第五章電磁波的輻射

1、授課主要內(nèi)容備注第五章電磁波的輻射上一章討論了電磁波在空間的傳播規(guī)律，但尚未解決電磁波是怎樣產(chǎn)生的？電磁波是由運動電荷輻射出來的。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的交變電流輻射出來的，本章討論咼頻父變電流輻射電磁波的規(guī)律。嚴格說來，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場發(fā)過來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質(zhì)上也是 個邊值問題。 天線電流和空間電磁場是相互作用的兩方面，需要應(yīng)用天線外表上的邊界條件，同時確定空間中的電磁波形式和天線上的電流分布。這種問題的求解 般是比較復(fù)雜的，對此我們不準備作深入探討，而僅局限于討論由天線上給定電流分布如何計算輻

2、射電磁波的問題。和恒疋場情形 樣，當(dāng)考慮由電何電流分布激發(fā)電磁場的問題時，引入勢的概念來描述電磁場比較方便。本章首先把勢的概念推廣到 般變化電磁場情況，然后通過勢來解決輻射問題。第一節(jié)電磁場的矢勢和標勢對靜電場和靜磁場，當(dāng)考慮電荷、電流分布激發(fā)電磁場時，引入勢的概念是比較方便的，對父變的電磁場也是如此，只不過勢的定義與靜電靜磁情況有所不同一.非恒定情況下電磁場的勢1、真空中的麥克斯韋方程組為簡單計，討論真空情況下的電磁場。麥氏方程組為E B , H D J ( Jf)t tfD ( f ), B 0電磁性質(zhì)方程 D oE, BoH ,2、電磁場的勢(1)矢勢Bo磁場仍是無源場，B 0，與靜磁場

3、樣。盡管兩種情況下B的旋度不同，由于磁場仍是無源場，故可引入矢勢A,BA,與靜電場不同的是，兩者是時間與空間的函數(shù)。與靜磁場相同。A的物理意義是任意時刻 A的環(huán)路積分等于該時刻通過回路的磁通量。(2)標勢電場E的特性與靜電場不同 ，靜電場是有源的 E,無旋的E 0。0現(xiàn)在，在一般E青況下電場是有源A( A) E所有旋的E B，因而不可能用 0t單一的標勢來描寫。由于電場還 與磁場有關(guān)，因而應(yīng)該把電場與磁場合在一起考慮。由于E A是無旋場，可引標勢t 1ct由于EA是無旋場，可引標勢，滿足E A ,tt故E A汪意：,B A t(1) 由于 E不是單由確定，還要矢勢 A。因而 已不再與勢能聯(lián)系，

4、 頻電路中電壓也失去確定的意義。此時相應(yīng)的稱為電磁場的矢勢與標勢。(2) 此結(jié)果已把靜電場，靜磁場作為特殊情況包含在其中。在高乙標準變換和標準不變性(1 )標準變換和標準不變性給定一組 和A，可確定唯一的一組E和B，但給定 E和BA,與之對應(yīng)的當(dāng)作變換3 T V = VI Y應(yīng) k = W (Jf + VV) =Vx X = 3為任意標量函數(shù))不唯一。設(shè)由給定的一組和A可得到E A , b即，如果在矢勢A ' (A )A上加任意標量函數(shù) 的梯度，同時在標勢上減去，那么B、保持不變。變換AA，)稱為一種標準。在稱為勢的標準變換，每一組(t經(jīng)典電動力學(xué)中，由于表示電磁場客觀屬性的可觀測的物

5、理量為E、而不同的標準又 對應(yīng)著同一的 E和B，因此如果用勢來描述電磁場，客觀規(guī)律應(yīng)該和勢的特殊的標準無關(guān)。變換時，所有物理量和物理規(guī)律都應(yīng)該保持不變，這種不變性稱為標準不變性。不僅在電磁相互作用中，而且在其他根本相互作用，包括弱相互作用和強相互作用中，決定相互作用形式的一條根本原理。傳遞這些作用的場稱為標準場。電磁場是 人們最熟知的一種標準場。由于A和的這種任意性，需要對它加上限制條件。數(shù)學(xué)上來說，標準變換的自由度的存在是由于在勢的定義式中，只給出了 A的旋度，而沒有給出 A的散度。為了確定 A，還 必須給定它的散度。電磁場 E 和B本身對 A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，

