2010-2019高考數(shù)學(xué)真題分類匯編第42講不等式選講

1、專題十六不等式選講 第四十二講 不等式選講 2019 2019 年 1. (2019全國I理23)選修4 5:不等式選講(10分) 已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1.證明： 111 2 2 2 (1) a b c ； a b c (2) (a b)3 (b c)3 (c a)3 _24. 2. (2019全國II理23)選修4-5 :不等式選講(10分) 已知 f (x) =|x a |x |x -2|(x a). (1 )當(dāng)a =1時(shí)，求不等式f(x) : 0的解集； (2)若(-：,1)時(shí)，f(x) ：0，求a的取值范圍. 3. (2019全國III理23)選修4-5:不等式選

2、講(10分) 設(shè) x,y,z R，且 x y z =1. (1 )求(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2 的最小值； (2 2)若(x-2)2 (y-1)2 (z-a)2 一1 成立，證明：a 豈-3或 a -1. 3 2010-2018 年 解答題 1. (2018全國卷I )選修4 5 不等式選講(10分) 已知 f (x) =|x 1| -|ax-1|. (1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)的解集； 若(0,1)時(shí)不等式f(x)成立，求a的取值范圍. 2. (2018全國卷n )選修4 5:不等式選講(10分) 設(shè)函數(shù) f(x) =5 -|x a| -|x -2|. (1)當(dāng)a=1時(shí)

3、，求不等式f (x) 0的解集； 若f (x) 1，求a的取值范圍. 3. (2018全國卷川)選修45:不等式選講(10分) 設(shè)函數(shù) f (x) =|2x 1| |x_1| . (1) 畫出y二f (x)的圖像； (2) 當(dāng) x 0, ：)時(shí)，f (x) g(x)的解集； (2) 若不等式f(x) g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍. 6. (2017 新課標(biāo) n)已知 a 0 , b 0 , a3 b2，證明： (1) (a b)(a5 b5) 4 ； a b 1的解集； 2 (2) 若不等式f (x) x -x m的解集非空，求 m的取值范圍. 2 2 2 2 & (20

4、17 江蘇)已知 a , b , c, d 為實(shí)數(shù)，且 a b =4 , c d =16, 證明 ac bd 8. 9.( 2016年全國I高考)已知函數(shù) f (x) =|x1| -|2x-3| . (I)在圖中畫出y = f (x)的圖像； (II )求不等式| f (x)| .1的解集. 廠 1 丄 .L X 1 1 10. (2016年全國II)已知函數(shù)f (x)=x2 +x+? , M為不等式f(x) 3，求a的取值范圍. 12. (2015 新課標(biāo) 1)已知函數(shù) f (x)鬥 x 1| -2| x -a |, a 0. (I)當(dāng)a =1時(shí)，求不等式f(x) 1的解集； (n)若f(x

5、)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于 6,求a的取值范圍. 13. (2015新課標(biāo)2)設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a c d，證明： (I)若 ab cd，a b 一 c d ； (n) .d 是| a -b|：|c -d | 的充要條件. 1 1 14. (2014 新課標(biāo) 1)若 a 0,b 0，且 ab . a b 3 3 (i )求a b的最小值； (n)是否存在a,b，使得2a 3b=6 ?并說明理由. 15. (2014 新課標(biāo) 2)設(shè)函數(shù) f (x)= x+占+|x a|(a0) (i)證明：f X 2; (n)若f 3 ： 5,求a的取值范圍. (2013 新課標(biāo) 1)已

6、知函數(shù) f (x) =|2x -1| |2x a |, g(x) = x 3. (i)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f (x) v g(x)的解集; a 1 (n)設(shè)a -1,且當(dāng)x ,)時(shí)，f (x) 0 . (i)當(dāng)ah時(shí)，求不等式f(x) _3x 2的解集； (n)若不等式 f(x)豈0的解集為：x|x_-1 f ,求a的值. 專題十六不等式選講 第四十二講 不等式選講 16. 17. 18. (2012新課標(biāo))已知函數(shù) f (x) =|x a| |x-2| . (i)當(dāng)a二-3|時(shí)，求不等式 f (x)3的解集; 答案部分 2019 2019 年 2 2 2 2 2 2 1解析(1)因?yàn)?a

7、b _2ab,b c _2bc,c a _2ac,又 abc=1，故有 222 ab bc ca 1 1 1 a b c ab bc ca abc a b c 所以 1 1 1 _ a2 b2 c2. abc (2)因?yàn)閍, b, c為正數(shù)且abc = 1，故有 (a b)3 (b c)3 (c a)3 _33 (a b)3(b c)3(a c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) _3 (. ab) (2、佐)(2、.0c) =24. 所以(a b)3 (b c)3 (c a)3 _ 24. 2 解析(1 )當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)=|x-1| x+|x2|(x1). 當(dāng) x ：1 時(shí)，f

