Hermite矩陣與反Hermite矩陣

1、Hermite矩陣與反Hermite矩陣摘要Hermite矩陣是矩陣類中的一種特殊形式,它在矩陣?yán)碚撝刑幱谥匾牡?位，尤其是在酉空間、酉變換及復(fù)系數(shù)二次型的應(yīng)用中起著主導(dǎo)的作用，它一 方面是對實(shí)對稱矩陣的推廣，另一方面它在復(fù)矩陣的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)C 的地位，復(fù)矩陣中的Hermite矩陣與實(shí)對稱矩陣在其性質(zhì)和證明方法上都十分 的相似，本文主要從Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義、性質(zhì)、基本定理和 Hermite矩陣的正定性四個(gè)方面討論Hermite矩陣和反Hermite矩陣關(guān)鍵詞：Hermite矩陣；反Hermite矩陣；正定性；酉矩陣.AbstractThe Hermite

2、matrix forms a special class of matrices in matrix theory.lt occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary spacejinitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion o

3、f the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,

4、nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words ： Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitarymatrix目 錄一、引言(01)二、Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義(01)三、Hermite矩陣的性質(zhì)定理(-)Hermite矩陣的性質(zhì)(02)(二)Heimite矩陣的定理(02)(三)Heimi

5、te矩陣的正定性(05)四、反Hermite矩陣的性質(zhì)定理(-)反Hermite矩陣的性質(zhì)(14)(二)反Hermite矩陣的定理(15)五、結(jié)論(20)參考文獻(xiàn)(21)致謝(22)2/24Her mi te矩陣與反Her mite矩陣一、引言眾所周知，矩陣?yán)碚撛跉v史上至少可追溯到Sylvester與Cayley,特別是 Cayleyl858年的工作.近代數(shù)學(xué)的一些學(xué)科，如代數(shù)結(jié)構(gòu)理論與泛函分析可以在 矩陣?yán)碚撝袑さ剿鼈兊母?，另一方面，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，矩陣?yán)碚撛?不斷地發(fā)展，矩陣已成為處理數(shù)值問題的有力工具.作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，矩陣?yán)碚摼哂袠O為豐富的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)以及其 他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)

6、域都有十分重要的應(yīng)用，如數(shù)值分析、最優(yōu)化理論、運(yùn)籌學(xué)與控 制論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、力學(xué)、電學(xué)、信息科學(xué)、管理科學(xué)與工程技術(shù)等都 與矩陣?yán)碚撚兄芮械年P(guān)系.對稱矩陣是一類非常重要的矩陣，近年來，在矩陣 理論中，Hermite矩陣的應(yīng)用越來越廣泛，對其研究也取得很大的進(jìn)展.在復(fù)矩 陣中，Hermite矩陣實(shí)際上是實(shí)對稱矩陣的推廣，它在復(fù)矩陣中的地位相當(dāng)于實(shí) 數(shù)在復(fù)數(shù)中的地位，本文主要從Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義、性質(zhì)， 基本定理以及Hennite矩陣正定性幾個(gè)方面討論Hennite矩陣和反Hennite矩陣 并給出了相關(guān)的證明，來加深對矩陣?yán)碚摰睦斫?，從而能更好地使用這些工具

7、.二、Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義定義1設(shè)A是一個(gè)階復(fù)矩陣，即AwC-, A”為A的共枕轉(zhuǎn)置，=則將稱A為Hermite矩陣.若A = -A"，則稱之為反Hermite矩陣.定義 2設(shè) A 是一個(gè) 階Hennite矩陣，若對于任一非零的維復(fù)向量X ,均有XwAX>0，則稱A為Hermite 正定矩陣.定義3設(shè)A是一個(gè)階復(fù)矩陣，A為A的共飄轉(zhuǎn)置，若則稱A為正規(guī)矩陣.定義4設(shè)A是一個(gè)階復(fù)矩陣，型為A的共輒轉(zhuǎn)置，An A = AAn = E »則將稱A為酉矩陣，它的行列式的絕對值等于1.三、Hermite矩陣的性質(zhì)定理(一)Hermite矩陣的性質(zhì)由Her

