八年級數(shù)學幾何證明題技巧(含答案)

1、幾何證明題的技巧1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題， 它有兩種基本類型： 一是平面圖形的數(shù)量關系； 二是有關平面圖形的位置關系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD化，如證明平行關系可轉化為證明角等或角互補的問題。2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（ 1）綜合法（由因導果），從已知條件出發(fā)，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題解決；（ 2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（ 3）分析綜合法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際

2、思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結論的距離，最后達到證明目的。3. 掌握構造基本圖形的方法：復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉化問題的目的。1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經(jīng)常用到。例 1.已知：如圖1 所示，ABC 中，C90 ，ACBC，

3、ADDB，AECF 。求證： DE DFAEDCFB圖1分析： 由ABC 是等腰直角三角形可知，AB45 ，由 D 是 AB 中點，可考慮連結CD ，易得 CDAD ，DCF45 。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明： 連結 CDACBCABACB90 ，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB ，ADCDADECDFDEDF說明： 在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該連結CD ，因為 CD 既是斜邊上的中線，又是底邊上的- 1 -中線。本題亦可延長ED 到 G，使 DG DE ，連結

4、 BG，證EFG 是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。說明： 利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應注意：（ 1）制造的全等三角形應分別包括求證邊或者角；（ 2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內錯角或同旁內角的關系來證。 證兩條直線垂直，可轉化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形 “三線合一” 來證。例 2. 已知：如圖4 所示， AB AC ， A90 ，AEBF ，BDDC 。求證： FD EDAEF2 31BDC圖4證明一

5、： 連結 ADABAC，BDDC1 290 ，DAEDABBAC90 ，BDDCBDADBDABDAE在 ADE 和 BDF 中，AEBF， BDAE ，ADBDADEBDF313 2 90FD ED說明： 有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例 3. 已知：如圖6 所示在ABC 中，B60 ， BAC 、 BCA 的角平分線AD 、 CE 相交于 O。求證： AC AE CDBEDO1 42 35AF6C圖6- 2 -分析： 在 AC 上截取AF

6、AE 。易知AEOAFO ，12 。由B 60，知5 6 60，160， 23 120。123460 ，得： FOCDOC， FC DC證明： 在 AC 上截取 AF AEBADCAD，AOAOAEOAFO SAS4 2 又B605 6 601 602 3 120123460FOCDOC ( AAS)FCDC即AC AE CD（二）延長一較短線段，使延長后的線段等于另一較長線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）例 4. 已知：如圖7 所示，正方形ABCD 中， F 在 DC 上， E 在 BC 上，EAF45 。求證： EF BE DFAD312FGB EC圖7分析： 此題不易利用正方形這一

7、條件。不妨延長CB 至 G，使 BGDF 。證明： 延長 CB 至 G，使 BG DF 。 在正方形 ABCD 中，ABGD 90 ，AB ADABGADF (SAS)AGAF，13又 EAF 45 2 3452145即 GAE FAEGEEFEFBEDF【實戰(zhàn)模擬】1. 已知：如圖 11 所示，ABC 中， C90 ，D 是 AB 上一點，DE CD 于 D，交 BC 于 E，且有 ACADCE 。求證： DE1 CD2- 3 -CEADB圖112. 已知：如圖12 所示，在ABC 中，A2B ， CD 是 C 的平分線。求證： BC AC ADADBC圖123. 已知：如圖13 所示，過A

8、BC 的頂點 A ，在 A 內任引一射線，過B、 C 作此射線的垂線BP 和 CQ。設 M為 BC 的中點。求證： MP MQAQBCMP圖13【試題答案】1. 證明： 取 CD 的中點 F，連結 AFC41F3 EADBACADAF CDAFCCDE90又 14 90，13904 3 AC CEACF CED ( ASA) CF EDDE1 CD2- 4 -2. 分析： 本題采用“截長補短”的手法。 “截長”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。EADBC證明： 延長 CA 至 E，使 CE CB，連結 ED在 CBD 和 CED 中，CBCEBCDECDCDCDCBDCEDB E BAC 2B BAC 2E