標(biāo)準(zhǔn)輔助條件為：A0當(dāng)勢(shì)作標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)不變性是這種標(biāo)準(zhǔn)下 A是無源的，電場(chǎng)的表達(dá)式為式中的第二項(xiàng) 是無源場(chǎng)橫場(chǎng)，而第一項(xiàng) 為無旋場(chǎng)縱場(chǎng)。這種標(biāo)準(zhǔn)的tA特點(diǎn)是E的縱場(chǎng)1 全由 來描述，而橫場(chǎng)局部由 A描述，A項(xiàng)不含縱場(chǎng)局部。項(xiàng)對(duì)應(yīng)庫(kù)倫場(chǎng)， 對(duì)應(yīng)感應(yīng)電場(chǎng)。這種劃分對(duì)于討論某些問題是很方便的。t洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)輔助條件為：C20采用這種標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，勢(shì)的根本方程化為特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱形式，其物理意義也特別明顯。 因這

7、種標(biāo)準(zhǔn)在根本理論研究以及解決實(shí)際輻射問題中特別方便。此，三、達(dá)朗貝爾方程 由麥?zhǔn)戏匠探M出發(fā)，使用洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)，可得到程和滿足的微分方程一一達(dá)朗貝爾方1、A滿足的微分方程達(dá)朗貝爾方程D 由H DJ對(duì)真空tB 0 0 Et oJ代入得到(A)0 J 0 0 ( A )0 0 0 t t2=oJ 12 12 22A=0 J c2 t c2 t2由矢量分析可得2A ( A) 2 A上兩式相等可得oJ 0 0 t 0 0 t ( At)1A221 22 ai(A 12c2 t )oJ1C考考慮到洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)限制條件C2 t得到 2 A 12 2AoJct2滿足的微分方程達(dá)朗貝爾方程由D，D oE得到EA把E

8、 A代入，得t由洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)限制條0A1 A C2 t件故2C12 t t Ct這兩個(gè)方程22A 12 2AC2 tC2 t 012 Ct 稱為達(dá)朗貝爾方程。由此可看出， 使用洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)的好處： 的，都是非齊次波動(dòng)方程。A 和 滿足的方程是對(duì)稱 J 產(chǎn)生 A 的波動(dòng)， 產(chǎn)生 的波動(dòng)，離開電荷分布區(qū)域時(shí) 0, J 0 矢勢(shì)、標(biāo)勢(shì)都以波動(dòng)形式在空間傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場(chǎng) 動(dòng)形式在空間中傳播。當(dāng)然E、 B的波動(dòng)性質(zhì)是和標(biāo)準(zhǔn)無關(guān)的也。以波 1在洛侖茲標(biāo)準(zhǔn)下，達(dá)朗貝爾方程及洛侖茲條 件學(xué)根本方程組取代麥?zhǔn)戏匠探M及D 0E， B 0HA 12 是用勢(shì)來表述的電動(dòng)力C2t C tE、 B求出 A 和 后可求

9、出 假設(shè)采用庫(kù)倫標(biāo)準(zhǔn)那么可得到2 A A22C1 J ，2 2 0 J ，2 2 0Ct A 0 ，這個(gè)條件是前提，不要忘了假設(shè) ,J 0 ，稱之為受迫波動(dòng)方程。 等式右邊的項(xiàng)等于作用項(xiàng)。 受迫振動(dòng)然后向外傳播。 電 荷激發(fā)電場(chǎng)， 電流激發(fā)磁場(chǎng)， 兩者相互激發(fā)， 由近及遠(yuǎn)傳播， 沒有電荷電流處仍有電磁場(chǎng)， 不過是以電磁波的形式傳播。矢勢(shì)、標(biāo)勢(shì)可以分開研究，但麥克斯韋方程組是電場(chǎng)與磁場(chǎng)攪在一起的。例題分析了兩種標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)缺點(diǎn)第二節(jié) 這一節(jié)的任務(wù)是求解達(dá)朗貝爾方程，得到其解 入手，要研究特殊的，利用線性疊加原理。推遲勢(shì)、達(dá)朗貝爾方程的解矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)方程的形式類似，都依賴于各自的源1212 2c2 t標(biāo)

