福建省泉州五校2015屆高三1月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題含解析

1、2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試【試卷綜述】試卷考查的題型著眼于考查現(xiàn)階段學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及基本技能掌握情況.整份試卷難易適中，沒有偏、難、怪題，保護(hù)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心并激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情；在選題和確定測(cè)試重點(diǎn)上都認(rèn)真貫徹了“注重基礎(chǔ)，突出知識(shí)體系中的重點(diǎn)，培養(yǎng)能力”的命題原則，重視對(duì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能分析問題、解決問題能力的考查.【題文】第I卷（選擇題 共50分）【題文】一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的?！绢}文】1. 已知集合則為（ ）A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】

2、交集及其運(yùn)算A1【答案】【解析】C 解析：=,故選C.【思路點(diǎn)撥】由A與B，求出兩集合的交集即可【題文】2如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（ ）A2B1C2D1或 2 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念L4【答案】【解析】A 解析： 即 ，故選A【思路點(diǎn)撥】純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是a+bi中a=0且b0，根據(jù)這個(gè)條件，列出關(guān)于a的方程組，解出結(jié)果，做完以后一定要把結(jié)果代入原復(fù)數(shù)檢驗(yàn)是否正確【題文】3. 在中，若,則的面積( )A 、 B、 C、 D、【知識(shí)點(diǎn)】三角形的解法和面積公式C8【答案】【解析】B 解析：由正弦定理可得: ,因?yàn)?即,所以,則的面積為,故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用正弦定理求出B,再結(jié)合三角

3、形內(nèi)角和得到A,最后利用三角形面積公式即可.【題文】4下列命題中，真命題是（ ）A BC D【知識(shí)點(diǎn)】命題真假的判斷.A2【答案】【解析】D 解析：對(duì)于A,不存在使得,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí), 不成立;故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,不等式恒成立,D正確;故選D.【思路點(diǎn)撥】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)依次做出判斷即可.【題文】5. 函數(shù)的大致圖像是（ ）【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).B4【答案】【解析】B 解析：因?yàn)楹瘮?shù),易知函數(shù)為偶函數(shù),且在遞增的幅度較緩,同時(shí)滿足時(shí),由此判斷正確選項(xiàng)為B,故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值,結(jié)合函數(shù)值的變化情況可得結(jié)果.【題文】6在某種新型

4、材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了右邊一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（ ）1 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異B6 B7【答案】【解析】B 解析：由該表提供的信息知，該模擬函數(shù)在應(yīng)為增函數(shù)，故排除D,將、4代入選項(xiàng)A、B、C易得B最接近，故答案應(yīng)選B.【思路點(diǎn)撥】由表中的數(shù)據(jù)分析得出，自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用排除法即可得出正確的答案【題文】7若、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面

5、之間的位置關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：對(duì)于A，或 異面，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B， 與 可能相交可能平行，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C， 與 還可能異面或相交，所以錯(cuò)誤.故答案應(yīng)選D【思路點(diǎn)撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【題文】8. 如圖過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為()AB C D【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程H7【答案】【解析】B 解析：如圖分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=a，故BCD=30°，在直角

6、三角形ACE中，|AF|=3，|AC|=3+3a，2|AE|=|AC|3+3a=6，從而得a=1，BDFG，,求得p=，因此拋物線方程為y2=3x【思路點(diǎn)撥】分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|=a，根據(jù)拋物線定義可知|BD|=a，進(jìn)而推斷出BCD的值，在直角三角形中求得a，進(jìn)而根據(jù)BDFG，利用比例線段的性質(zhì)可求得p，則拋物線方程可得【題文】9. 設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù)已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述方程式相異實(shí)根的個(gè)數(shù)13311關(guān)于的極小值試問下列哪一個(gè)選項(xiàng)是正確的（ ）A. B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理M1【答案】【解析】B 解析：方程式的相異實(shí)根數(shù)

7、等于函數(shù)與水平線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形(1)當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為正時(shí) (2) 當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí) 因極小值點(diǎn)位于水平線與之間所以其坐標(biāo)（即極小值）的范圍為 故選(B)【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合的思想，直接觀察得到答案【題文】10. 將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)為中心其中分別為原點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量若將原點(diǎn)到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量都寫成為的形式則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義F2【答案】【解析】D 解析：因?yàn)橄肭?/p>

8、的最大值所以考慮圖中的6個(gè)頂點(diǎn)之向量即可討論如下(1)因?yàn)樗?2)因?yàn)樗?3)因?yàn)樗?4)因?yàn)樗?5)因?yàn)樗?6)因?yàn)樗砸虼说淖畲笾禐楣蔬xD【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，得出求a+b的最大值時(shí)只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，分別求出即得結(jié)論【題文】第卷（非選擇題共100分）【題文】二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。【題文】11.某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的體積是 . 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2【答案】【解析】4 解析：由俯視圖與側(cè)視圖可知三棱錐的底面積為，由側(cè)視圖可知棱錐的高為2，所以棱錐的體積為，【思路點(diǎn)撥

9、】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，代入數(shù)據(jù)求解即可【題文】12.已知兩個(gè)單位向量，的夾角為30°，.若，則正實(shí)數(shù)=_【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角F3【答案】【解析】1 解析：因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量，的夾角為30°，所以, ,又因?yàn)?即,解得,而為正實(shí)數(shù),所以,故答案為1.【思路點(diǎn)撥】先求出兩個(gè)向量的模以及數(shù)量積,借助于已知條件即可解得正實(shí)數(shù).【題文】13. 若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是_【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃E5【答案】【解析】24 解析：約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，檢驗(yàn)四個(gè)頂點(diǎn)的

