圓錐曲線通用結(jié)論

1、圓錐曲線常用結(jié)論(自己選擇)、橢 圓1 . 點(diǎn)P處的切線 PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 . PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.6.7.22若Po(xo,yo)在橢圓與斗 a b22x y右Po(X0,yo)在橢圓-22a b點(diǎn)弦Pi P2的直線方程是粵a1上，則過Po的橢圓的切線方程是 券邛 1. a b1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切yoyb21.22一 x y橢圓 2y 1 (a &g

2、t; b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F 2 ,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)a bF1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S FPF2b2 tan-.1 2222，一 x y .8 . 橢圓= 5 1 (a>b>0)的焦半徑公式：a2b2IMF1Iaexo,| MF2I aexo (F1 (c,0) ,F2(c,0) M(x°,y。).9 .設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.A1P和10 .過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn),1

3、1.12.A2Q交于點(diǎn)M ,A2P和A1Q交于點(diǎn) N ,則MF，NF.22一,一 一 xyAB是橢圓一22"ab1的不平行于對稱軸的弦，M (xo, yo)為AB的中點(diǎn)，則kOM kAB即Kabb2-2"， ab2x。2a yo若Po(x。，yo)在橢圓22x y , 一、.一22 1內(nèi)，貝U被POa b所平分的中點(diǎn)弦的方程是22XoX y°yxoyo-2- , 2-2 1l，abab22x y13.若Po(xo, yo)在橢圓二 1內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡萬程是 a b22XyXoXyoy2-2-, 2.abab二、雙曲線1 . 點(diǎn)P處的切線 PT平分PFi

4、 F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2 . PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸 為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切:P在左支）5.6.2 X 右Po（Xo,yo）在雙曲線 a是警警1.a b2 X 右Po（Xo,yo）在雙曲線-2 a2y2 1 （a>o,b>。）上，則過Po的雙曲線的切線方程 b2y，1 （a>o,b>o）外，則過Po作雙曲線的兩條切b2線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 繆 邛 1.a

5、 b22一，一x y7.雙曲線二 % 1 （a>o,b>o）的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任a b2.意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S fpf b cot-.1 22228.雙曲線與 y 1 (a>0,b>o)的焦半徑公式：(Fi( c,0) , F2(c,0) a b當(dāng) M(Xo,yo)在右支上時(shí)，| MF11 ex0 a , | MF21 e% a .當(dāng) M(x0,y0)在左支上時(shí)，|MF1|ex0 a ,|MF21ex0 a9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲

6、線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則 MF XNF.10.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A2Q交于點(diǎn)M, A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MF ± NF. x211. AB是雙曲線a的中點(diǎn)，則Kom2 y b2K AB1 （a>0,b>0）的不平行于對稱軸的弦,M （x。，y。）為 AB12.x右Po（x。，y。）在雙曲線 a2方程曰3地包222aba13.b2Xo-2a v。b2x。-2a y。2 y b22 y。 廬1 （a>0,b >0）內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的22x y右p3（xo,y。）在雙曲線2 a

7、b22產(chǎn)曰 X yXoX yoy任72 ,22,2 .abab1 （a>0,b >。）內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）22，一 x y1 .橢圓工 + 1 （a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ aQ）,A2（a,。）,與y軸平行的直 a b22x y .線交橢圓于 P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡萬程是 22 1 .a b222.過橢圓 今 4 1 （a>。，b>。）上任一點(diǎn) 人能。，丫。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直a b b2xn線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBc-。（常數(shù)）.a y。22,，一 x

8、 y3.若P為橢圓 = 三 1 （a>b>。）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是焦點(diǎn)，a2 b2 一, a cPF1F2,PF2F1，貝Utan cot.a c 2222一一 x y4.設(shè)橢圓一2 f 1 （a>b>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P （異于長軸漏點(diǎn)）為橢圓 a2 b2上任意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記F1PF2PF1F2, F1F2P,則有sin c e. sin sin a5.22，一 x y右橢圓一2 = 1 （a>b>。）a2 b2的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)。6.7.8.9.10.11.12.13.<e&l

9、t;72 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PFi是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的2 X P為橢圓-2 a則 2a |AF2|橢圓(x Xo)22a2, 2B b2X已知橢圓-a|PA|(y b(a> b>0)|PFi Iy。)22(Ax。 By。2 y b21上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),2a| AFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號成1與直線 Ax By C 。有公共點(diǎn)的充要條件是C)2.1 (a>b>0), OOP OQ.(1)2|OP|(3 ) S opq的最小值是1ioQI22. 2a b22 .a b為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動