10、勢(shì)滿足的方程是2電荷密，(x,t)為t時(shí)刻x處(x,t )(x ,t )c dV (嘗試解)，4 or證明:1 2 (x ,t cr)(2c12 t2)(x,t J其中(2c12 t2)ct(x,t r ) c rx ,t rx ,t r c利用2 1 r r1r1、A的表達(dá)式。我們不從一般 的時(shí)刻的)x考慮標(biāo)勢(shì)滿足的方程。2 o其中(幼為t電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)?？梢宰C明的解為其中r x x為源點(diǎn)x與場(chǎng)點(diǎn)x的距離。(x,t r)中的t r稱為函數(shù)的宗量，表征是由多個(gè)自變量組成的，隨著c遠(yuǎn)處傳播。x， t增大，向22)rcdV41 0( 2(x,t r )c22x/crrr我們得到ct1 1x ,tr

11、c rrt 2 (x, tc r t ccr)x ,t1 r2r，t cc2r t2x ,t21x,tr rrx ,tx ,tcr3，r r3 rrct2x ,t r cx,t crcrtct r 1 c c r同理cx ,t r1 r 1 t r r c c r1trrcc r ，x ,tr1 r r2x ,t cc1 11 r r 2 r tt112cccrr2 2t crr cc 12 trr2c而2t2故,t(2t rc2122ctx，trx, 1cr4 x xx ,trc13 r c 2rr c4 x x x ,tc12 t2 )ct因此，x, t1ct ctrr Lc r c22c

12、r40r c x ,t r c4ocr 2 r2cr12crx ,t rx ,tr4 x x x,t dVx ,t r確是關(guān)于 的達(dá)朗貝爾方程的解。c dV r同理，關(guān)于A的達(dá)朗貝爾方程的解 A x,t 40 為1由電,A稱為推遲勢(shì)。荷守恒定律可驗(yàn)證上面的和A滿足洛侖茲條件 A 12 c2 tx,t40J x,tC dVA x, tr11 t) crrJ(x ,t r c1 1 J( x ,t )1對(duì)x作用為零1 c r r (t r ) c (t c)dVJ (x,t cr)利用cr代入上式中得1 J(x,t r ) J(x ,t rc(XdvJ(x,tC)dV J(x，tC) dS 0(所

13、以上式J沒有dS法向分量),t 400 1 J(x ,tcr) t不變1 J(x，t ) r 11 c (t r ) 1 r (t r )cJ(x,t r ) 1c(1r)dVcc r r(t )t不變dV1 J (x,t r)4r由電荷守恒定律t上式可得012 (1 2 +c t14 t r c0 1 (x , t r )dV ) c t 4 r c:即驗(yàn)證了其滿足洛倫茲標(biāo)準(zhǔn)條件。A有了，A，可得到E， B，( B(x,t r )dVE A)t二、推遲勢(shì)的物理意義為什么稱達(dá)朗貝爾方程的解為推遲勢(shì)呢?t時(shí)刻空間點(diǎn) x處的 和A(因而E和B )是由t r時(shí)刻x處的 和J激發(fā)的， 因而c是由電荷電

14、流分布區(qū)域V中不同點(diǎn)在不同時(shí)刻所激發(fā)的，這是立足于場(chǎng)點(diǎn)。如果立足于源r點(diǎn)，x處t時(shí)刻的 和J，它將在x激發(fā)出t時(shí)刻的勢(shì)。 這說明，電磁作用不是超距的， 有一定的傳播速度一一光速。相互作用是以有限速度傳播的。第三節(jié)電偶極輻射電磁波是由運(yùn)動(dòng)電荷輻射出來的。這一節(jié)討論分布在小范圍內(nèi)的電荷以遠(yuǎn)小于光速的 速度 運(yùn)動(dòng)時(shí)在遠(yuǎn)處輻射的場(chǎng)。 電偶極輻射是最根本的一種輻射， 它在宏觀無線電輻射和微觀 帶電 粒子輻射中都占重要地位。、計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式設(shè)空間某區(qū)域中，電流密度J以一定的頻率振蕩，Jx,t Jxe 11其中波數(shù)為k因此Ax4reikr是推遲作用因子，表示電磁波由x'傳到x時(shí)有位相滯后eik