8、mite矩陣的定義可知，Hermite矩陣具有如下簡單的性質(zhì)】2 ：(1)對所有A 丁，則A +，AAn和AhA都是Hermite矩陣;(2)如果A是Hermite矩陣，則對正整數(shù)k, A人也是Hermite矩陣；(3)如果A是可逆Hermite矩陣，貝lj4一也是Hermite矩陣；(4)如果A, 6是Hermite矩陣，則對實(shí)數(shù)k, p , 乂+p氏也是Hennite矩 陣；(5)如果A , B是Hermite矩陣，則AB是Hennite矩陣的充分必要條件是 AB=BA;(6) A是Hermite矩陣的充分必要條件是對于任意階方陣S, SAS是 Hermite 矩陣.(二)Hemite矩陣

9、的定理定理3-1若A是階復(fù)矩陣，則A是Hermite矩陣的充分必要條件是對于 任意XWC", XAX是實(shí)數(shù)；證明必要性因?yàn)閄AX是數(shù)，所以(X,lAX) = (XAX) = XuAhX = XnAX因此XAX是實(shí)數(shù).充分性 因?yàn)閷τ谌我?X, y G C% XAX, yAY , (X+y)A(X+Y)都是實(shí)數(shù)，而2/24(X+Y)A(X+y)= (X +y)A(X+Y) = XAX +XAY + yAX YnAY于是對任意x, recw, xAY+y"4X是實(shí)數(shù)，令 x=(o,o,o,0)7, y=(o,o,i,o,0),V_/VJATFj女則乂4丫 + "f =

10、 %+%是實(shí)數(shù)，這表明與與旬的虛部值相等，但符號相 反，即再令x =(o,.,o,/,o,.,o)7, y=(o,0。,0- wJV/k其中i = CT, xAY+yAX = 以+%是實(shí)數(shù)，則與與物的實(shí)部相等， 即Re(a.) = Rc(aQ因此ajk =3 ),% = 1,2,3,” 即A是Hermite矩陣.定理3-21,1 (Hermite矩陣的譜定理)設(shè)AwC"x"是給定的，則A是Hermite矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)酉矩陣U W C"""和一個(gè)實(shí)對角矩陣A C"x",使 得U4U=A,入)，其中入,均為實(shí)數(shù)，此外，4是

11、實(shí)Hermite矩陣(即實(shí)對稱的)，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)正交矩陣 Pec"、”和一個(gè)實(shí)對角矩陣Aec"x"，使得p"” = a =力吆(入,為,),其中 均為實(shí)數(shù).雖然Hermite矩陣的實(shí)線性組合總是Hermite矩陣，但它們的復(fù)線性組合就 不一定是Hermite矩陣，例如，如果A是Hermite矩陣，那么，只有當(dāng)A = 0時(shí) iA才是Hermite矩陣.另外，如果A和6是Hermite矩陣,那(AB)W = BhAh = BA ,因此,AS是Hermite矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)A與8可交換.定理3-3設(shè)A為階Hermite矩陣，則(i)A是正規(guī)矩陣且所有特征值

12、全是實(shí)數(shù)；(ii) A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是互相正交的.證明(i ) A為階Hermite矩陣，由定理3-2可知A必酉相似于實(shí)對角 矩陣A,即存在階酉矩陣U,使得uhau = 其中A =%)，= 1,2,是A的是特征值，且Ai,A=A2 = AAh即A是正規(guī)矩陣.設(shè)A=A,人為A的特征值，非零向量q為入的特征向量，即Aa = An » aH Aa X。" a又Ac = (A11 a)a = (A。)" a = An"。所以Aal a =即A = A所以人為實(shí)數(shù).(ii)設(shè)X, 是A的兩個(gè)不同特征值，相應(yīng)的特征向量分別為尤，y,則Av = Ax,

