專題20 反比例函數(shù)與四邊形-2020-2021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)全一冊重點題型通關(guān)訓(xùn)練（人教版）（解析版）

1、專題二十 反比例函數(shù)與平行四邊形【導(dǎo)例】1. 如圖，OABC的邊OA在x軸上，C（1，2），A（3，0），雙曲線y=kx（x0）經(jīng)過點B，求k的值【解析】解：A（3，0），OA=3，四邊形OABC是平行四邊形，BCOA，OA=BC=3，C（1，2），B（4，2），雙曲線y=kx（x0）經(jīng)過點B，k=4×2=8 【方法點睛】平行四邊形各點在平面直角坐標(biāo)系的表示特征，與坐標(biāo)系中的平移相結(jié)合.若一邊與x（y）軸平行，則對邊的縱（橫）坐標(biāo)一致.結(jié)合平行四邊形對邊平行，我們可以看作是平移的路徑.平行四邊形對角線的性質(zhì)：交點為對角線中點.【典例精講】【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原

2、點，A點在反比例函數(shù)y=kx（k0）第一象限的圖象上，C點在x軸的正半軸上，以O(shè)A，OC為邊作平行四邊形OABC，且OA=5，cosABC=35（1）求k的值（2）過點B作x軸的垂線，垂足為點D，交反比例函數(shù)y=kx（k0）的圖象于點E，若BE=2DE，求E點坐標(biāo)【解析】（1）四邊形OABC是平行四邊形，AOC=ABC，cosABC=35，cosAOC=35，作AMOD于M，OMOA=35，OA=5，OM=3，AM=OA2OM2=5232=4，A（3，4），A點在反比例函數(shù)y=kx（k0）第一象限的圖象上，k=3×4=12；（2）四邊形OABC是平行四邊形，ABOC，AMOC，BDA

3、C，BD=AM=4，BE=2DE，DE=43，E的縱坐標(biāo)為43，把y=43代入y=12x，解得，x=9，E（9，43）【例2】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點M，函數(shù)y=kx（x0）的圖象經(jīng)過點A（3，4）和點M（1）求k的值和點M的坐標(biāo)；（2）求OABC的周長【解析】（1）點A（3，4）在y=kx上，k=12，四邊形OABC是平行四邊形，AM=MC，點M的縱坐標(biāo)為2，點M在y=12x的圖象上，M（6，2）（2）AM=MC，A（3，4），M（6，2）C（9，0），OC=9，OA=32+42=5，平行四邊形OABC的周長為2×（5+9）=2

4、8變式訓(xùn)練2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OBCD的邊OB在x軸正半軸上，反比例函數(shù)y=kx（x0）的圖象經(jīng)過該菱形對角線的交點A，且與邊BC交于點F若點D的坐標(biāo)為（3，4），則點F的坐標(biāo)是_.【答案】（6，43）【解析】過點D作DMOB，垂足為M，D（3，4）OM=3，DM=4，OD=32+42=5，菱形OBCD，OB=BC=CD=OD=5，B（5，0），C（8，4），A是菱形OBCD的對角線交點，A（4，2），代入y=kx得，k=8，反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=8x，設(shè)直線BC的關(guān)系式為y=kx+b，將B（5，0），C（8，4）代入得：5k+b=0且8k+b=4，解得：k=43，b=-2

5、03，直線BC的關(guān)系式為y=43x-203，將反比例函數(shù)與直線BC聯(lián)立方程組得解得：x1=6y1=43，x2=1，y2=8【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，點A（0，4），B（-3，0）反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k0，x0）的圖象經(jīng)過點D（1）填空：k=_ （2）已知在y=kx的圖象上有一點N，y軸上有一點M，且四邊形ABMN是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)【解析】解：（1）點A（0，4），B（-3，0），OA=4，OB=3，AB=5，四邊形ABCD是菱形，AD=5，即點D的橫坐標(biāo)是5，點D的坐標(biāo)為（5，4），4=k5，得k=20，故答案為：20；（2）四邊形AB

