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文檔簡介
1、會計學(xué)1多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗如果 維隨機向量 (隨機變量)pTpXXXX),(21 定義(聯(lián)合)概率密度函數(shù)為 )()(21exp|)2(1),(121221 XVXVxxxfTpp則稱隨機向量 為 維正態(tài)隨機向量, Xp其中 稱為均值向量,為協(xié)方差矩陣(協(xié)差陣),且V. 0 V對于一般情形, 0 V仍可定義多維正記為 。),(VNXp 態(tài)隨機向量,當(dāng) 時,0 V第1頁/共19頁若令多元正態(tài)分布的性質(zhì):(1)維正態(tài)分布由其均值向量和協(xié)方差陣唯一確定。p(2)對于任一 維向量 及 階非負定矩陣 ,(3)設(shè) , 是 常數(shù)矩陣,),(VNXp Apm b是 維向量
2、,m).,(TpAVAbANY , bAXY 則p pV必存在 維正態(tài)隨機向量 。p),(VNXp 有前面的密度表示,而當(dāng) 時,X0| V的分X布是退化的正態(tài)分布。第2頁/共19頁(4)為 維正態(tài)隨機向量的充要條件為對任Xp一 維向量 ,c 是一維正態(tài)隨機變量。XcT(5)設(shè) 為多維正態(tài)隨機向量,TTTXXX),(21 則 與 互不相關(guān)的充要條件是 與1X2X 相互獨立。1X2X注:0),( YXCov 若 ,則稱 與 互不相關(guān)。XY(6)設(shè) ,),(VNXp 則 的充要條mV )(rank件是存在 矩陣 使得pm B)(VBBT BYX其中 。), 0(mmINYp第3頁/共19頁證明充分性
3、由性質(zhì)3立得。下證必要性。由于 是秩 為的非負定陣,則必存在正Vm交矩陣 使得U 000000000000001mTVUU 其中 。mii, 1, 0 第4頁/共19頁令,00000021 m 則有.00000002121DIIVUUImmpTmp 令)(0021 XUIWYZTmp第5頁/共19頁則由性質(zhì)3知 ,), 0(DNZp且 ,), 0(mmINY由上式可得.0002121YUZIUXmp 若記,021 UB它是 矩陣,即有mp BYX第6頁/共19頁(7)若 ,),(VNXp 且 ,0| V則).()()(21pXVXT 證明由 可知 是正定矩陣,0| VV所以21 V存在且為對稱
4、矩陣,這樣)()(2121 XVVXT)()(2121 XVXVT令),(21 XVY則)., 0(ppINY,YYT 且第7頁/共19頁由性質(zhì)3知 的每個分量 服從標準正態(tài)分布,YiY且相互獨立,故 分布的定義知).(2pYYT 2 第8頁/共19頁在此給出多元正態(tài)分布的參數(shù) 和 的估 V計。為簡單計,僅考慮 的情形。0 V設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本,),(VNp 令 nkkXnX11 nkTkkXXXXS1)(樣本均值向量樣本離差陣第9頁/共19頁定理則 是設(shè) 是來自多元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體 的簡單樣本,),(VNp 且 ,0 VX 的極大似然估
5、計,Sn1是 的極大似然估計。V定理則 是設(shè) 是來自多元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體 的簡單樣本,),(VNp 且 ,0 VX 的一致最小方差無偏估計,Sn11 是 的一致V最小方差無偏估計。第10頁/共19頁(一)協(xié)差陣 已知時,均值 的檢驗V 設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本,),(VNp 其中 已知。V考慮假設(shè)檢驗問題0100 :,:HH令),()(010 XVXnDT則可以證明當(dāng)成立時,即 時,0H0 )(2pD 第11頁/共19頁而當(dāng) 不成立時,0H有偏大的趨勢。D因此,對給定的顯著性水平 , 當(dāng))()()(21010pXVXnDT 時拒絕 ,0H否則接
6、受 ,即拒絕域為0H )(:21pDDW 第12頁/共19頁(二)協(xié)差陣 未知時,均值 的檢驗V 設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本,),(VNp 其中 未知。V考慮假設(shè)檢驗問題0100 :,:HH令),()(010 XSXpnpnFT則可以證成立時,即 時,0H0 ),(pnpFF 明當(dāng)?shù)?3頁/共19頁而當(dāng) 不成立時,0H有偏大的趨勢。F因此,對給定的顯著性水平 , 當(dāng)時拒絕 ,0H否則接受 ,即拒絕域為0H ),(:1pnpFFFW ),()()(1010pnpFXSXpnpnFT 第14頁/共19頁(三)兩個正態(tài)總體均值相等的檢驗設(shè) 是來自多元正態(tài)總)(,121
7、1pnXXXn 體 的簡單樣本,),(1VNp 考慮假設(shè)檢驗問題211210 :,:HH)(,2212pnYYYn 是來自多元正態(tài)總 的簡單樣本,),(2VNp 且兩個樣本相互獨立,協(xié)方差陣 。0 V根據(jù)協(xié)方差陣 已知和未知分兩種情形:V第15頁/共19頁(1)V已知檢驗統(tǒng)計量)()(12121YXVYXnnnnDT 可以證明當(dāng) 成立時,即 時,0H21 )()()(212121pYXVYXnnnnDT 而當(dāng) 不成立時,0H有偏大的趨勢。 D因此,對給定的顯著性水平 , 當(dāng)?shù)?6頁/共19頁時拒絕 ,0H否則接受 ,即拒絕域為0H )(:21pDDW )()()(2112121pYXVYXnnnnDT (2)V未知檢驗統(tǒng)計量)()() 2)() 1(121212121YXVYXnnnnppnnnnFT 第17頁/共19頁可以證明當(dāng) 成立時,即 時
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