13、Ay = p.y從而y11 Ax= Xyl,x , xH Ay = y因?yàn)锳是Hermite矩陣，A, 均為實(shí)數(shù)，則y11 Ax = /tyllx于是(X-ft)ylix = O由于AH，故x與y正交.定理3-4（Hermite矩陣的慣性定理）設(shè)”是階Hermite矩陣，則” （復(fù)）合同與AA=一Iq，0而且p , 由H唯一確定.其中A稱為H的規(guī)范型，/表示階單位矩陣，p,q， 夕分別稱為的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和符號差.注：由慣性定理導(dǎo)出的Hermite矩陣的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)及符號差 等，不僅是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而且在幾何學(xué)、物理學(xué)中都有許多重要的應(yīng) 用，構(gòu)成幾何對象及物理對象的“指

14、標(biāo)”或“守恒量”.下面討論一下Hermite矩陣的正定性.（三）Hermite矩陣的正定性在討論Hermite矩陣的正定性之前，我們先來引入矩陣的UR分解定理及其引理.矩陣UR分解定理設(shè)則A可以唯一地分解為A = UR 或其中U, 3WUW R是正線上三角陣，均是正線下三角陣。（即R和®的主 對角線上元素全是正的）.引理若A是正線上三角陣，乂是酉矩陣，則A是單位陣.與實(shí)對稱矩陣一樣，同樣我們可以利用Hermite二次型的正定，來定義Herm ite矩陣的正定.定義由個(gè)復(fù)變量演,士,七，系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊式/ （N, W,£產(chǎn)X,（3-1）i=l j=其中%= ciji,稱為

15、Hermite二次型.記Tl T2TnA= %a2n 4】an2 Clmi則A為Hermite矩陣.我們稱矩陣A為Hermite二次型矩陣，并且稱A的秩為 Hermite H次型的秩.于是,Hermite H次型（3T）可改寫成f（x） = xuAx其中X =（X，S，/），因此，一個(gè)Hermite二次型與一個(gè)Hermite矩陣相對應(yīng).如果對任一組不全為零的實(shí)數(shù)不，七，都有/（彳&，天）>°（2。），則稱該 二次型齊式是正定的（非負(fù)定的），并稱相對應(yīng)的Hermite矩陣A是正定的 （非負(fù)定的）.正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)：（1）單位矩陣/>0;（2）若A&

16、gt;0,數(shù)k>0,則加>0；（3）若 A>0, 3>0,則 4 + 8>0；（4）若 A>0, B>0,則 A + 6>0.顯然這些基本性質(zhì)可以由定義直接推導(dǎo)得出，下面我們給出Hermite矩陣A 正定（半正定）的條件.定理3-5設(shè)A是階Hermite矩陣，/（x） = xAx,則下列命題等價(jià)：（1）A是正定矩陣；（2）對任意階可逆矩陣尸，尸A尸都是Hermite正定矩陣；（3） A的個(gè)特征值均為正數(shù)；（4）存在階可逆矩陣尸，使得尸AP = /；（5）存在階可逆矩陣。，使得A=QQ；（6）存在正線上三角矩陣也使得A = RR,且分解是唯一的；（

17、7）存在階可逆Hermite矩陣S,使得A=52.證明首先按=> =（4）=（5）0（6） = （1）進(jìn)行證明.今對任意階可逆矩陣尸及任意,£C”且)，=0，x=Py,則xWC”且xkOyH(P,AP)y = xHAx>0故P"AP是Hermite正定矩陣；(2)今(3)對Hermite矩陣A ,存在酋矩陣U使得(3-2)其中%,”,入為A的特征值，由定理3-5 (2)知中做(%,%,人)是正定矩 陣，則入,%均為正數(shù)；(3)=>(4)因?yàn)?的特征值入分，,入均為正數(shù),令卜刖.言忘則/fU'AUq =市 ag(%,%,，入川=1令。=必，代入上式得

