多元函數(shù)及其微分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)及其微分法多元函數(shù)及其微分法第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 全微分第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié) 多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用第七節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法第1頁/共66頁一、多元函數(shù)概念例如 （i）圓柱體的體積公式 ，其中r、h是自變量。當(dāng)r、h在定義域內(nèi)取定一對數(shù)值（r，h）時(shí)，V就有唯一的值與之對應(yīng)。 (ii)矩形的面積S=xy。其中x、y是自變量。當(dāng)x、y在定義域內(nèi)取定一對數(shù)值（x,y）時(shí)，S就有唯一的值與之對應(yīng)。2Vr h第2頁/共66頁 1、多元函數(shù)定義 設(shè)有變量x、y、z。若當(dāng)x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對值(x，y)時(shí)，

2、z按一定的法則f總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱這個(gè)f為x、y的二元函數(shù)。 x、y叫做自變量，z叫因變量。 x、y的變化范圍叫做定義域，函數(shù)記為,zf x y因?yàn)椋▁，y）對應(yīng)xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y)。所以 可以看作平面上點(diǎn)P的函數(shù)，記為z=f(P)。,zf x y第3頁/共66頁 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有定義的點(diǎn)的全體構(gòu)成的點(diǎn)集。三元函數(shù)u=f(x,y,z)可看作空間內(nèi)點(diǎn)P（x,y,z）的函數(shù)。定義域是空間內(nèi)的點(diǎn)集。故 二元函數(shù)f（x,y）的定義域是xoy平面上的 點(diǎn)集。第4頁/共66頁例1 的定義域是滿足 的 點(diǎn)（x,y）的全體。即 ln()zxy0 xy,0 x y xyxyO0

3、x y 第5頁/共66頁例2 的定義域?yàn)?22arcsinzxy22,1x y xy221xy第6頁/共66頁二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形 建立空間直角坐標(biāo)系，先在xoy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D，對于D中的任一點(diǎn)P(x,y) ，在空間中都能找到一點(diǎn)M與之對應(yīng)，當(dāng)P點(diǎn)變動(dòng)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)M的軌跡為z=f(x,y)的幾何圖形。它通常是一張曲面。XZyOPM第7頁/共66頁01230123-1-0.500.510123221yxz 1),(22 yxyx圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.xzy1o函數(shù)z=sinxy0 x3, 0y0， ,y為任意實(shí)數(shù)）求證：yzx1x 12lnxzzzy xx

4、 x第24頁/共66頁例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT（R為常量）求證：1PVTVTP 由此可見偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個(gè)整體記號，并不代表相除的意思。而一元函數(shù) 可以看作dy與dx之商，因此也稱“微商”。dyydx 第25頁/共66頁4、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示空間一個(gè)曲面。設(shè) 為曲面上一點(diǎn)，過 作平面 與曲面相交于一曲線，則曲線方程為 。那么 就是這條曲線在點(diǎn) 處的切線對x軸的斜率。,zf x y0000,Mx y z0M0yy0,zf x y00,xfxy0MZXy0M0y第26頁/共66頁ZXy0M0 x同樣 表示曲面z=f(x,y)與平面 的交線在點(diǎn) 處的切線對y軸的斜率。00,

5、yfxy0 xx0M第27頁/共66頁5、多元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系對一元函數(shù)，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在此點(diǎn)必連續(xù)。對多元函數(shù)，是否也有此結(jié)論呢？若多元函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù)。2222220,00 xyxyxyf x yxy在點(diǎn)（0,0）處的偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性例 考察函數(shù)第28頁/共66頁二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) 在區(qū)域D內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù),zf x yzxzy這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍然是x、y的函數(shù)。若它們的偏導(dǎo)數(shù)還存在，則稱這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 的二階偏導(dǎo)數(shù)。,zf x y按照對自變量求導(dǎo)順序可以分為四種二階偏導(dǎo)數(shù)：1、f(x,y)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)22zx,xxfx yxxz第29頁/共66頁2、 f(x,y)對x、y的二階

6、混合偏導(dǎo)數(shù)2zx y ,xyfx yxyz3、 f(x,y)對y、x的二階混合偏導(dǎo)數(shù)2zy x 4、f(x,y)對y的二階偏導(dǎo)數(shù)22zy例1 設(shè)32331zx yxyxy，求， ， ， ，22zx2zx y 2zy x 22zy33zx第30頁/共66頁定理若二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等。例2 驗(yàn)證函數(shù) 滿足方程22lnzxy22220zzxy例3 設(shè) 證明：函數(shù) 滿足方程222rxyz1ur2222220uuuxyz上述兩例中的方程稱為拉普拉斯方程.第31頁/共66頁00()()yf xxf x ()yA xox0 xA x一元函數(shù)的微分定義若可表示為則f(x)在

