多元函數(shù)微分學66372PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學66372 設空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導考慮當M M ，即t 0時zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，xyzOMM 其方程為 過曲線上tt0和tt0t對應的點M 和M，作曲線的割線M M ，第1頁/共17頁一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對應的點M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當M M ，即t 0時zzzyyy

2、xxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為第2頁/共17頁一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對應的點M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當M M ，即t 0時zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為第3頁/共17頁一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對

3、應的點M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當M M ，即t 0時zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為第4頁/共17頁一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導xyzOM)()()(000000tzztyytxxwy 得曲線在點M 處的切線方程為 過曲線上tt0和tt0t對應的點M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當M M ，即t 0時zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為第5頁/共17頁就是曲線在點M處的一個切向量曲線的切向

4、量： 切線的方向向量稱為曲線的切向量向量 通過點M而與切線垂直的平面稱為曲線在點M 處的法平面，法平面：xyzOM法平面方程為 (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0T(t0)，y (t0)，w (t0)T第6頁/共17頁 解 因為xt1，yt2t，zt3t 2 ，而點(1，1，1)所對應的參數(shù) t1， 所以 例1 求曲線xt，yt 2，zt 3在點(1，1，1)處的切線及法平面方程于是，切線方程為法平面方程為(x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6312111zyxT1，2，3第7頁/共17頁 提示: 曲線的參數(shù)方程為： xx，y(x)，zy(x) 切向量為討

5、論： 1若曲線的方程為y(x)，zy(x)問其切線和法平面方程是什么形式?1，(x0)，y(x0) 2若曲線的方程為F (x，y，z)0，G (x，y，z)0問其切線和法平面方程又是什么形式? 提示: 兩個方程確定了兩個隱函數(shù)：y(x)，zy(x)，切向量為dxdydxdz1， ， TT第8頁/共17頁 例2 求曲線x2y2z26，xyz0在點(1，2，1)處的切線及法平面方程 解 為求切向量將所給方程的兩邊對x求導數(shù)，得. 01, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxdxdydxdzdxdy)1 , 2, 1 ( dxdz)1 , 2, 1 ( 解得zyxz，zyyx10，所求切線

6、方程為法平面方程為 (x1)0(y2)(z1)0，即xz0110211zyxTdxdydxdz1， ， ，從而 1，0，1T第9頁/共17頁 設曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點 考慮F (t)，y(t)，w(t) =0兩邊在 tt0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點M 任意引一條曲線，其參數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) nTnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0

7、，y0，z0)，T與曲線的切向量 (t0)，y (t0)，w (t0)垂直第10頁/共17頁二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線 設曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點 考慮F (x，y，z)=0兩邊在 tt0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點M 任意引一條曲線，其參數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) nTnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)，T與曲

8、線的切向量 (t0)，y (t0)，w (t0)垂直第11頁/共17頁二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線 設曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點 考慮F (x，y，z)=0兩邊在 tt0的全導數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點M 任意引一條曲線，其參數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) nnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)，T與曲線的切向量 (t0)，y

9、 (t0)，w (t0)垂直T第12頁/共17頁 曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上這個平面稱為曲面在點M 的切平面這切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0)(xx0)Fy(x0，y0，z0)(yy0)Fz(x0，y0，z0)(zz0)0 通過點M (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線法線方程為曲面的切平面：曲面的法線： 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量在點M處的法向量為曲面的法向量：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyxn Fx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0) 第13頁/共17頁 例3 求球面x2y2z214在點(1，2，3)處的切平面方程及法線方程 解 F (x，y，z) x2y2z214，所求切平面方程為(x1)2(y2)3(z3)0，即x2y3z140法向量法線方程為332211zyxn2x，2y ，2z， |(1，2，3)2，4，6=21，2，3n第14頁/共17頁 若曲面方程為zf (x，y) ，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?討論：提示：此時F (x，y，z)f (x，y)z fx(x0，y0)，fy(x0，y0)，1n第15頁