18、PnAP=I,尸是可逆矩陣.(4) = (5)因?yàn)榇嬖陔A可逆矩陣P使得PAP=/，則令。=尸，有A=QQ(5)今(6)因?yàn)锳=QhQ ，其中。為可逆矩陣，根據(jù)矩陣UR分解定理得到Q=R,其中q是酉矩陣，R是正線上三角陣，因此A = QHQ = NU：UiR = RHR現(xiàn)證分解的唯一性：設(shè)A有兩種正線上三角分解，即A=R,tR=R；RlE二(RHR：RiR-i =(凡R")(凡火)容易驗(yàn)證NR"仍是上三角陣，乂由上式知RR-是酉矩陣，根據(jù)引理可得 RR- = E ,即凡=R.(6) (1)因?yàn)锳=RR,所以/(x) = xuAx = xl,RnRx = (&) (Rx

19、)由于R為正線上三角陣，故當(dāng)xnO時(shí)，G工0,于是/(x) = xH Ax = Rx)u (Rx) > 0此即/(x)是正定的.下面證明(5)今，臺(5)= 因?yàn)榇嬖陔A可逆矩陣Q,使得A = QQ,則對任意xwC"且XK0都有Qx工0,從而X11 Ax = (Qx)"(0x) >0.故A是正定矩陣.今(7)設(shè)入為A的任一特征值，x為相應(yīng)的特征向量，則Ax = Ax因?yàn)锳是正定矩陣，所以入dx=xAr>0,從而入>0.因此A的特征值均為正 數(shù).由(3-2)得A = Udiag (4,”,X)U11其中入,為,，入為A的正特征值.令s=udiag(舟 n

20、，則S是階可逆Hermite矩陣，并且A = S?.(7)=> 因?yàn)榇嬖陔A可逆Hermite矩陣S使得A = S2 = ss ,類似于(5) => (1)即知A是正定矩陣.定理3-6設(shè)A是階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)(1)A是非負(fù)定矩陣；23 /24(2)對于任何階可逆矩陣P,都有PAP是Hermite非負(fù)定矩陣；(3) A的個(gè)特征值均為非負(fù)數(shù)；(4)存在階可逆矩陣P,使得PAP= /r :,其中r=加成(A)；(5)存在秩為的階矩陣。使得A = QQ.證明 一今的證明與定理1相似；二(4)存在滿足其中r = m成(A),AP = diag則puhaur =令尸=uq,則(

21、4)=>(5)由(4)可得A = (P尸。OpT=(pT)，H 0 00 /其中C(5) => (1)由于 4 =。，/ xhax-. 因?yàn)椤e；'"，所以方程組QX0,令1 1111 - 1 . 1r- 9 r， r-'星'''框n a(Ir 0cag(Ll,.,L0,.,0)= 0 0 b 億°)P" AP = r 0 001 Ir 0) . (Ir 01 .f IrJ 八八r Pl = r P r P-1 =QUQ 0 0 00 00 0)=g °|p-七 cnxni攵= Xf,QHQX=(QX

22、)H(QX)=0有非零解，即存在XkO,滿足。x=o,從diag(,“XhAX =(QX)h(QX)>OX所以A是半正定的.定理3-7 ”階Hermite矩陣A為正定(非負(fù)定)矩陣的充分必要條件是A 的所有特征值都是正數(shù)(非負(fù)數(shù)).證明 必要性 設(shè)A>0(A20),人是A的任一特征值，1是對應(yīng)的單位特 征向量，于是A = A<>0(>0)充分性 由定理3-2知，存在酉矩陣V,使得A ="市 g(',為，%»若A的特征值入(i = l,2,)都為正數(shù)(非負(fù)數(shù))，則對任意維非零向量 X,都有X,AX=(VX)wJ/(A1,A2,-,AJ(V