15、r，求出A后由(E(x,t) E(x)e積分，因?yàn)橛烧婵罩械柠準(zhǔn)戏匠探M，在BA可得磁感應(yīng)強(qiáng)度，至于電場(chǎng)，不必再由 電荷電流分布區(qū)域外面，c ic因而EcB ic c B ic B ik總之，在這種情況下，由矢勢(shì) A可完全確定電磁場(chǎng) B、E。二、矢勢(shì)的展開式現(xiàn)在的任務(wù)是對(duì)3.4式做級(jí)數(shù)展開，象在“磁多極矩 尺度，電荷分布區(qū)域的線度I， x'I節(jié)所做過的。該式涉及三2c2E， 激發(fā)的電磁波的波長(zhǎng)，k 電荷電流到觀察點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)的距離此時(shí)仍有三種不同的區(qū)域1 近區(qū)rk 1， eikr 1，場(chǎng)近似為靜電場(chǎng)。恒定場(chǎng)2 感應(yīng)區(qū)r3 遠(yuǎn)區(qū)輻射區(qū)r我們僅討論r l的情況，即討論局限在小范圍其線度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)

16、的電流 分布在遠(yuǎn)處距 電流分布區(qū)域的距離 r遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)產(chǎn)生勢(shì)的情況。矢量,AX)表達(dá)式中被積函數(shù)為，其中p是電流分布區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)的電偶 極J(x)eikj(x)eik(R nx)rR n x取原點(diǎn)在x，各取至多少級(jí)的近似？我們說，分子中nx的作用比分母電流分 作用更重要，指數(shù)位上的表達(dá)式不能隨意展開省略。因而分母中Rnx近似取為布區(qū)域V'內(nèi)，以RikRe展開中分子分母都有 ikR RJ(x)eik(R nx) J(x)表觀察點(diǎn)到原點(diǎn)距離R x，取n為x方向單位R中n x R，而對(duì)分子做級(jí)數(shù)展開因而A(x)0eJ(x) 1 ikn x4RidV三、電偶極輻射A( x)展開式中第一項(xiàng) A(

17、x)0eikRJ(x )dV'4R由第一章習(xí)題 5可知J(x)dV ' dP4Re i t，把時(shí)間因子加上去，就可以理解了。 下面，要由 開時(shí)，只對(duì)分子取了最初級(jí)的dt0eikR矩。因此 A( x) 0 P，它表示由振蕩電偶極矩產(chǎn)生的 輻射。這里沒有寫出時(shí)間因子近似R作用在分子的 eikR上，(eikR4RA計(jì)算B、 E，因此要用算子 對(duì)A作用。注意， 我們前面對(duì) A做級(jí)數(shù)展n x R，因而算子 無須作用 在分母R上，僅需0 eikR P (對(duì)P無作用，ikR ikR R ike dRikB0 eikR n P 4R由此可以看出的作用等價(jià)于下述代換:ikn，而由于 J(x

18、9;,t) J(x')e i t， A(x,t)ikR de e因?yàn)?P P(t) ) 4RikRikne所以i，或i tt而上式中的k為k 0 0c0 0 eikRn4ReikR ()n P1 ikn x Rn x4 oRc3 ick ikR eB k ikn B cn B cB n2 (P n) n4 o Rc2方向?yàn)闃O軸，輻射出來的電磁波是橫波TEM 如果 把坐標(biāo)原點(diǎn)取在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)并以 那么B沿緯線上振蕩E沿經(jīng)線上振蕩B1 3 P4 oRc3ikR . e sin e4 oRc2ikR e sin e0由于電荷分布在場(chǎng)點(diǎn)處教材上的電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線都是閉合的 為零四、輻射能流

19、角分布S E HP si n2cos2(KR t)n22 2 5160 R c2S 1 2 2 3-2So 32 2 o R2c3sin n我們需要注意的是，前面我們采用的是復(fù)數(shù)的形式iKR其實(shí)部，此時(shí)考慮時(shí)，應(yīng)考慮時(shí)間因子e i t)輻eiKR，現(xiàn)在要采用余弦表示即射功率為P r S dSP232 2 oc3 sin2 dP2322 3 sin3 d d32 2 oc3 o o4 o c3 與球的半徑無關(guān)，這就保證電磁能量可以傳到任意遠(yuǎn)處。由于電場(chǎng)，磁場(chǎng)大小都與 1成正比，因而能流與R112成正比，對(duì)球面積分后，總功率假設(shè)保證p的振幅不變，那么輻射正比于頻率的四次方。頻率變高時(shí)，輻射功率迅速