6、MN是平行四邊形，ANBM，AN=BM，AN可以看作是BM經(jīng)過平移得到的，首先BM向右平移了3個單位長度，N點的橫坐標(biāo)為3，代入y=20x，得點N的縱坐標(biāo)為y=203，M點的縱坐標(biāo)為203-4=83，M點的坐標(biāo)為（0，83）變式訓(xùn)練3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1-5，1+5），B（0，1），雙曲線y=kx經(jīng)過ABCD的頂點A、D，求D點的坐標(biāo)【解析】A（1-5，1+5），B（0，1），k=（1-5）（1+5）=-4ABDC且AB=DC，點C的縱坐標(biāo)為0，D的縱坐標(biāo)為5.D在雙曲線y=4x上，代入y=5，可得x=-455.D點坐標(biāo)為（-455，5）【專題過關(guān)】4. 如圖，矩形A

7、OBC的面積為4，反比例函數(shù)y=kx的圖象的一支經(jīng)過矩形對角線的交點P，則k的值為_【答案】-1【解析】作PEx軸于E，PFy軸于F，如圖，點P為矩形AOBC對角線的交點，矩形OEPF的面積=14矩形AOBC的面積=14×4=1，|k|=1，而k0，k=-15.如圖，在OABC中，OA=22，AOC=45°，點C在y軸上，點D是BC的中點，反比例函數(shù)y=kx（x0）的圖象經(jīng)過點A、D（1）求k的值；（2）求點D的坐標(biāo)【解析】解：（1）OA=22，AOC=45°，A（2，2），k=4，y=4x（2）四邊形OABC是平行四邊形OABC，ABx軸，B的橫坐標(biāo)為2，點D是

8、BC的中點，D點的橫坐標(biāo)為1，D（1，4）6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的兩條對角線相交于點P（1，2），ABx軸，垂足為點E，正比例函數(shù)y=mx（m0）的圖象與反比例函數(shù)y=nx（n0）的圖象相交于A，P兩點（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求點B的坐標(biāo)【解析】（1）解：將點P（1，2）代入y=mx，得：2=m，解得：m=2，正比例函數(shù)解析式為y=2x；將點P（1，2）代入y=nx，得：2=n1，解得：n=2，反比例函數(shù)解析式為y=2x；（2）正比例函數(shù)y=mx（m0）的圖象與反比例函數(shù)y=nx（n0）的圖象相交于A，P兩點，點P（1，2），A（-1，-2），ABx

9、軸，垂足為點E，B的橫坐標(biāo)為-1，菱形ABCD的兩條對角線相互垂直，直線AC為y=2x，設(shè)直線BD為y=-12x+b，把P（1，2）代入得，2=-12×1+b，解得b=52，直線BD的解析式為y=-12x+52，把x=-1代入得，y=-12×（-1）+52=3，B的坐標(biāo)為（-1，3）7. 如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，E是BC的中點，反比例函數(shù)y=kx (x0)的圖象經(jīng)過點D、點E（1）求反比例函數(shù)的解析式（2）連接DE，求三角形ODE的面積【解析】解：（1）設(shè)A（a，0），AB=2，AD=4，E是BC的中點，D（a，4），E（a+2，2），反比例函數(shù)yk

10、x (x0)的圖象經(jīng)過點D、點E，4=ka2=ka+2，解得a=2，k=8，反比例函數(shù)的解析式為y8x；（2）設(shè)直線DE的解析式為：y=mx+b，由（1）可知D（2，4），E（4，2），4=2m+b2=4m+b，解得m=-1，b=6，直線DE的解析式為y=-x+6，延長DE與x軸的交點為F，則F的坐標(biāo)為（6，0），SODE=SODF-FOEF=12×6×412×6×2=6【專題提升】8.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD=2AB，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），C，D兩點在反比例函數(shù)ykx（x0）的圖象上，求k的值.【解析】設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，n）（m0），則點D的坐標(biāo)為（m+1，n-2），C、D兩點在反比例函數(shù)ykx（x0）的圖象上，k=