23、X) = y/J/(A1,A2,.,A,I)r>0(>0)式中 y = VXHO,從而 A>0(A20).定理3-8 階Hermite矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在階非奇 異矩陣P,使得A=PP.證明充分性顯然成立.必要性 由定理3-2知，存在酉矩陣V,使得A = V H diag(, A2, , A, )V(3-3)若A>0,則由定理3-7可知，%(i = l,2,令P = diag(a，6,，6*則尸非奇異，且由(3-3)式得A=P尸.若將條件中的“非奇異”去掉就得到A為非負(fù)定矩陣的充分必要條件，即 得至IJ：定理3-9 階Hermite矩陣A為非負(fù)定矩陣的充

24、分必要條件是存在階矩陣P，使得A=PP.推論1若A>0,則A可逆且A-0；推論2若4>0,。是任一階非奇異矩陣，則CACO：推論3若A2O, C是任一矩陣，則CAC20.定理3-10 階正定Hermite矩陣A的各階順序主子矩陣都是正定矩陣.證明 設(shè)4是A的k階順序主子矩陣，；是任意攵維非零向量 /（l<k <n）,令x="，其中。為一攵維零向量，將A作如下分塊： 0AGn4G" “ xAkx = (x ,0 )于是= xllAx 0即4是正定矩陣.定理3-11 階Hermite矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的順序主 子式均為正數(shù)，即1Al>

25、;0,攵= 1,2,證明 必要性 當(dāng)A>0時(shí)，4的行列式daA>0,這是因?yàn)閐aA等于A的 特征值的乘積，由定理3-10知A的各階順序主子式都是正定矩陣，故它們的行 列式均為正數(shù)，即A的順序主子式均為正數(shù).充分性對矩陣階數(shù)作歸納法，階為1時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)階為-1時(shí) 結(jié)論成立，對階Hermite矩陣A ,我們作如下分塊A 一 ，a4,J其中為A的一1階順序主子矩陣，因?yàn)?非奇異，令pj* -A；>01P” AP =cimt - a11根據(jù)歸納假設(shè)，有A0,于是>。,（ |A|=|4|尸|=1）， |Ar 1|所以A>0,這說明了 階時(shí)結(jié)論成立，從而證明了充分性.

26、定理3-12 階Hermite矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有主 子式全大于零.證明 充分性由定理3-11可得必要性 對A的任一攵階主子式只要適當(dāng)（若干次）對調(diào)|A"的行和相應(yīng)的列，可使上述的成為一個(gè)攵階 順序主子式，即存在可逆矩陣尸，使尸的k階順序主子式為因?yàn)?A>0,由前面推論2知尸AP>0,從而由定理3-11有|A>0.定理 3-13 設(shè)A ,8都是階 Hermite矩陣，且8>0,則存在非奇異矩陣。，使得QBQ=I , Q"AQ = diag(W；M證明 由定理3-8知，存在非奇異矩陣P,使得8 = PP,由此得(P/) bpa=i又

27、（P 了“尸亦為Hermite矩陣，故有酉矩陣U ,使（3-6）u H P（P）H AP-lU = diag （入人,）O = Ku,則。非奇異，從而由（3-4）和（3-5）知（3-6）成立.定理3-14設(shè)A 是正定（非負(fù)定）Hennite矩陣，則存在唯一的正定（非負(fù)定）Hennite矩陣 H ,滿足 A=2.證明 因?yàn)锳是正定（非負(fù)定）Hermite矩陣，故 A = Udiag （%,%, Xn）U H其中U是酉矩陣，入,，入全大于零（非負(fù)）.令H = Udiag（3,丙，,仄川顯然"2=4現(xiàn)證”是唯一的.設(shè)還有一個(gè)正定Hermite矩陣"，滿足A=”：，故可設(shè)H = U

