命題及其關(guān)系充分條件與必要條件知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、讀書之法，在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思高考明方向1. 理解命題的概念2. 了解“若p,則q”形式的命題的逆命題、 否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.3. 理解充分條件、必要條件與充要條件 的含義 備考知考情常用邏輯用語是新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn)之一，考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題目，命題的重點(diǎn)主要有兩個(gè)：一是命題及其四種形式，主要考查命題的四種形式及命題 的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系等為 背景考查充要條件的判斷，這也是歷年高考命題的重中之 重命題的熱點(diǎn)是利用關(guān)系或條件求解參數(shù)范圍問題，考 查考生的逆向思維一、知識(shí)梳理名師一號(hào)P4知識(shí)點(diǎn)一命題及四種命題1、

2、命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以 判斷真假 的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷 為假的語句叫假命題.注意：命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句 都不是命題。2.四種命題及其關(guān)系逆命題 若£則滬否命題逆否命題若初，則利互逆若磅則M互逆原命題若P、則；7互 否互 否四種命題間的相互關(guān)系.(2) 四種命題的真假關(guān)系 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;讀書之法在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性無關(guān)注意：（補(bǔ)充）1、一個(gè)命題不可能同時(shí)既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（=大于（）小于（）是否定詞語:不等

3、于（M）:不大于（W）:不小于（）不是原詞語都是至多有一個(gè)至多有n個(gè)或否定詞語不都是至少有兩個(gè)至少有n+1個(gè)且原詞語:至少有一個(gè):任意兩個(gè)所有的任意的否定詞語一個(gè)也沒有某兩個(gè)某些某個(gè)知識(shí)點(diǎn)二 充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（1）充分條件：p= q則p是q的充分條件即只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，亦即要使q成立，有p成立就足夠了，即 有它即可（2）必要條件：p= q則q是p的必要條件P= q= _q= _p即沒有q則沒有p，亦即q是p成立的必須要有的 條件，即無它不可。（補(bǔ)充）（3）充要條件p二q且q二p即p= q則p、q互為充要條件（既是充分又是必要條件）“ p是q的

4、充要條件”也說成“ p等價(jià)于q ”、“ q當(dāng)且僅當(dāng)p ”等（補(bǔ)充）2、充要關(guān)系的類型（1）充分但不必要條件定義：若p二 q，但q二 p，則p是q的充分但不必要條件；讀書之法，在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思(2) 必要但不充分條件定義:若q二 p，但p二 q ,則p是q的必要但不充分 條件(3) 充要條件定義：若p = q，且q = p，即p- q，則p、q互為充要條件；(4) 既不充分也不必要條件定義：若p二 q，且q二 p，則p、q互為既不充分也不必要 條件.3、判斷充要條件的方法：名師一號(hào)P6特色專題 定義法；集合法；逆否法(等價(jià)轉(zhuǎn)換法). 逆否法-利用互為逆否的兩個(gè)命題的等價(jià)性集合法-利用集合

5、的觀點(diǎn)概括充分必要條件若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的 形式出現(xiàn)，則借助集合知識(shí)，有助于充要條件的理解和判 斷.(1) 若A = B，則p是q的充分但不必要條件(2) 若B = A，貝u p是q的必要但不充分條件(3) 若A二B，則p是q的充要條件(4) 若 AB，且 A 二 B，則p是q的既不必要也不充分條件(補(bǔ)充)簡記作-若A、B具有包含關(guān)系，則(1) 小范圍是大范圍的充分但不必要條件(2) 大范圍是小范圍的必要但不充分條件二、例題分析(一)四種命題及其相互關(guān)系例1.(1) 名師一號(hào)P4 對點(diǎn)自測1 命題 若x, y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題 是()A 若x+y是偶

6、數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若x+ y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案 C例1.（2）名師一號(hào)P5高頻考點(diǎn) 例1 下列命題中正確的是（） 若aQ則abM 0的否命題； 正多邊形都相似”的逆命題； 若m>0,則x2 + x m= 0有實(shí)根”的逆否命題；1 若X 32是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題. A B. C D 解析： 中否命題為若a = 0,則ab= 0”正確； 中逆命題不正確； 中，= 1 + 4m,當(dāng)m>0時(shí)，A>0,原命題正確, 故其逆否命題正確； 中原命題正確故逆否命題正確. 答案 B注