6、我們可以取 A為任意值。每一種選擇對應(yīng)一種標準。采用適當(dāng)?shù)妮o助條件可以 使根本方程和計算簡化， 而且物理意義也較明顯。 靜磁場情況下， 對A也是加了限制條件A 0的，限制條件不唯一。(2)常用兩種標準：庫侖標準輔助條件為：A0當(dāng)勢作標準標準不變性是這種標準下 A是無源的，電場的表達式為式中的第二項 是無源場橫場，而第一項 為無旋場縱場。這種標準的tA特點是E的縱場1 全由 來描述，而橫場局部由 A描述，A項不含縱場局部。項對應(yīng)庫倫場， 對應(yīng)感應(yīng)電場。這種劃分對于討論某些問題是很方便的。t洛侖茲標準輔助條件為：C20采用這種標準時，勢的根本方程化為特別簡單的對稱形式，其物理意義也特別明顯。 因這

7、種標準在根本理論研究以及解決實際輻射問題中特別方便。此，三、達朗貝爾方程 由麥氏方程組出發(fā)，使用洛侖茲標準，可得到程和滿足的微分方程一一達朗貝爾方1、A滿足的微分方程達朗貝爾方程D 由H DJ對真空tB 0 0 Et oJ代入得到(A)0 J 0 0 ( A )0 0 0 t t2=oJ 12 12 22A=0 J c2 t c2 t2由矢量分析可得2A ( A) 2 A上兩式相等可得oJ 0 0 t 0 0 t ( At)1A221 22 ai(A 12c2 t )oJ1C考考慮到洛侖茲標準限制條件C2 t得到 2 A 12 2AoJct2滿足的微分方程達朗貝爾方程由D，D oE得到EA把E

8、 A代入，得t由洛侖茲標準限制條0A1 A C2 t件故2C12 t t Ct這兩個方程22A 12 2AC2 tC2 t 012 Ct 稱為達朗貝爾方程。由此可看出， 使用洛侖茲標準的好處： 的，都是非齊次波動方程。A 和 滿足的方程是對稱 J 產(chǎn)生 A 的波動， 產(chǎn)生 的波動，離開電荷分布區(qū)域時 0, J 0 矢勢、標勢都以波動形式在空間傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場 動形式在空間中傳播。當(dāng)然E、 B的波動性質(zhì)是和標準無關(guān)的也。以波 1在洛侖茲標準下，達朗貝爾方程及洛侖茲條 件學(xué)根本方程組取代麥氏方程組及D 0E， B 0HA 12 是用勢來表述的電動力C2t C tE、 B求出 A 和 后可求

9、出 假設(shè)采用庫倫標準那么可得到2 A A22C1 J ，2 2 0 J ，2 2 0Ct A 0 ，這個條件是前提，不要忘了假設(shè) ,J 0 ，稱之為受迫波動方程。 等式右邊的項等于作用項。 受迫振動然后向外傳播。 電 荷激發(fā)電場， 電流激發(fā)磁場， 兩者相互激發(fā)， 由近及遠傳播， 沒有電荷電流處仍有電磁場， 不過是以電磁波的形式傳播。矢勢、標勢可以分開研究，但麥克斯韋方程組是電場與磁場攪在一起的。例題分析了兩種標準的優(yōu)缺點第二節(jié) 這一節(jié)的任務(wù)是求解達朗貝爾方程，得到其解 入手，要研究特殊的，利用線性疊加原理。推遲勢、達朗貝爾方程的解矢勢和標勢方程的形式類似，都依賴于各自的源1212 2c2 t標

10、勢滿足的方程是2電荷密，(x,t)為t時刻x處(x,t )(x ,t )c dV (嘗試解)，4 or證明:1 2 (x ,t cr)(2c12 t2)(x,t J其中(2c12 t2)ct(x,t r ) c rx ,t rx ,t r c利用2 1 r r1r1、A的表達式。我們不從一般 的時刻的)x考慮標勢滿足的方程。2 o其中(幼為t電磁場的標勢?？梢宰C明的解為其中r x x為源點x與場點x的距離。(x,t r)中的t r稱為函數(shù)的宗量，表征是由多個自變量組成的，隨著c遠處傳播。x， t增大，向22)rcdV41 0( 2(x,t r )c22x/crrr我們得到ct1 1x ,tr

11、c rrt 2 (x, tc r t ccr)x ,t1 r2r，t cc2r t2x ,t21x,tr rrx ,tx ,tcr3，r r3 rrct2x ,t r cx,t crcrtct r 1 c c r同理cx ,t r1 r 1 t r r c c r1trrcc r ，x ,tr1 r r2x ,t cc1 11 r r 2 r tt112cccrr2 2t crr cc 12 trr2c而2t2故,t(2t rc2122ctx，trx, 1cr4 x xx ,trc13 r c 2rr c4 x x x ,tc12 t2 )ct因此，x, t1ct ctrr Lc r c22c