10、點(diǎn)，且1;(2) |OP|2+|OQ| 2 的最大值為 b4a2b22-2 ;a b2 X 過橢圓-2 aMN的垂直平分線交2X已知橢圓-a2 y_ b2分線與x軸相交于點(diǎn)2X設(shè)P點(diǎn)是橢圓-2a(a>b >0)的右焦點(diǎn)j, I PF Ix軸于P,則JL| MN |F作直線交該橢圓右支于1 ( a>b>0) ,A、B、2,2a b P(Xo,O),則aM,N兩點(diǎn)，弦是橢圓上的兩點(diǎn)，線段2,2a bXo2-yy 1 ( a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)b2AB,F1、2b2o點(diǎn)記F1PF2，則1P可9 E.SPF,btan-.設(shè)A、BPAB |PA|已知橢圓的

11、垂直平F2為其焦2 X 是橢圓-2 a,PBA2 .2ab |cos2 2c cos2X2a2y-2-1 ( a > b > 0)b的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),BPAl .(2) tan tan1( a>b>0)的右準(zhǔn)線e分別是橢圓的半焦距離心率，則有1 e .(3) S PABl與x軸相交于點(diǎn)2a2b2 ,bcotE,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC X軸，則直線AC經(jīng) 過線段EF的中點(diǎn).14 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切

12、線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .)17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線22x y1.雙曲線 1 (a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A( a,0) , A2(a,0)，與y軸 a b22x y平行的直線交雙曲線于Pi、P2時(shí)AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡萬程是 1.a b22一，一x y2.過雙曲線2&q

13、uot; f 1 (a>0,b>o)上任一點(diǎn) A(x0,y0)任息作兩條傾斜角互 a b補(bǔ)的直線交雙曲線于 B,C兩點(diǎn)，則直線 BC有定向且kBC3° (常數(shù)).a V。22,一x y3.右P為雙曲線2 -2" 1 (a>0,b >0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1, a b一八， c.c a,F 2 是焦點(diǎn)，PF1F2,PF2F1,貝U tan cot (或c a 22c a、tan cot ).c a 2222x y4.設(shè)雙曲線 匕 1 (a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))a b為雙曲線上任意一點(diǎn)，在

14、 PF1F2中，記F1PF2PF1F2, FiF2P，則有 sin - e.(sin sin ) a22x y5.若雙曲線 二 1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L, a b則當(dāng)1vewJ2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).22x y6 . P為雙曲線 1 (a>0,b >0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線 a b內(nèi)一定點(diǎn)，則IAF2I 2a |PA| IPF1I,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號成立x y7 .雙曲線 個(gè) 1 (a>0,b>0)

15、與直線Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條a b件是 A2a2B2b2C2.8.22已知雙曲線與與a b1 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且OP OQ .122|OP| |OQ|14a2b2; (2) |OP| +|OQ| 2 的取小值為 一 ; (3 ) S opqb2b2 a22b2 的最小值是-a-b.b a229.過雙曲線二 4a b1 (a>0,b >0)的右焦點(diǎn) F作直線交該雙曲線的右支于10.M,N兩點(diǎn)，弦MN | PF | e的垂直平分線交x軸于P,則上工 -| MN | 222，一x y已知雙曲線 一2 一2" 1 (

16、a>0,b>0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn), a b線段AB的2 卜2垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0)，則Xo a一b-或Xo a2,2a b,一,x211.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線xya為其焦點(diǎn)記21 (a>0,b >0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2b2b2F1PF2,貝u (1) |PFiI|PF2| .(2)1 cos2,S PF1 F2b COt 2 .2212.設(shè)A、B是雙曲線與石a b1 (a>0,b>0)的長軸兩端點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn)，PAB ,心率，則有| PA|(2) tan tan 1PBA , BPA , c、e分別是雙曲線的半焦距

17、離2 .2ab |cos |222.| a c cos |C 2, 2一22a b 一e .(3) S PAB -22 cot .b a22，一，一x y13 .已知雙曲線 = j 1 （a>0,b>0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過雙曲a2 b2線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC x軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14 .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,與以長軸為直徑的圓相交， 則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16 .雙曲線焦三角形中，

18、外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.17 .雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：|ab J1 k2|x x2 J1 j|y y2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成血+珈+ ° =。（A,B不同日寸為0）的形式。3、知直線橫截距 u ,常設(shè)其方程為陽十“ （它不適用于斜率為0的直線）與直線/ 乂工+丹+C = °垂直的直線可表示為"+ J=°。.I”4、兩平行線 & +分+G =岫:"+的+G = °間的距離為一，+爐。5、若直線'1：爾+小+仁產(chǎn)0與直線%且/+呢+7 = °平行則兇片二° （斜率）且電弓一用Jh