多元函數(shù)微分法的應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法的應(yīng)用過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 位置.TM空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限平面平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停一、一、幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用第1頁/共43頁)(00 xxt)( )(00yyt)(, )(, )(:tztytx切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應(yīng)設(shè))(0t)(0t)(0t機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TM切線的方向向量:)(, )(, )(000tttT稱為曲線的切向量切向量 .法平面方程法平面方程 0)(00zzt第2頁/共43頁

2、zyxo求圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.,2時(shí)當(dāng)切線方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM對應(yīng)的切向量為0)(2kzk在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),0,(kRT, 故第3頁/共43頁02.:cos,2sincos ,tuxeud uytt例求曲線.程程處的切線和法平面的方處的切線和法平面的方在在013tezt.)(,)(,)(302010zyx, ),(.21000Mt 解解,sincos,costtezttytex332. ),

3、(:321t切向量切向量,:32211zyx切線方程切線方程,)()(:02312zyx法平面方程法平面方程.0832zyx或或第4頁/共43頁(2) 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF曲線上一點(diǎn)),(000zyxM處的切向量為 xyzxyzMijkTFFFGGG第5頁/共43頁0,6222zyxzyx在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. (,)xyzMF F F解解 令,222zyxGzyxF則切向量(,)(1,1,1);xyzMG G G(2 ,2 ,2 )Mxyz(2, 4,2)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 242(6,

4、 0, 6)111ijkT 第6頁/共43頁切線方程121zyx606即0202yzx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx第7頁/共43頁0),(:zyxF設(shè) 有光滑曲面通過其上定點(diǎn)),(000zyxM任意引光滑曲線MT可以證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. 過點(diǎn) M 與切平面垂直的直線稱為法線法線n第8頁/共43頁)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點(diǎn) M 的法向量法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz)

5、,(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共43頁)( ),(000 xxyxfx時(shí), ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點(diǎn)),(zyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令000(,)xyz 在點(diǎn))( ),(000yyyxfy,xxfF 切平面方程切平面方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的法向量法向量0000(,),(,),1)xynfxyfxy0()0zz第10頁/共43

6、頁3632222zyx在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以曲面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第11頁/共43頁.2 ,2xyzx zy解PPyxn),(122,),(124041224)()()(:zyx切切平平面面0624zyx或或.:142142zyx法線方程法線方程225.1(2,1, 4)zxyP例求旋轉(zhuǎn)拋物面

7、在點(diǎn).處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程第12頁/共43頁,.32yxezFz解解0002112)()()(:zyx切平面切平面042 yx或或,:001221zyx法線法線6.23(1, 2, 0)zzexyP例求曲面在點(diǎn)處的.切平面及法線方程切平面及法線方程),(),(,021021122zexyn, ),(024, ),(012n取取0320yxz或或第13頁/共43頁.0002zyx或或2227.2321xyz例求曲面平行于平面.的切平面的方程的切平面的方程064zyx,),(.為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn)設(shè)設(shè)解解000zyxP000(2, 4, 6)nxyz法向量,由于切平面平

8、行于已知 平面00020202022132zyxzyx,664412000zyx所以所以221221000000zyxorzyx第14頁/共43頁, ),(:3211P切點(diǎn)切點(diǎn), ),(:641n法向量法向量, ),(3212P:兩張切平面兩張切平面221221000000zyxorzyx064zyx平面平面,)()()(0262411zyx.)()()(0262412zyx:化簡得化簡得,021641zyx.021642zyx第15頁/共43頁1. 如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示: 設(shè)切點(diǎn)為, ),(000zyxM則223yx .求000226zyx3301633000zyx

9、163202020zyx2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 162 z(二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)第16頁/共43頁0453203222zyxxzyx在點(diǎn)(1,1,1) 的切線解解: 點(diǎn) (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl第17頁/共43頁l),(zyxP定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則

10、稱lflf為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P記作記作 二、方向?qū)?shù)與梯度二、方向?qū)?shù)與梯度第18頁/共43頁,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) P 可微 , 得機(jī)動 目錄 上頁 下

11、頁 返回 結(jié)束 P故coscoscoszfyfxf第19頁/共43頁機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxPflcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyoxflf特別特別: 當(dāng) l 與 x 軸同向有時(shí),2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時(shí),2,xflfl向角第20頁/共43頁在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 向量 l

12、 的方向余弦為第21頁/共43頁從點(diǎn)P(1, 0)到點(diǎn)223yyxz(2, 1)Q的方向?qū)?shù).解解:Plz1cos,232 (1, 1)lPQ 162xy21(32 )2xy(1,0)1cos2 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共43頁方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxfG,:G第23頁/共43頁, fadrg即grad( , , )f x y z同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPgrad( , ),fffff x yijxyxy稱為函數(shù) f (P)

13、在點(diǎn) P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 G說明說明:的方向?yàn)楹瘮?shù)增大最快的方向向量grad fmax( , , )fgradf x y zl第24頁/共43頁例例3. 設(shè)函數(shù)222( , , )23326f x y zxyzxyxyz 求梯度梯度(0,0,0),(1,1,1)gradfgradf解解:grad( , , )f x y zzfyfxf,23, 42, 66xyyxz(0,0,0)(3, 2, 6)gradf(1,1,1)(6,3,0)gradf第25頁/共43頁例例4. 設(shè)函數(shù)2( , )yf

14、x yxe0,(1,0)P求函數(shù)在點(diǎn)0(1,0)P增加最快的方向，并求沿這個方向的方向?qū)?shù)。解解:沿梯度方向函數(shù)增加最快沿梯度方向函數(shù)增加最快所求方向?yàn)樗蠓较驗(yàn)?1,0)grad(1,0),fflfxy22(1,0), 2(1,2)yyexe(1,0)fgradflfx5第26頁/共43頁例例5. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: (1)12 ,lnzzxyzfx fzyfyy曲線 12 32tz

15、tytx在點(diǎn)M (1,1,1) 處切線的方向向量l)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx第27頁/共43頁)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)143210262626 (2) grad(1,1,1)(2,1, 0)f第28頁/共43頁xyz定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf

16、或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有xyzxyz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1、極值的定義及求法、極值的定義及求法第29頁/共43頁說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機(jī)

17、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共43頁時(shí), 具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共43頁求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在

18、點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁/共43頁在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不

19、是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁/共43頁第二步第二步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)定解第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 由問題的實(shí)際背景可知最值在區(qū)域內(nèi)部取得, 且只有一個只有一個駐駐點(diǎn)P 時(shí), 則)(Pf為最小 值( (大大) )第34頁/共43頁解解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxy

20、xy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁/共43頁極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁/共43頁例例3.22( , )12xf x yxyy求在條件下的極值解解: 由約束條件有由約束條件有12xy 得：22(1)2xfx2514xx2524()455x故24,1525xxy 時(shí)，函數(shù)有極小值222 4244( , )5 5555f第37頁/共43頁,0),(下在條件yx步驟：2.解方程組，求駐點(diǎn).),(的極值求函數(shù)yxfz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.引