金融工程學(xué)(第八章).

1、第八章第八章 布萊克布萊克-舒爾斯舒爾斯-默頓默頓期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型一、股票價(jià)格的變化過(guò)程 已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律，然后并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。 1、布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）：起源于英國(guó)植物學(xué)家布朗對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。在數(shù)學(xué)中，我們用維納過(guò)程描述布朗運(yùn)動(dòng)。 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表變量z在 時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關(guān)系

2、滿足 ，其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 特征2：任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 相互獨(dú)立。tztzztzt tz 2、使用布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的原因 (i) 正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布。 (ii) 數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征 1 和 2 的維納過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程，從而與弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)相符。 (iii) 維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（ Quadratic Variation ）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的。 3、普通布朗運(yùn)動(dòng) 遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量 x 是關(guān)于時(shí)間和z的動(dòng)態(tài)過(guò)程： ，其中 adt 為確定項(xiàng)，漂移率

3、 a 意味著每單位時(shí)間內(nèi) x 漂移 a； bdz 是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì) x 的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量 x 圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的 b 倍給出的， 稱為方差率，b 稱為波動(dòng)率。zdxadtbd2b 普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為 x 具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 在任意時(shí)間長(zhǎng)度 T 后 x 值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。xa tbt a tb t 2tb b T2b T 4、伊藤過(guò)程 其中，z 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a 、 b 是變量 x 和 t 的函數(shù)，漂移率為 a ，方差率為

4、 。 幾何布朗運(yùn)動(dòng)： ，其中 和 均為常數(shù)。 000,ttdxa x t dtb x t dzx txadsbdz2bdSSdtSdz 一般用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程，原因在于 (i) 可以避免股票價(jià)格為負(fù)。 (ii) 幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。 5、伊藤引理 若變量 x 遵循伊藤過(guò)程，則變量 x 和 t 的函數(shù) G 將遵循如下過(guò)程： 其中，z是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此伊藤引理在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。22212GGGGdGabdtbdzxtxx 例：假設(shè)變量 S 服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 令 ，則運(yùn)用

5、伊藤引理可得 G所遵循的隨機(jī)過(guò)程為 練習(xí)：若無(wú)收益標(biāo)的資產(chǎn)S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則該標(biāo)的資產(chǎn)的期貨價(jià)格F遵循怎樣的隨機(jī)過(guò)程？dSSdtSdzlnGS2ln2dGdSdtdz 6、股票價(jià)格的變化過(guò)程 股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) ，意味著 幾何布朗運(yùn)動(dòng)具有如下性質(zhì)： (i) S 不會(huì)為負(fù)。 (ii) 股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布。dSSdtSdz2ln2dGdSdtdz T t 期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示 可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布lnlnTSSTt22,2NTt 股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，特定時(shí)刻的股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。2222222lnln,()2lnln,()21TTtT tT

6、T tT tTSSNTtTtSNSTtTtE SSeVar SS ee 例：設(shè) A 股票的當(dāng)前價(jià)格為 50 元，預(yù)期收益率為每年18% ，波動(dòng)率為每年 20% ，假設(shè)該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)且該股票在 6 個(gè)月內(nèi)不付紅利。請(qǐng)問(wèn)該股票 6 個(gè)月后的價(jià)格 的概率分布如何？A 股票在 6 個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？TS 7、衍生證券價(jià)格所服從的隨機(jī)過(guò)程 當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 根據(jù)伊藤引理，衍生證券價(jià)格 G 應(yīng)遵循如下過(guò)程： 衍生證券價(jià)格 G 和股票價(jià)格 S 都受同一個(gè)不確定性來(lái)源 z 的影響。dSSdtSdz222212GGGGdGSSdtSdzStSS二、BSM期權(quán)定價(jià)公式

7、 1、模型假設(shè) 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)； 允許賣空標(biāo)的證券； 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； 衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付； 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； 衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 為常數(shù)。 2、 BSM 微分分程的推導(dǎo) 由于假設(shè)股票價(jià)格 S 遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有 在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t 中， S 的變化值 S 為： 設(shè) f 是依賴于 S 的衍生證券的價(jià)格，則 f 一定是 S 和t 的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得dSSdtSdzSS tS z 在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t 中， f 的變化值 f 滿足： 為了消除風(fēng)險(xiǎn)

8、源 z ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。222212ffffdfSSdtSdzStSS222212fffffSStS zStSS fS 令 代表該投資組合的價(jià)值，則 在 t 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為 代入 f 和 S 可得 由于消除了風(fēng)險(xiǎn)，組合 必須獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即ffSS ffSS 222212ffSttS rt 因此 化簡(jiǎn)可得 這就是著名的 BSM 微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S 的所有衍生證券的定價(jià)。222212fffStrfSttSS 222212fffrSSrftSS 3、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 觀察 BSM 微分方程可以發(fā)現(xiàn)，受制

9、于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì) f 的值產(chǎn)生影響。 因此我們可以作出一個(gè)假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。這就大大簡(jiǎn)化了衍生品定價(jià)過(guò)程。 在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 4、無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到 期回報(bào)(T 時(shí)刻)的期望值為 其中 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。

10、 相應(yīng)地歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c 等于max,0TESXmax,0r T tTceESXE 由于在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 積分可得 其中22lnln,()2TSNSrTtTt12r T tcSN dXeN d21221ln/ 2ln/ 2SXrTtdTtSXrTtddTtTt (i) 是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所需支付的現(xiàn)值。 ，則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，一個(gè)如果 就等于 ，否則就等于 0 的隨機(jī)變量的期望值， 則是這個(gè)值的貼現(xiàn)值，可看成期權(quán)持有者預(yù)期執(zhí)行期權(quán)所得收入的現(xiàn)值。 因此整個(gè)看漲期權(quán)定價(jià)公式就是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里期權(quán)未來(lái)期望回報(bào)的現(xiàn)值

11、。2N dTS2r T tXeN d11r T tTeSN dE SN dTSXTS1SN d (ii) 我們可以用股票和負(fù)債復(fù)制期權(quán)。可以證明， 是構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合 時(shí)的 ，是復(fù)制投資組合中股票的數(shù)量， 就是股票的市值。而 則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 由于主要參數(shù)都是時(shí)變的，因此這種復(fù)制策略是動(dòng)態(tài)復(fù)制策略，必須不斷調(diào)整相關(guān)頭寸數(shù)量。 (iii) 從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)多頭和 X 份或有現(xiàn)金看漲期權(quán)空頭之和。1fN dS1SN d2r T tXeN d 5、無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 根據(jù)無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系，有 故r T t

12、cXepS21r T tpXeNdSNd 6、無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下， C = c ，因此無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是12r T tCSN dXeN d 7、有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I 時(shí)，用 (S I) 代替 S 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，用 代替 S-qeT tS 8、有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià) 先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理 若不合理，則按歐式期權(quán)方法定價(jià)。 若在 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T 時(shí)刻和 時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。ntnt 9、美式看跌期權(quán)的定價(jià) 美式看跌期權(quán)無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)有無(wú)收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此一般通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。三、BS