7、點(diǎn) 可微。叫做 在點(diǎn) 的微分。( )f x記作dy. dyA xfx dx 0 x第32頁/共66頁引例 設(shè)一圓柱體的底半徑為r,高為h，當(dāng)?shù)装霃胶透吒髯垣@得增量 和 時(shí)，現(xiàn)分析圓柱體體積V的改變量rhV圓柱體體積公式2Vr h則 22Vrrhhr h22222rhrrhr r hh rrh 22VrhrrhA rB h 即當(dāng) 和 都很小時(shí)，方框部分可忽略不計(jì)rh第33頁/共66頁 設(shè)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈。 ，當(dāng)x取得增量 ，y 取得增量 時(shí)，得到另一個(gè)點(diǎn) ，那么P和 的函數(shù)值之差 稱為全增量。,P x yDxy,P xx yyP,zf xx yyf x y , )( oyBxAz 其

8、中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，則稱函數(shù)f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微， 稱為函數(shù)在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作dzA xB y 22)()(yx 若A xB y 一、全微分第34頁/共66頁二、多元函數(shù)可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系定理1 若二元函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微分，則函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)也連續(xù)?？晌?連續(xù)不連續(xù) 不可微定理2(必要條件) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) 必存在,且在該點(diǎn)的全微分為yzxz ,dzzzzzxydxd yxyxy 第35頁/共66頁注意：偏導(dǎo)數(shù)存在，全微分不一定存

9、在。2222220,00 xyxyxyf x yxy反例定理3 若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)的全微分必存在。在點(diǎn)(0,0)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。),(zyxfu 的全微分為推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.uuududxd ydzxyz第36頁/共66頁例1 求 的全微分。22zx yy例2 求 在點(diǎn)(2,1)處的全微分。xyze例3 求 的全微分。sin2yzyuxe第37頁/共66頁三、全微分的應(yīng)用若 ， 連續(xù)， ， 都很小時(shí)就有,xfx y,yfx yxy,xyzdzfx yxfx yy ,xyf xx yyf x yf x yx f x yy 例2 計(jì)算 的近似值。2.021.0

10、4例1 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,半徑由 20cm 增大到21cm ,高度由100cm 減少到 99cm ,求此圓柱體體積的近似改變量.第38頁/共66頁一、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù),zf u v ux vx ,zfxxdzz duz dvdxu dxv dx第39頁/共66頁例1 設(shè) ， ， 。求全導(dǎo)數(shù) 。243zu vuvsinvxxuedzdx例2 設(shè) (u0, ) ， ， 均可導(dǎo)，求 。vzu1u uu x vv xzx第40頁/共66頁二、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù),zfx yx y,ux y,vx y,zf u vzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y 第41頁/

11、共66頁例2 設(shè) ，f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：2222,zf xy yx0zzyxxy例1 設(shè) ， ， 。求 ， 。sinuzevuxyvxyzxzy第42頁/共66頁三、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元 函數(shù)1、 ,zfx yy,zf u v,ux y vyzzuxux zzuz dvyuyv dy 第43頁/共66頁例 設(shè) ， ， 求 和 。arcsinzxytxse2ytzszt2、, ,zfx yx y,ux yuxzuffxxuyzuffyy第44頁/共66頁例1 設(shè) ， ，求 和 。例2 設(shè) ，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 和 。222xyzue2sinzxyuxuy,wf xy

12、z xyz wx2wx z 第45頁/共66頁 我們以前學(xué)習(xí)過由方程 所確定的隱函數(shù) 的求導(dǎo)方法。,0F x y yf x但這是在方程能確定一個(gè)一元函數(shù)且這個(gè)一元函 數(shù)可導(dǎo)的前提下進(jìn)行的。所以在用隱函數(shù)的求導(dǎo)法之前，必須弄清兩個(gè)問題：1、在什么條件下，方程 可確定隱函數(shù) 。2、若隱函數(shù)存在，是否可導(dǎo)。,0F x y yf x第46頁/共66頁隱函數(shù)存在定理1 設(shè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 ，則 在這個(gè)鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 且,F x y00,xy00,0F xy00,0yFxy,0F x y yf xxyFdydxF 這就是一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。第47頁/共66頁

13、例1 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的一階與二階導(dǎo)數(shù)。2210 xy yf x隱函數(shù)存在定理2 設(shè) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 ，則 在這個(gè)鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 且, ,0F x y z 000,xyz000,0F x y z000,0yF x y z, ,0F x y z ,zf x yyzFzyF xzFzxF 第48頁/共66頁例2 設(shè) ，求22240 xyzz 22zx第49頁/共66頁一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程為 xtytzt其中t為參數(shù)切線方程： 000000 xxyyzzttt法平面： 0000000tx xty ytz zMN第50