20、增大，源于下式：設(shè) p poe i t24Ppo12 oc3在實(shí)際應(yīng)用中， 無線電用的載波頻率高，用于載荷頻率較低的聲音等信號(hào)，通過調(diào)幅等將電波內(nèi)容下載出來。這種現(xiàn)象稱為光波面上每一點(diǎn)惠更斯原理可由2 k20使用格林函數(shù)方法可第四節(jié)電磁波的衍射簡(jiǎn)介電磁波在傳播中遇到障礙物或透過屏幕上的小孔時(shí)會(huì)改變?cè)瓉淼膫鞑シ较颍?電磁波的衍射。 光是電磁波的一種， 光學(xué)中衍射理論的根底是惠更斯原理： 都可以看作次級(jí)光源，它們發(fā)射出子波。這些子波迭加后得到向前傳播的光波。 電動(dòng)力學(xué)理論導(dǎo)出。推導(dǎo)的思想是，電場(chǎng) E磁場(chǎng)B的任意直角分量都滿足亥姆霍茲方程： 衍射問題實(shí)質(zhì)是電磁波的邊值問題，而邊值問題解法之一是格林函

21、數(shù)法。得到基爾霍夫公式?；鶢柣舴蚬绞腔莞乖淼臄?shù)學(xué)表述。第五節(jié)電磁場(chǎng)的張量、有電磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)量守恒定律電磁場(chǎng)具有能量，但能量只是物質(zhì)的一種屬性，還應(yīng)該考慮電磁場(chǎng)的動(dòng)量。運(yùn)動(dòng)的物質(zhì) 具有動(dòng)量。電磁場(chǎng)有物質(zhì)性，因而也有動(dòng)量。 通過電磁場(chǎng)對(duì)電荷電流的作用，根據(jù)能量守恒 定律來描述電磁場(chǎng)的能量。動(dòng)量也采用類似的方法。根據(jù)動(dòng)量守恒定律來描述電磁場(chǎng)的動(dòng)量。當(dāng)研究某一區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量時(shí)，仔細(xì)區(qū)分一下， 這里的動(dòng)量應(yīng)有兩個(gè)方面：一是電荷電流系統(tǒng) 的動(dòng)量，二是電磁場(chǎng)本身的動(dòng)量。動(dòng)量守恒定律是迄今為止，自然界最為精準(zhǔn)的定律之一。帶電體系的動(dòng)量變化，應(yīng)對(duì)應(yīng) 有電磁場(chǎng)的動(dòng)量的變化。電磁場(chǎng)的動(dòng)量要能用電場(chǎng)磁場(chǎng)等場(chǎng)量來表示

22、。某一區(qū)域內(nèi)電荷電流系統(tǒng)的動(dòng)量的變化率與電磁場(chǎng)的動(dòng)量的變化率之和， 入?yún)^(qū)域內(nèi)的動(dòng)量。這就是有電磁場(chǎng)時(shí)動(dòng)量守恒定律的形式。洛侖茲力公式給出電荷系統(tǒng)受到電磁場(chǎng)的作用力的力密度單位體積的力 化率，因而力密度等于動(dòng)量密度的時(shí)間變化率下面把應(yīng)等于單位時(shí) 間內(nèi)從界面流f E J B，而力等于動(dòng)量變H1f用電磁場(chǎng)表示出來，即把真空B D J 0 E J0t 0t,J用電磁場(chǎng)表示出來h丄“df生，%a4 =£()( ( Vx / )X 豪Eo 其中E B E B E B ( E B) E E (利用E B) t t t t t將上式和 B 0因而 f 0 E E 10B B 10 B B 0 t(E

23、 B) 0E代入1式得(1)11f g f g f g gE22E E 2 E E 2 E E 2 EI .23)0 E E B B B B故 E E E E 1 E 2 因此 E E E E E E E E 1 E2 fg f g f g，EE E E E E0 (E B) (2) 00 fgEE 1IE 212 同理2B B B B BBIB 2代入2式得1 21IE22BB1 21IB220tE BoEE o BB 2I oE2 1o B如果令g oE B2 oEA B2T oEE BB I1oo 2，當(dāng)電o要注意這不是推理出來的， 這么選取的原因?yàn)椋哼@種假設(shè)最簡(jiǎn)單樸素的物理思想 磁場(chǎng)為