8、(x)=2(x-1) : 0 ； 當(dāng) x_1 時(shí)，f(x)_O. 所以，不等式f (x) 0的解集為(_二,1). (2)因?yàn)?f (a)=0，所以 a _ 1. 當(dāng) a_1， x(Y，,1)時(shí)，f(x)=(a-x) x+(2-x)(xa)=2( ax)(x-1)0 所以，a的取值范圍是1：). 2 3 解析(1)由于(x T) (y 1) (z 1) 2 2 2 =(x -1) (y 1) (z 1) 2(x1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x1) 3 (x-1)2 (y 1)2 (z 1)2 , 故由已知得(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2 _4 , 5 1 1 當(dāng)

9、且僅當(dāng)x=, y=- , z 時(shí)等號(hào)成立. 3 3 3 所以(x-1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值為4 . = (x2)2 (y1)2 (za)2 2(x2)(y1) (y1)(z a) (z a)(x 2) 3 (x2)2 (y 一1)2 (z a)2 , 故由已知(x2)2 (y-1)2 (z a)2 2 2 2 因此(x-2) (y -1) (z-a)的最小值為 20102010- -2018 2018 年 -2,x 1. 故不等式f(x) 1的解集為x|x -. 2 當(dāng)(0,1)時(shí)|x 1|-|ax-1| X成立等價(jià)于當(dāng)(0,1)時(shí)|ax-1|：1成立. 若 a 0,則當(dāng) x

10、 (0,1)時(shí) |ax-1|1 ； 2 2 若 a 0 , | ax ： 1 的解集為 0 ： x ，所以一1，故 0：a w 2 . a a 綜上，a的取值范圍為(0,2. 2x 4,x 0的解集為x| -2 w x w 3. (2) f (x) w 1 等價(jià)于 |x a | | x -2p 4 . 而|x a| |2|a 2|，且當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.故f () w1等價(jià)于|a 2| 4 .當(dāng)且僅當(dāng) 4 a 1 a ，“， z22時(shí)等號(hào)成立. 3 由題設(shè)知 (2 a)2 3 -，解得a, -3或a-1. 3 (2 a)2 3 (2 a)2 3 由|a 2| 4可得a 2，所以a的取值范圍是(

11、-：，-6U 2,二) 1 3x3x, , X X , , 2 1 3. 【解析】 f(x)=x+2，三x 1. y =f (x)的圖像如圖所示. 值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a 3且b 2時(shí)，f (x) (x 2y 2z)2 . 因?yàn)?x 2y 2z=6，所以 x2 y2 z2 4 , 當(dāng)且僅當(dāng)-時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí) x =- , y = , z = 4 , 1 2 2 3 3 3 所以x2 y2 z2的最小值為4. 5. 【解析】(1)當(dāng)a =1時(shí)，不等式f(x) g(x)等價(jià)于 2 x -x |x 1| |x-1| -4 0 . 當(dāng)x ： T 時(shí)，式化為x2 -3x-4 0，無解； 由知，y二f

12、 當(dāng)-K x 1時(shí)，式化為X2-X-2 0，從而-K x 1 ； 當(dāng)x 1時(shí)，式化為x2 x - 4 g(x)的解集為x | -1 ： x w 一 . 2 (2) 當(dāng) x 一1,1時(shí)，g(x) =2 . 所以f (x) g(x)的解集包含-1,1，等價(jià)于當(dāng)一1,1時(shí)f (x) 2 . 又f (x)在-1,1的最小值必為f (-1)與f (1)之一， 所以 f(-1) 2 且 f (1) 2，得-1 4 (2)v (a b)3 二 a3 3a2b 3ab2 b3 二 2 3ab(a b) 2 w 2 3(a b) 4 所以(a b)3 w 8，因此 a b w 2 . -3, x ： -1 7.