14、頁/共66頁例1 求曲線 ， ， 在點(diǎn)（1，1，1）的切線及法平面方程。xt2yt3zt曲線L參數(shù)方程的特殊形式： yxzx xxyxzx第51頁/共66頁二、曲面的切平面與法線1、隱式的曲面方程 , ,0F x y z 設(shè) 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)且不同時(shí)為0，則在曲面 上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上，這個(gè)平面叫做點(diǎn)M的切平面。000,M x y z, ,0F x y z M通過點(diǎn)M垂直于切平面的直線叫曲面在M點(diǎn)的法線。第52頁/共66頁切平面：00000000,xyFxyzxxFxyzyy0000,0zFxyzzz法線：000000000000,xyzxxyyzzFxyzFxy

15、zFxyz第53頁/共66頁例2 求球面 在點(diǎn)（1，2，3） 的切平面及法線方程。例3 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)(1,2,4)的切平面及法線方程。22214xyz221zxy例4 求出曲線 ， ， 上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面 。xt2yt3zt24xyz例5 在曲線z=xy上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面 。390 xyz第54頁/共66頁1、定義 設(shè)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈。 ，若存在 ，對 ，有 ，則稱函數(shù)在點(diǎn) 有極大值。 ，則稱函數(shù)在點(diǎn) 有極小值。00,xyD00,U x yD00,ox yU xy00,f x yf xy00,f x yf xy00,xy00,xy一、多元函數(shù)的極

16、值及最值2、定理（必要條件） 二元函數(shù)Z=f(x,y)在點(diǎn) 可微分，且在點(diǎn) 處取得極值，則00,xy00,xy00,0 xfxy00,0yfxy多元函數(shù)的駐點(diǎn)：使所有偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為0的點(diǎn)。由定理可知：可微多元函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)。但是,駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。第55頁/共66頁(1)(2)(3)處有極小值在函數(shù))0 ,0(4322yxz處有極大值在函數(shù))0 ,0(22yxz處無極值在函數(shù))0 ,0(xyz 第56頁/共66頁3、二元函數(shù)極值判定定理 設(shè)z=f(x,y)在 內(nèi)有直到二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ， 記 則（1） 時(shí)有極值，A0時(shí)有極小值。 （2） 時(shí)無極值 （3） 時(shí)不確定是否存在極值。00,U

17、x y00,0 xfxy00,0yfxy00,xxfx yA00,xyfx yB00,yyfx yC20ACB20ACB20ACB第57頁/共66頁具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)z=f(x,y)求極值的步驟：第1步 解方程組 ， 即求出所有駐點(diǎn)；（實(shí)數(shù)）第2步 求A，B，C；第3步 定出 的符號。2ACB,0 xfx y ,0yfx y 例1 求函數(shù) 的極值。3322,339f x yxyxyx第58頁/共66頁4、最值一元函數(shù)，比較區(qū)間端點(diǎn)和駐點(diǎn)上的函數(shù)值最大的就是最大值，最小的就是最小值。二元函數(shù)，把區(qū)域D內(nèi)所有駐點(diǎn)和邊界上的點(diǎn)的函數(shù)值相比較，但是邊界上的點(diǎn)有很多，計(jì)算函數(shù)值再比較就非常麻煩

18、。例2 用鐵板做一個(gè)體積為2 的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取多少時(shí)，才能使用料最??？3m 實(shí)際上，我們遇到的問題中往往會給出一些特定的條件：函數(shù)的最值一定在區(qū)域D內(nèi)部取得，且在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就一定是最值。第59頁/共66頁二、條件極值 對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)，沒有其它條件了，稱為無條件極值。在實(shí)際問題中，往往會有對自變量的約束條件。例如 求表面積為 而體積最大的長方體的體積。象這種對自變量有約束條件的極值稱為條件極值。 2a 有時(shí)，可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，但有時(shí)轉(zhuǎn)化過程比較復(fù)雜，因此下面介紹一種直接求條件極值的方法拉格朗日乘數(shù)法。第60頁/共66頁拉格朗日乘數(shù)法求z=f(x,y)在約束條件 下的極值點(diǎn)。,0 x y設(shè)輔助函數(shù),F x yf x yx y00,0 xyFFx y00,0 xxyyffx y從中解出x，y， ，則(x,y)就是極值點(diǎn)。第61頁/共66頁例1 求表面積為 而體積最大的長方體的體積。2a解設(shè)長方體的三棱長為,zyx則問題就是在條件下0222),(2 axzyzxyzyx 求函數(shù))0, 0, 0( zyxxyzV的最大值。作拉格朗日函數(shù)),222(),(2axzyzxyxyzzyxL 求其對 的