12、r40r c x ,t r c4ocr 2 r2cr12crx ,t rx ,tr4 x x x,t dVx ,t r確是關(guān)于 的達朗貝爾方程的解。c dV r同理，關(guān)于A的達朗貝爾方程的解 A x,t 40 為1由電,A稱為推遲勢。荷守恒定律可驗證上面的和A滿足洛侖茲條件 A 12 c2 tx,t40J x,tC dVA x, tr11 t) crrJ(x ,t r c1 1 J( x ,t )1對x作用為零1 c r r (t r ) c (t c)dVJ (x,t cr)利用cr代入上式中得1 J(x,t r ) J(x ,t rc(XdvJ(x,tC)dV J(x，tC) dS 0(所

13、以上式J沒有dS法向分量),t 400 1 J(x ,tcr) t不變1 J(x，t ) r 11 c (t r ) 1 r (t r )cJ(x,t r ) 1c(1r)dVcc r r(t )t不變dV1 J (x,t r)4r由電荷守恒定律t上式可得012 (1 2 +c t14 t r c0 1 (x , t r )dV ) c t 4 r c:即驗證了其滿足洛倫茲標準條件。A有了，A，可得到E， B，( B(x,t r )dVE A)t二、推遲勢的物理意義為什么稱達朗貝爾方程的解為推遲勢呢?t時刻空間點 x處的 和A(因而E和B )是由t r時刻x處的 和J激發(fā)的， 因而c是由電荷電

14、流分布區(qū)域V中不同點在不同時刻所激發(fā)的，這是立足于場點。如果立足于源r點，x處t時刻的 和J，它將在x激發(fā)出t時刻的勢。 這說明，電磁作用不是超距的， 有一定的傳播速度一一光速。相互作用是以有限速度傳播的。第三節(jié)電偶極輻射電磁波是由運動電荷輻射出來的。這一節(jié)討論分布在小范圍內(nèi)的電荷以遠小于光速的 速度 運動時在遠處輻射的場。 電偶極輻射是最根本的一種輻射， 它在宏觀無線電輻射和微觀 帶電 粒子輻射中都占重要地位。、計算輻射場的一般公式設(shè)空間某區(qū)域中，電流密度J以一定的頻率振蕩，Jx,t Jxe 11其中波數(shù)為k因此Ax4reikr是推遲作用因子，表示電磁波由x'傳到x時有位相滯后eik

15、r，求出A后由(E(x,t) E(x)e積分，因為由真空中的麥氏方程組，在BA可得磁感應(yīng)強度，至于電場，不必再由 電荷電流分布區(qū)域外面，c ic因而EcB ic c B ic B ik總之，在這種情況下，由矢勢 A可完全確定電磁場 B、E。二、矢勢的展開式現(xiàn)在的任務(wù)是對3.4式做級數(shù)展開，象在“磁多極矩 尺度，電荷分布區(qū)域的線度I， x'I節(jié)所做過的。該式涉及三2c2E， 激發(fā)的電磁波的波長，k 電荷電流到觀察點場點的距離此時仍有三種不同的區(qū)域1 近區(qū)rk 1， eikr 1，場近似為靜電場。恒定場2 感應(yīng)區(qū)r3 遠區(qū)輻射區(qū)r我們僅討論r l的情況，即討論局限在小范圍其線度遠小于波長

16、的電流 分布在遠處距 電流分布區(qū)域的距離 r遠大于波長產(chǎn)生勢的情況。矢量,AX)表達式中被積函數(shù)為，其中p是電流分布區(qū)域關(guān)于原點的電偶 極J(x)eikj(x)eik(R nx)rR n x取原點在x，各取至多少級的近似？我們說，分子中nx的作用比分母電流分 作用更重要，指數(shù)位上的表達式不能隨意展開省略。因而分母中Rnx近似取為布區(qū)域V'內(nèi)，以RikRe展開中分子分母都有 ikR RJ(x)eik(R nx) J(x)表觀察點到原點距離R x，取n為x方向單位R中n x R，而對分子做級數(shù)展開因而A(x)0eJ(x) 1 ikn x4RidV三、電偶極輻射A( x)展開式中第一項 A(

17、x)0eikRJ(x )dV'4R由第一章習(xí)題 5可知J(x)dV ' dP4Re i t，把時間因子加上去，就可以理解了。 下面，要由 開時，只對分子取了最初級的dt0eikR矩。因此 A( x) 0 P，它表示由振蕩電偶極矩產(chǎn)生的 輻射。這里沒有寫出時間因子近似R作用在分子的 eikR上，(eikR4RA計算B、 E，因此要用算子 對A作用。注意， 我們前面對 A做級數(shù)展n x R，因而算子 無須作用 在分母R上，僅需0 eikR P (對P無作用，ikR ikR R ike dRikB0 eikR n P 4R由此可以看出的作用等價于下述代換:ikn，而由于 J(x

