2011天津市高等數(shù)學(xué)競賽真題答案經(jīng)管類

1、Page 1 of 9201 年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考解答經(jīng)管類)一.填空題(本題 15 分，每小題 3 分)：設(shè)f (x, y)是連續(xù)函數(shù),且f (x, y) xyDf (x, y) dxdy,其中D由 x 軸、y 軸以及1直線x y 1圍成,則f(x,y) xy12二.選擇題(本題 15 分，每小題 3 分)：圖中曲線段的方程為y f(x),函數(shù)f (x)在區(qū)間0, a上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則積分aoxf (x)dx表示(A)直角三角形 AOB 的面積，(B)直角三角形(C)曲邊三角形 AOB 的面積，(D)曲邊三角形答：(D)1.設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且limx01 cosx4,則lim

2、 1x 0e22.設(shè)f (x)2x23x 2ax b,若lim f (x)x3.In x dxexIn x C4.5.1.2.設(shè)f(x)(A)f (0)答：(A)設(shè)函數(shù)y(2 x)ln(1 x),則f (x)在x 0處2,(B)f (0)0,(C)f (0)2,(D)不可導(dǎo).f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程yesinx0.已知f (x0)0,則(A)f(x)在x0的某個鄰域中單調(diào)增加,(B)(C)f(x)在X。處取得極小值,答:(C)(D)yf (x)在x0的某個鄰域中單調(diào)增少,f (x)在X0處取得極大值.4.設(shè)在區(qū)間a,b上的函數(shù)f (x)0,且f (x)0, f (x) 0.令S-if

3、 (x)dx,3.In 4In 2x一6AOC 的面積,AOC 的面積.(x)Page 2 of 9S2f(b)(b a), S3-f(a) f(b)(b a),則22-(7 分)設(shè)函數(shù)f (x)在點x0處可微，求極限lim n cos f (x0) cosf(x0).nn解由導(dǎo)數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則22COSf(Xo-)COSf(Xo)lim n cosf (x0) cosf (x0)( 2) lim-nnn2n(2) cos f (x)x xo2sin f(x。)f (x。).(A)S1S2S3,(B)S33 S2,(C)S2SS3,(D)S2S3S5.設(shè)函數(shù)f(x, y)連續(xù),且0

4、dx1J1 x2x1f(x, y)dxa, b, c, d取值為(A)a,b2,csin1cos-,d 1;(B)a,b2,c1sincos,d 1；(C)a0,b2，csincos ,d 1;(D)a答：(B)0,b2,csincos ,d 1.bdd f (rcos , rsin ) rdr,貝Vac)上二階可導(dǎo)，且lim丄x 0(x)的導(dǎo)數(shù)，并討論(x)在x 0處的連續(xù)性.由已知的極限知四.(7 分)設(shè)函數(shù)f (x)在(0，記(x)1f (xt )dt，(0)f(0) 0, f (0)1f (0)dt00.0,從而有x 0時,(x)10f (xt)dt10f (xt)d(xt)0f (u

5、)duf(x)x從而有答：(C )Page 3 of 9因為f(x)x0,x 0 x 0.(x)Page 4 of 9(I)關(guān)于函數(shù)y f x填寫下表：單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極大值點極小值點曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線的拐點( ) 若 還 知 道yfx的 極 大 值 為 6 , 點2 , 2在 曲 線yfx上 ， 試 求 出yfx的表達式.lim (x)lim飲X0 x(0),所以,(x)在x 0處連續(xù).當x 0時，(x)xf (x) f(x)2x所以,0處，由(0)(0)0,有(x)(0)0 xlimxlimxf(x)x2limf (x)x 02x12f(0)(x)xf (x) f(x)f

