向量及向量的基本運算

1、向量及向量的基本運算一、教學目標：1 理解向量的有關概念，掌握向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積及其運算法則，理解向量共線的充要條件2 會用向量的代數(shù)運算法則、 三角形法則、平行四邊形法則解決有關問題. 不 斷培養(yǎng)并深化用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的自覺意識二、教學重點：向量的概念和向量的加法和減法法則.三、教學過程：（一）主要知識：1）向量的有關概念 向量：既有大小又有方向的量。 向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（長度），記作|AB |。 零向量：長度為 0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行。 注意與0的

2、 區(qū)別 單位向量：模為1個單位長度的向量。 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相反向量：我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫做 a的相反向量。記作-a。 相等向量：長度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a = b。2）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設AB = a, BC = b，則a + b = AB BC = AC。向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。說明：（1） o，a=ao = a ；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；3）向量的減法 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向

3、量。記作-a,零向量的相反向量仍是零向量。 關于相反向量有：（i） -（_a） = a ; （ii） a+（ - a ）=（ - a）+a = 0 ;（iii）若a、b是互為相反向量，則 a = - b ,b = a ,a + b = 0。 向量減法：向量 a加上b的相反向量叫做 a與b的差，記作：a-b=a，（-b）。求 兩個向量差的運算，叫做向量的減法。a -b的作圖法：a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）。 注：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

4、（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。4）實數(shù)與向量的積實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作 入a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I) |訪=慣-a;(n)當.0時，入a的方向與a的方向相同；當 ：0時，入a的方向與a的方向相反；當=0時，/.a = 0，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。實數(shù)與向量的積的運算律：設入、卩為實數(shù),則 入(卩a )=(入口 ) a (入+卩)a = a +卩a 入(a + b)=入a +入b5) 兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線二 有且只

5、有一個實數(shù)，使得b= .a。6) 平面向量的基本定理如果0(2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 1, '2使：a - re ：A2e2其中不共線的向量 e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的組基底。7)特別注意：(1) 向量的加法與減法是互逆運算。(2) 相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。(3) 向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線 (重合)的情況。(4 )向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。(二) 主要方法：1 充分理解向量的概念和向量

6、的表示；2 數(shù)形結(jié)合的方法的應用；3. 用基底向量表示任一向量唯一性；4. 向量的特例0和單位向量，要考慮周全.(三) 例題分析：若a = b,則a = b(4)向量就是有向線段若 a=b, b=c，貝U a = c；(8)若四邊形 ABCD是平行四邊形，則例1、判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向單位向量都相等(5)兩相等向量若共起點，則終點也相同(7)若 a/b , b/c，貝U a/cAB 二 CD,BC 二 DA(9)已知A (3, 7), B (5, 2),將AB按向量a= ( 1, 2)平移后得到的向量 AB的坐標為(3, 3) （10） a = b的充要條件是| a | =

7、| b |且a / b ；解：（1）不正確，零向量方向任意，（2）不正確，說明模相等，還有方向（3）不正確，單位向量的模為 1,方向很多 不正確，有向線段是向量的一種表示形式（5）正確，（6）正確，向量相等有傳遞性（7）不正確，因若b =0，則不共線的向量 a,c7也有 a/O,O/c。（8）不正確，如圖 J二 A B=CD,BC = DA （ 9）不正確，a = （1, 2）,二平移公式是X，將A ( 3 , 7) , B ( 5, 2 )分別代入可求得y = y+ 2A (4,9), B (6,4)，故 A B = ( 6,4)-( 4,9) = (2, - 5)。（10）不正確，當a/b