18、9;,t) J(x')e i t， A(x,t)ikR de e因為 P P(t) ) 4RikRikne所以i，或i tt而上式中的k為k 0 0c0 0 eikRn4ReikR ()n P1 ikn x Rn x4 oRc3 ick ikR eB k ikn B cn B cB n2 (P n) n4 o Rc2方向為極軸，輻射出來的電磁波是橫波TEM 如果 把坐標原點取在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)并以 那么B沿緯線上振蕩E沿經(jīng)線上振蕩B1 3 P4 oRc3ikR . e sin e4 oRc2ikR e sin e0由于電荷分布在場點處教材上的電場線與磁場線都是閉合的 為零四、輻射能流

19、角分布S E HP si n2cos2(KR t)n22 2 5160 R c2S 1 2 2 3-2So 32 2 o R2c3sin n我們需要注意的是，前面我們采用的是復(fù)數(shù)的形式iKR其實部，此時考慮時，應(yīng)考慮時間因子e i t)輻eiKR，現(xiàn)在要采用余弦表示即射功率為P r S dSP232 2 oc3 sin2 dP2322 3 sin3 d d32 2 oc3 o o4 o c3 與球的半徑無關(guān)，這就保證電磁能量可以傳到任意遠處。由于電場，磁場大小都與 1成正比，因而能流與R112成正比，對球面積分后，總功率假設(shè)保證p的振幅不變，那么輻射正比于頻率的四次方。頻率變高時，輻射功率迅速

20、增大，源于下式：設(shè) p poe i t24Ppo12 oc3在實際應(yīng)用中， 無線電用的載波頻率高，用于載荷頻率較低的聲音等信號，通過調(diào)幅等將電波內(nèi)容下載出來。這種現(xiàn)象稱為光波面上每一點惠更斯原理可由2 k20使用格林函數(shù)方法可第四節(jié)電磁波的衍射簡介電磁波在傳播中遇到障礙物或透過屏幕上的小孔時會改變原來的傳播方向， 電磁波的衍射。 光是電磁波的一種， 光學(xué)中衍射理論的根底是惠更斯原理： 都可以看作次級光源，它們發(fā)射出子波。這些子波迭加后得到向前傳播的光波。 電動力學(xué)理論導(dǎo)出。推導(dǎo)的思想是，電場 E磁場B的任意直角分量都滿足亥姆霍茲方程： 衍射問題實質(zhì)是電磁波的邊值問題，而邊值問題解法之一是格林函

21、數(shù)法。得到基爾霍夫公式。基爾霍夫公式是惠更斯原理的數(shù)學(xué)表述。第五節(jié)電磁場的張量、有電磁場時的動量守恒定律電磁場具有能量，但能量只是物質(zhì)的一種屬性，還應(yīng)該考慮電磁場的動量。運動的物質(zhì) 具有動量。電磁場有物質(zhì)性，因而也有動量。 通過電磁場對電荷電流的作用，根據(jù)能量守恒 定律來描述電磁場的能量。動量也采用類似的方法。根據(jù)動量守恒定律來描述電磁場的動量。當(dāng)研究某一區(qū)域內(nèi)的動量時，仔細區(qū)分一下， 這里的動量應(yīng)有兩個方面：一是電荷電流系統(tǒng) 的動量，二是電磁場本身的動量。動量守恒定律是迄今為止，自然界最為精準的定律之一。帶電體系的動量變化，應(yīng)對應(yīng) 有電磁場的動量的變化。電磁場的動量要能用電場磁場等場量來表示

22、。某一區(qū)域內(nèi)電荷電流系統(tǒng)的動量的變化率與電磁場的動量的變化率之和， 入?yún)^(qū)域內(nèi)的動量。這就是有電磁場時動量守恒定律的形式。洛侖茲力公式給出電荷系統(tǒng)受到電磁場的作用力的力密度單位體積的力 化率，因而力密度等于動量密度的時間變化率下面把應(yīng)等于單位時 間內(nèi)從界面流f E J B，而力等于動量變H1f用電磁場表示出來，即把真空B D J 0 E J0t 0t,J用電磁場表示出來h丄“df生，%a4 =£()( ( Vx / )X 豪Eo 其中E B E B E B ( E B) E E (利用E B) t t t t t將上式和 B 0因而 f 0 E E 10B B 10 B B 0 t(E

23、 B) 0E代入1式得(1)11f g f g f g gE22E E 2 E E 2 E E 2 EI .23)0 E E B B B B故 E E E E 1 E 2 因此 E E E E E E E E 1 E2 fg f g f g，EE E E E E0 (E B) (2) 00 fgEE 1IE 212 同理2B B B B BBIB 2代入2式得1 21IE22BB1 21IB220tE BoEE o BB 2I oE2 1o B如果令g oE B2 oEA B2T oEE BB I1oo 2，當(dāng)電o要注意這不是推理出來的， 這么選取的原因為：這種假設(shè)最簡單樸素的物理思想 磁場為