28、/iag（，爪，隰）U；，出0由A = H;得到=%,心=%,，"=% ,于是乩=U】diag（M，6，.：U，根據(jù)A="2 = h；,所以UdiagOh，也）U11 = U diag （/，出，下面進(jìn)一步證明Udiag（。,丙,A；）U = Uiag（6,必 事實(shí)上力跖（入入,入）。乜=。乜山”（入，”,，）（3-7）設(shè)西矩陣AiUHUl= P：Pn 代入（3-7）得1 P 1% 12 1 Pin%2i Pn PmA“l(fā) Pn2 人山叫 比較等式兩端得pij =入 jptj，當(dāng)人產(chǎn)入i 時(shí) ,/% = 0 為=%時(shí)，6" ="7/%，于是:小 g（a，

29、n，肉）"a 即P12 PnP22 PmPnl Pnn,Px %/七%P；=入"辦 %22 ,Pm Ph %P2 iPnn ;（，J=L2,/）= u"q 如 g（"，n，,C）H = H1四、反Hermite矩陣的性質(zhì)定理（一）反Hermite矩陣的性質(zhì)根據(jù)反Hennite矩陣的定義可知，不難得出反Hermite矩陣具有如下一些性質(zhì)1 2 3（1）對所有Awd A是反Hermite矩陣；（2）如果A是反Hermite矩陣，則A是反Hermite矩陣；（3）如果A是反Hermite矩陣，則對正整數(shù)k,4”是Hermite矩陣；（4）如果A是反Hennit

30、e矩陣，則A的奇數(shù)次方也是反Hennite矩陣；（5）如果A, 3是反Hennite矩陣，則對實(shí)數(shù)攵，p ,姑+也是反Hermite矩陣；(6)如果A , B是反Hermite矩陣，則A8是反Hermite矩陣的充分必要條 件是46 = 一區(qū)4；(7) A是反Hermite矩陣的充分必要條件是對于任意階方陣S, SAS 是反Hermite矩陣.(8)偶數(shù)階反Hermite矩陣的行列式為實(shí)數(shù)，奇數(shù)階反Hermite矩陣的行列 式為復(fù)數(shù)；(9)若反Hemiite矩陣A可逆，則也是反Hermite矩陣(10)若是Hermite矩陣,則滔是反Hermite矩陣(i = J 1 )；(11)若 A 是反

31、 Hermite 矩陣，則，4 是 Hermite 矩陣(i=Q)；(12)任意AwCnx”可寫成A=；(A + A") +:(A A")三A) + S(A),其中H(A) = )(A + A")是A的Hermite部分，而S(4)=4")是A的反 22Hermite 部分：(二)反Hermite矩陣的定理定理4-1每個(gè)Ae C"'"可以唯一地寫成4=5 +獷，其中S和r都是Hermite矩陣.證明把A寫成A=：(A + A) + "(t72)(A 4)由Hennite矩陣和反Hennite矩陣的基本性質(zhì)可知，S =

32、 -(A-A")和2T = (-i/2)(A-AH)都是Hermite矩陣，根據(jù)唯一性論斷，我們知道，如果A=E + /,其中E和尸都是Hermite矩陣，那么2S = A + 屋=(E + it) + (E + iF)11 =E + iF + Eu -iFH = 2E因而e=s.類似地可以證明尸二r.定理4-2 任一個(gè)nxn階矩陣都可表示為一個(gè)Hermite矩陣和一個(gè)反 Hermite矩陣之和.證明 設(shè)任一個(gè)"X”階矩陣3,令其中紇8+8 BB .,B.=,由十2B -B ""F"BeB-B2顯然紇B + B-是Hermite矩陣，5 =是反

33、 Hermite矩陣.定理4-3設(shè)AnO,若A* （A的伴隨矩陣）是偶數(shù)階反Hermite矩陣，則(i ) A一是反Hermite矩陣;(ii ) A 是反Hermite矩陣.AnO, A 是 2m ( ni )階反Hermite矩陣,即 A = 4*,由反Hermite矩陣的性質(zhì)（8）知4* WR, 乂AA =4 4=同七，|川二0故兩邊取行列式，得I . i2m1r= |A| CRA-14H,=2= f) = = -A囿 囿 囿從而4 i是反Hennite矩陣;()令4 = 8,由于881=£,則 BB-1 =E ,從而(3") 8 = £,進(jìn)而一87萬=七，