8、，且方向相反時，即使|a|=|b|，也不能得到a=b ；點評正確理解向量的有關概念例2、如圖平行四邊形 ABCD的對角線 OD,AB相交于點C,線段BC上有BC=3BM, 線段 CD 上 有一點 N 滿 足 CD =0A 二 a,OB 二 b,試用a,b表示OM,ON,MN解： BM JbC3.OM =OB BM= -BA,61 '5.a b6 6BM = 1 BA =1 OA - OB = 1 a - b 6 61 CN CD, ON3D6= 4CD3= -OD31 一 1-a b MN =ON -OM Ja-丄b326ON 二 2 OD 二OA OB 二33點評根據(jù)向量的幾何加減法

9、則，能對圖形中的向量進行互相表示練習：ABC2中,A" 3AB，DE /bc 交 AC 于 E，ABC 邊上中線交 DE 于 N設AB = a，AC = b，用a,b分別表示向量 AE,BC,DE,DN, AM ,AN .如圖解： AE = 2 b,BC 二 b - a,DE = 2 b - a ,DN = 1 b - a333AM=b a,AN=b a23例3、一條漁船距對岸 4km，以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達 對岸時，船的實際航程為 8km，求河水的流速.解：設AB表示垂直于對岸的速度，BC表示水流速度，則AC為實際速度航行時間為4km 2km/h=2h在厶A

10、BC中AB=2 無=4 BS =2*3所以，河水的流速為2.、3km/h點評求合力或分力 三角形法則例4、在厶ABC中，,合速或分速問題用向量解是一種常見問題，要善于運用平行四邊形和D、E分別為AB、AC的中點，用向量的方法證明:DE平行且等于0.5BC一 1 分析:要證明DE平行且等于0.5BC,只要DE BC2解：如圖 DE = AE - AD, BC = Ac - AB又D,E為中點 1 . 1 .AD AB, AE AC2 2即 DE二AE_A5=1ACAB 二2 21所以DE平行且等于丄0.5BC2點評幾何問題可以轉(zhuǎn)化為向量問題的證明，往往會變的簡單明了C練習：已知G是厶ABC的重心

11、，求證： GA GB GC = 0證明：以向量GB,GC為鄰邊作平行四邊形 GBEC，則GB GC =GE =2GD，又由G為 ABC 的重心知 AG 二 2GD，從而 GA 二-2GD , /. GA GB GC 二-2GD 2GD 二 0。例5、設q ,e2是不共線的向量，已知向量AB二2q ke2 ,CB = q 3e2,CD = 2q - e2 ,若A,B,D三點共線，求k的值分析：使ABBD解: BD =CD -CB二號 _4e2 ,使 AB 二 BD 2號 ke2 二（號4e2）k - -8點評共線或平行問題，用向量或坐標平行的充要條件解決例3.經(jīng)過 OAB重心G的直線與OA,OB

12、分別交于點P , Q ,1 1設 OP 二 mOA, OQ = nOB , m, n R，求 的值。n m11寧 b）， PQe1 彳1 *PGSG-OP 飛® 3b，則OG由P,G,Q共線，得 存在實數(shù)，使得 PQPG，即 nb - ma = £- m)a £ b-m - ( m) 從而3n 二1 3(四) 鞏固練習：1.已知梯形ABCD中，T呻 彳AD = e2，用 e1|ab2|dc |, m,e2 表示 DC、BC、N分別是DC、AB的中點，若AB(2)(3)斗f t rt1rf1 tBC = BA AC = -AB AC = AD DC 'AB=

13、 ADAB= e2 e121e1 -e241MN = MD DA AN AB - AD AB 421 AB - AD4(1) 設兩個非零向量 eie2不共線，如果T T T T TAB = 2e-i 3e2, BC 二 6ei23e2,CD =4e1 -8e2 ,求證：A,B, D 三點共線(1)所以2 設 %A B2 1 e 2,k e 二 C 3B1二.BC = 6e, +23e2,CD = 4e, -8e2個啣不T共線的向量，已知2, e，(若 A,(B,DD三點共線，求ek的值證明：因為BCBD =10ei, 15e：又因為AB =2e 3e2T T得 BD =5AB即 BD / AB又因為公共點B所以A,B, D三點共線；,I