7、意：名師一號(hào)P5高頻考點(diǎn) 例1規(guī)律方法 在判斷四個(gè)命題之間的關(guān)系時(shí)， 首先要分清命題的條件與結(jié)論， 再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個(gè)命題定為 原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時(shí)要進(jìn)行推理， 判定命題為假命題時(shí)只需舉出反例即可. 對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手.例1.（3）名師一號(hào)P4 對點(diǎn)自測2（2014陜西卷）原命題為 若zi,Z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|zi| 二|Z2| :關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷 依次如下，正確的是（）A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，

8、假解析 易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真,設(shè) zi= 3 + 4i, Z2= 4+ 3i,則有 |zi|= |z2|,但是Z1與Z2不是共軛復(fù)數(shù)，所以逆命題為假，同時(shí)否命題也為假.注意：名師一號(hào)P5問題探究 問題2四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律（1）逆命題與否命題互為逆否命題； 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假當(dāng)判斷一個(gè)命題的真假比較困難時(shí)， 可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假. 同時(shí)要關(guān)注 特例法”的應(yīng)用.例2.（補(bǔ)充）（2011山東文5）已知a, b, c R，命題 若a b c =3,則a2 +b2 +c2 > 3的否命題是（ ）（A）若 a+b+E3,貝U a2 +b2 +c2 <

9、3ooo（B）若 a+b+c=3，則 a b c <3*”（C）若 a+b+cz 3,貝U a2 b2 c2 > 3（D）若 a2 b2 c2 > 3，則 a+b+c=3【答案】A來【解析】命題 若p，則q ”的否命題是： 若p，則一q ”例2.（補(bǔ)充）命題： 若xy= 0,貝U x=0或y=0 ”的否定是：【答案】若xy =0，貝U x = 0且y = 0【解析】命題的否定只改變命題的結(jié)論。命題的否定與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷與證明例1.（1）（補(bǔ)充）（07湖北）已知p是r的充分條件而不是 必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的 必要條件?，F(xiàn)有下列命

10、題：s是q的充要條件；p是q 的充分條件而不是必要條件；r是q的必要條件而不是 充分條件；p是s的必要條件而不是充分條件；r是 s的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號(hào)是（）A. B. C. D. 讀書之法，在循序而漸進(jìn)與讀而精思答案：B1、利用定義判斷充要條件名師一號(hào)P6特色專題方法一定義法 定義法就是將充要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題 若p,則q”與若q,則p”的判斷，根據(jù)兩個(gè)命題是否正確，來確定 p與q之間的充要關(guān)系.p= q則p是q的充分條件；q是p的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號(hào)P6特色專題方法三等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)所給命題的充要條件不好判定時(shí)，可利用四種命題 的關(guān)系，對命題進(jìn)行等

11、價(jià)轉(zhuǎn)換.常利用原命題與逆命題的 真假來判斷p與q的關(guān)系.令p為命題的條件，q為命題 的結(jié)論，具體對應(yīng)關(guān)系如下： 如果原命題真而逆命題假，那么p是q的充分不必要條件； 如果原命題假而逆命題真，那么p是q的必要不充分條件； 如果原命題真且逆命題真，那么p是q的充要條件； 如果原命題假且逆命題假，那么p是q的既不充分也不必要條件.簡而言之,逆否法-利用互為逆否的兩個(gè)命題的等價(jià)性例1.（2）名師一號(hào)P6特色專題 例1 （2014北京卷）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.則q>1”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若q&g

12、t;1，則當(dāng)ai= 1時(shí)，an = q ， an為遞減數(shù)列， 所以q>i” ?“為遞增數(shù)列”；若an為遞增數(shù)列，則當(dāng)an= gr時(shí)，ai = ，q=<1， 即“為遞增數(shù)列”？ / q>1故選D.例1.（3）名師一號(hào)P6特色專題 例2（2014湖北卷）設(shè)U為全集.A，B是集合，則 存在讀書之法在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思集合C使得:，3匸？uC”是“AH匚©”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C .充要條件D.既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】 如圖可知，存在集合C,使A C, B ?uC，則有 APB = '.若 AAB= '，顯然存在集合 C

13、. 滿足A C, B ?uC.故選C.例1 名師一號(hào)P4 對點(diǎn)自測5已知 p： 4<k<0, q：函數(shù) y= kx2 kx 1 的值 恒為負(fù)，貝U p是q成立的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件2 2解析:4<k<0? k<0, = k + 4k<0，函數(shù) y = kx kx 1的值恒為負(fù)，但反之不一定有一4vk<0,如k= 0時(shí)， 函數(shù)y= kx2 kx 1的值恒為負(fù)，即p? q,而cP p. 可用定義或集合法3、利用集合法判斷充要條件名師一號(hào)P6特色專題方法二集合法涉及方程的解集、不等式的解集、點(diǎn)集等