34、于是萬=一3,因而A是反Hermite矩陣.定理4-4若A是反Hermite矩陣，則(i)A的主對角線上的元素均為?；蚣兲摂?shù)；(ii )對任何U 6 C,x/, UAU還是反Hermite矩陣.證明 (i )設(shè)復(fù)矩陣A=%，則)nxn- 4 = 一七 ，i,/ = l,2,/J nxn由于A是反Hermite矩陣,即A = 了，故當(dāng)i = j時(shí),% =點(diǎn)w C有%=0或?yàn)榧兲摂?shù)即A的主對角線上的元素均為?；蚣兲摂?shù)；(ii)對任意Uwe">",記8=U4萬，下證8 =萬，因?yàn)锳是反Hermit e矩陣，即4 = 一才，故 一萬=一行=-Uau =- uU7 =U -A

35、'U =UMf = B 這就是說，對任意UwC'x", A是反Hermite矩陣，U4U還是反Hermite矩陣.推論4若A是反Hermite矩陣，則對任意UwC"'",矩陣，4萬的主對角線上的元素均為0 或純虛數(shù).定理4-5對任意AWC"'，存在一個(gè)階酉矩陣U和一個(gè)上三角矩陣R,使得uhau = r其中R的對角元素是A的特征值.定理4-6若A是階反Hermite矩陣，則存在一個(gè)階酉矩陣U ,使得uhau = d其中。= dbgC,%，入），入.（i = L2,是A的純虛數(shù)特征值.證明 由定理4-5可知，存在一個(gè)階酉矩陣P

36、,使得A = PRPH其中R是上三角矩陣，記%小i° r22 r23 . r2nR= 0 0七 000 . rnil由于 AAh = A" A,令 RhR = RRH，即L 0 0邑伯大,L伯匕0 k弓2 ：°/r2n°與演42r22*,C :0 大仁人味0 0 r fin°0小4仁.因此R = dhg（j,匕2-，%），即存在階酉矩陣U,使得0 0U"AU = D = diag（%,%,，人）由于A=A,有。=。，即A, =, i = 1,2,從而入。= 1,2,是純虛數(shù).定理4-7設(shè)A為階反Hermite矩陣，則（i ） A的特征

37、值均為純虛數(shù)；（11） A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量相互正交.證明 （i ）由定理4-4可以直接得出.（ii）設(shè)是A的兩個(gè)不同特征值，相應(yīng)的特征向量分別為X，y,則Ax = Ax, Ay = ft.y從而yHAx = XyHx ,Ay =因?yàn)锳是反Hennite矩陣，* “均為純虛數(shù)，則yH Ax = fiyHx于是(A /z)>,Hx = O由于人工，故x與y正交.定理4-8設(shè)A、5都是Hermite矩陣或都是反Hermite矩陣，則(i ) A3 + A4 為Hermite矩陣；(ii ) AB HA 為反Hermite矩陣.證明 (i )設(shè)A、3都是Hermite矩陣，即A” =

38、 A , 8 = 8 ,則AB-BA = AhBh +8" a”=BA H + AB H=BA + AB 即 AB + BA 為Hermite矩陣;同理可證當(dāng)A、B都是反Hermite矩陣時(shí)ABBA為Hermite矩陣.(ii )當(dāng) A、B 都是Hermite矩陣，即 4” = A , 8 = 3 ,則AB-BA = AhBh -BhAh = BA H - AB ”=BA-AB =一 AB-BA ”即ABRA是反Hermite矩陣;同理可證當(dāng)A、3都是反Hermite矩陣時(shí)AB 84為反Hermite矩陣.定理4-9若A、B都是反Hermite矩陣，則AB為Hermite矩陣的充分必要條件是AB = BA ,即A、8可交換.證明 因?yàn)锳、3都是反Hermite矩陣，則4 = A”，B =