10、坐標(biāo)可知，當(dāng)x4，y4時(shí)，azmax5×4416；當(dāng)x8，y0時(shí)，bzmin5×088，ab24.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=5yx，再利用幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，只需求出直線，過可行域內(nèi)的點(diǎn)B（8，0）時(shí)的最小值，過點(diǎn)A（4，4）時(shí)，5yx最大，從而得到ab的值【題文】14、函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式；平均值不等式E6【答案】【解析】4 解析：x=2時(shí)，y=loga11=1，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（2，1）,即A（2，1），點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0上，2mn+2=0，即2

11、m+n=2，m0，n0，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可【題文】15、2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A（1，3）；B（1，3；C（3，+）；D3，+）”其正確選項(xiàng)是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用；進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理H6 M1【答案】【解析】 解析：，則雙曲線離心率的取值范圍為：A（1，3）； B（1，3； C（3，+）； D3，+）”其正確選項(xiàng)是B，區(qū)間前端

12、點(diǎn)為1，后端點(diǎn)為，若將其中的條件“”更換為“，且”，經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是開區(qū)間，前端點(diǎn)為1，后端點(diǎn)為，雙曲線離心率的取值范圍是；故答案為【思路點(diǎn)撥】開區(qū)間前端點(diǎn)是1，關(guān)鍵看后端點(diǎn)的值與|PF2|前邊的系數(shù)的關(guān)系，由，聯(lián)想系數(shù)為k時(shí)，后端點(diǎn)是，從而得出答案【題文】三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。）【題文】16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為若，邊，求邊【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積公式；三角函數(shù)的性質(zhì)；正弦定理.C3 C8 F3【答案】【解析】（1）;（2） 解析：（1） 4

13、分 R，由 得 6分函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 7分 （2），即，角為銳角，得， 9分又， ，由正弦定理得 13分【思路點(diǎn)撥】（1）先利用向量的數(shù)量積公式把函數(shù)化簡(jiǎn)，在結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)增區(qū)間；（2）先求出角A,再利用正弦定理可求得BC.【題文】17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列, ，且（1）求與；（2）證明.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和D4【答案】【解析】（1）；（2）見解析. 解析：（1）設(shè)的公差為，且的公比為7分（2） ，9分 13分【思路點(diǎn)撥】（1）直接由已知求得等差數(shù)列的公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，再由求得等比數(shù)列的公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

14、可求；（2）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證?！绢}文】18（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定定理；空間向量求二面角；面面垂直的性質(zhì)定理.G4 G5 G11【答案】【解析】（1）見解析；（2）；（3） 解析：（1）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1 AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1平面ABC. 3分（2）由（I）知AA1 AC，AA1 AB. 由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以A

15、BAC. 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ),則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，所以. 6分同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為. 8分(3)設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn)，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得. 11分因?yàn)椋栽诰€段BC1上存在點(diǎn)D，使得ADA1B.此時(shí)，. 13分【思路點(diǎn)撥】（1）先由AA1C1C為正方形，證出AA1 AC.再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可；.（2）先結(jié)合已知得到ABAC.然后以A為原點(diǎn)建立空間直角

16、坐標(biāo)系A(chǔ),求出平面A1BC1的法向量為，以及平面BB1C1的法向量為,最后利用公式即可； (3)由得到向量坐標(biāo)間的關(guān)系，再利用解得.【題文】19.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程H5 H8【答案】【解析】（1）（2）存在，理由見解析. 解析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）,b=2, e=所以解得所以橢圓E的方程為 5分（2）假設(shè)存在圓心

17、在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 7分則=,即A. ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為, 11分此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且. 13分【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)短軸長為4，離心率為，求出幾何量，從而可求橢圓E的方程；（2）先假設(shè)存在，設(shè)該圓的切線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及，可確定m的范圍及所求的圓的方程，驗(yàn)證當(dāng)切線的斜率不

18、存在時(shí)，結(jié)論也成立【題文】20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)()討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；()若函數(shù)在處取得極值，且對(duì),恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()當(dāng)且時(shí)，試比較的大小【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.B11 B12【答案】【解析】() 當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn) () () 解析：()，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn) 4分()函數(shù)在處取得極值，令，可得在上遞減，在上遞增，即

19、9分()解：令，由()可知在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，>，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，           14分  【思路點(diǎn)撥】（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）,然后求出其導(dǎo)函數(shù),通過對(duì)a進(jìn)行分類討論判斷單調(diào)區(qū)間，得出極值點(diǎn)情況（）a=1，然后利用利用導(dǎo)數(shù)求最小值（）由（）在（0，e2）上為減函數(shù)，g（x）g（y），整理得，考慮將1lnx除到右邊，為此分1lnx正負(fù)分類求解【題文】21. 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，做答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換T將點(diǎn)(2，2)與(4,2)分別變換成點(diǎn)(2，2)與(0，4)（1）求矩陣M；（2）設(shè)直線l在變換T作用下得到了直線m：xy6，求l的方程【知識(shí)點(diǎn)】幾種特殊的矩陣變換N2【答案】【解析】（1）M.（2）xy30 解析：(1)設(shè)M，所以，且，解得，所以M. 4分(2)因?yàn)榍襪：xy6，所以(x2y)(3x4y)6，即xy30，直線l的方程是xy30 7分【思路點(diǎn)撥】