14、與集合相關(guān) 的命題時(shí)，一般采用集合間的包含關(guān)系來判定兩命題之間 的充要性.具體對應(yīng)關(guān)系如下：若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的 形式出現(xiàn)，則借助集合知識(shí)，有助于充要條件的理解和判 斷.（1）若A = B，則p是q的充分但不必要條件（2）若B = A，貝u p是q的必要但不充分條件（3）若A二B，則p是q的充要條件（4）若 A B，且 A 二 B,則p是q的既不必要也不充分條件讀書之法，在循序而漸進(jìn)與讀而精思(補(bǔ)充)簡記作二若A、_ B具有包含關(guān)系,則(1) 小范圍是大范圍的充分但不必要條件(2) 大范圍是小范圍的必要但不充分條件例2名師一號(hào)P5高頻考點(diǎn) 例3lOg2X，X>0,

15、函數(shù)f(X)i v有且只有一個(gè)零點(diǎn)的2 a, x<0充分不必要條件是()1 1A. a<0或 a>1 B. 0<a<2 CvavlD. a<0Iog2x, x>0,解析：因?yàn)閒(X)i x有且只有一個(gè)零點(diǎn)2 a, x<0的充要條件為a<0或 a>1.由選項(xiàng)可知，使a<0或 a>1”成 立的充分條件為選項(xiàng)D.注意：名師一號(hào)P5高頻考點(diǎn) 例3規(guī)律方法 有關(guān)探求充要條件的選擇題，解題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項(xiàng)“推”題干，還是題干“推”選項(xiàng) ； 其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論.務(wù)必審清題，明確“誰是條件”！ 此題選項(xiàng)是條件！練

16、習(xí)：(補(bǔ)充)已知 p : x = 3 且 y二 2 , q : x y = 5，則 p 是 q 的 條件。答案：既不充分條件也不必要條件例3.名師一號(hào)P6特色專題例3已知命題p：關(guān)于x的方程4x2 2ax+ 2a+ 5 = 0的解集 至多有兩個(gè)子集，命題q： 1 mfCx< 1 m, m>0,若p是 -q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【規(guī)范解答】v -p是-q的必要不充分條件, p是q的充分不必要條件.對于命題p,依題意知= ( 2a)2 4 4(2a+ 5)= 4(a2 8a 20) < , 2< a< 1,讀書之法，在循序而漸進(jìn)與讀而精思令 P= a

17、| 2<a峯0, Q = x|1 mrcx< 1 m, m>0, 由題意知P = Q,jm>0,jm>0,1 mv 2, 或 1 m< 2,1 + m> 101 + m>10,解得9因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m>9. 注意：（補(bǔ)充）凡結(jié)合已知條件 求參數(shù)的取值范圍 是求滿足條件的等價(jià)條件即充要條件 練習(xí)：（補(bǔ)充）已知 p : -2 <x < 10;q:1 - m 乞 x 乞 1 m（m 0）若p是q的必要但不充分條件， 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：一 p是一 q的必要但不充分條件 即P=- q且q=- p等價(jià)于q= p p二q即 p

18、是q的充分但不必要條件令A(yù)='x 2蘭 xlOB='x1 m蘭 x蘭 1十 m(m> 0)1 -m -2則Au B即解得m色911十m -10所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是mm z 9(1 一 m 蘭 一 2注：A是B的真子集，須確保11 + m0中的等號(hào)不同時(shí)取得例4.（補(bǔ)充）求證：關(guān)于x的方程ax2 + 2x+1 = 0至少有一個(gè)負(fù)根的 充要條件是a< 1.證明：充分性：當(dāng)a= 0時(shí)，方程為2x+ 1 = 0的根為 1x=- 2方程有一個(gè)負(fù)根，符合題意.讀書之法在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思當(dāng) a<0 時(shí)，= 4 4a>0,方程 ax2+ 2x+ 1= 0 有兩個(gè)1不相等的實(shí)根，且a<o,方程有一正一負(fù)根，符合題意.a當(dāng) Ovawi時(shí)，= 4 4a>0-2<02a方程ax + 2x+ 1 = 0有實(shí)根，且，1>