13、【解析】(1) f(x) =22x-1,-1 w x w 2 , 3, x2 當(dāng)X ： -1時(shí)，f x 1無解； =2 3(a b)3 4 (a b) 當(dāng)-1 w x w 2 時(shí)，由 f x 1 得，2x-11，解得 1 w x w 2 當(dāng)x2時(shí)，由f x 1解得x2 . 所以f x 1的解集為：x x 仁. 2 2 (2)由 f (x ) x x + m得 m x+1 x2 x +x，而 2 2 x+1 -x-2 -x +x x+1+x -2-x +|x| 3 2 5 且當(dāng) xp 時(shí)，|x x-2-x +x=N . (51 故 m 的取值范圍為 i-：，-. I 4 8【解析】證明：由柯西不

14、等式可得: 因?yàn)?a2 b2 =4,c2 d2 =16, 所以(ac bd)2 64 - 因此 ac bd 8. 9.【解析】(1)如圖所示： A f 1 1 6 1 r X f 1 r / / 3 :x ： 2 3 4X - x 三一 . 2 當(dāng) x W -1 - x -4 1，解得 x 5 或 x 3 - / x W -1 . r 3 =- x 2 +5 5 4 4 (ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2)- 1 3x -2 1，解得 x 1 或 x :- 3 _1 ：X ：-或 1 ：X :：3 , 3 2 1，解得 x 5 或 x ：3，二 3 x ：:3 或 X 5 , 2 1

15、 綜上，x 或 1 ： x ：3 或 x 5 , 3 10.【解析】(I)當(dāng) X：時(shí)，f x J-x-x=_2x，若 _1：x：_； 2 y f 2 2 2 1 1 1 1 三x x 時(shí)，f xf x - -x xx x 222 2恒成立; 1 1 當(dāng) x 時(shí)，f x = 2x，若 f x :： 2 , (a +b ), 即 a - ；： |ab 1 , 證畢. 11.【解析】(I)當(dāng) a =2時(shí)，f(x)=|2x-2|2 解不等式|2x-2|，2, 6，得-1 剟 x 3. 因此，f(x)乞6的解集為x|-1 剟 x 3. (n)當(dāng) x R時(shí)，f (x) g(x) =|2x -a | a |

16、1 -2x | 1 |2xa +1 2x|+a =|1 a|+a，當(dāng) x = 時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)xR時(shí)，f(x)，g(x)3等價(jià)于|1-aa3. 當(dāng)a, 1時(shí)，等價(jià)于1 -a a3，無解. 當(dāng)a 1時(shí)，等價(jià)于a -1 a3，解得a2. 所以a的取值范圍是2, 12.【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x) 1化為|x 1| -2|1| -1 0 , x i，解集為！ 一二， U 1，3 u 5，二 當(dāng)x 1時(shí)，不等式化為x 2 . 0，解得1 x ： 2 . 所以f(x) 1的解集為x|- x ：2 3 fx -1 - 2a,x ： -1 =23x T - 2a, -1 w x cd , 于

17、是(a -b)2 二(a b)2 -4ab : (c d )2 -4cd 二(c-d )2. 因此 |a_b| ：|c_d|, 綜上、a . b 、c 、d是| a -b卜：| c -d |的充要條件. (U)有題設(shè)可得，f(x) 的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 1 1 2 14.解析】(I)由 ab ，得ab_2，且當(dāng)a =b2時(shí)取等號(hào). a b Vab 故 a3 b2. a3b3 _4,2，且當(dāng) a =b 二.2 時(shí)取等號(hào). 所以a3 b3的最小值為4.2 . (II )由(I)知，2a - 3b _2、6.麗 一4. 3 .由于 4、3 . 6，從而不存在 a,b , 使得 2a 3b =6

18、. 1 1 1 15.【解析】(1)由a 0，有f (x)= X + + x x +_ _(x_a) =+a 工2 a a a 所以 f (X) 2. 1 (n) f(3) = 3 + a + 3 a 1 5 + 當(dāng)時(shí) a 3 時(shí)，f (3) = a ，由 f (3) v 5 得 3v a v a 2 1 1 . 5 當(dāng) 0v a W 3 時(shí)，f(3) = 6-a ，由 f(3) v 5 得 一v a 3. a 2 i+亦 5+721、 綜上，a的取值范圍是( ， ). 2 2 16.【解析】(I)當(dāng) a=-2 時(shí)，不等式 f (x) v g(x)化為 |2x-1| |2x-2|-x-3：0.

19、 1 _5x, x 2 1 設(shè)函數(shù) y = |2x-1| |2x-2|-x-3, y = -x-2, x1 , 2 3x-6, x A1 其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng) x (0,2)時(shí)，y v 0, 原不等式解集是x|0：x ：2. a i 當(dāng)x c匕，3)時(shí)，f(x) = 1a，不等式f(x)黑g(x)化為1a = x 3， a 1 a 4 xa - 2對(duì)x ,)都成立，故 a2，即a w 2 2 2 3 4 a的取值范圍為(1, 4. 3 2 2 2 2 2 2 17.【解析】(I) a b _2ab,b c -2bc, c a - 2ca 得 2 2 2 a b c _ ab bc ca