6、 (0),0.xm(x)limx 0 x1rf (x) lim2x 0(x)在x 0處連續(xù).f(x)0 x22lim2x0f (x)limx 0 xf (x) f (0)xmf (x)2x(0) (0),是三次多項式，其圖像如Page 5 of 9解（I）單調(diào)增區(qū)間(-2,0 ) ,(2,)單調(diào)減區(qū)間(,2),(0,2)極大值點0極小值點-2, 2曲線向下凸區(qū)間（譽）,（誓）曲線向上凸區(qū)間/ 2爲2運、(-,- )33曲線的拐點（半f（爭），（半呼）得(n)設(shè)y3axbx2cx d,則由y(0)0, y ( 2)0,y (2) 0,d0, b0, c4a,故y3ax4ax,從而a4_ 2yx2

7、axm.4再由y(0)6, y(2)2,得a1, m6.1所以yx42x26.六. （7 分） 設(shè)函數(shù)y y （x）在（I）研究y（x）在區(qū)間（0,（n）求極限lim學(xué).x 0 x3解（I）當x 0時，有）上可導(dǎo)，且滿足）的單調(diào)性和曲線yyy （x）的凹凸性y(0)0.y故y（x）在區(qū)間（0,y y（x）在區(qū)間（0,（或當x 0時，可得2 2x y）單調(diào)增加.從而當x 0時,）向下凸0,x2y2也單調(diào)增加.可見,曲線2x 2yy可見，曲線y y（x）在區(qū)間（0,（n）由題設(shè)知，y（0）lim警X0 x32 2y 2x 2y(x y )向下凸.)0.y (0)0.應(yīng)用洛必達法則2 2x y3x2

8、1lim -3x03limx 02yx1 1y(0)3 3七.（7 分）設(shè)f（x）在0, 1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且0f (x) 1, f(0)0.試證f(x)dxf(x)3dx.Page 6 of 90,Page 7 of 9證令F(x)x30f(t) dt,則F(x)在0,1連續(xù),且對x (0, 1),F (x)x2f(x)0f(t)dtf(x)3xf(x) 20f (t)dtf2(x).,當x (0,1)時，f(x) 0.令g(x)x0f(t)dt2f (x),則g(x)在0,1上連續(xù),且g(x)2f (x)1f (x) 0,故有g(shù)(x)g(0) 0 x (0,1)因此F (x)0,x(0,1

9、),又由題設(shè)知(0,1),于是F(x)在0,1上單調(diào)增加,F(x)120f(t)dtF (0)0, x0,1.取x1,即得F(1)130f(t) dt0.所證結(jié)論成立.八.(7 分)(I)設(shè)函數(shù)f (x), g(x)在區(qū)間a, a上連續(xù)(a足條件0),g(x)為偶函數(shù),f(x)滿f(x)f ( x) c(c為常數(shù)).證明:aaf (x)g(x)dx c g(x)dx;a0u(x)(x)sin nx,其中n為正整數(shù)，(x)2x ,2x ,積分u(x) arccot exdx.af (x)g(x)dxa對于上式右邊的第一個積分0f(x)g(x)dxa所以af (x)g(x)dxa0f(x)g(x)

10、dxa,令xa0f(ac0g(x)dx0f(x)g(x)dxaa0f(x)g(x)dx.t,有t)g(t)dta0(c f(x)g(x)dx由于(arccot exarccot ex)a0f(x)g(x)dxa0f(x)g(x)dxxxee2 x2 x1 e 1 ea0g(x)dx.而當x 0時，arccot 1x 0,計算定arccot 1,因此，arccot exarccot ex2 20,Page 8 of 9Page 9 of 9容易驗證,U(x)是偶函數(shù)應(yīng)用(I)的結(jié)論22x)sin nxsin nxdx0 n2 0和1 COsn )和1(1門九.(7 分)設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a

11、, b上連續(xù),并且對任一x a, b,存在y a, b使得1f(y) |f(x)|.證明：存在a, b,使f( )0.2證法一 應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理,存在x1, x2a, b,使f(xj m min f (x) f (x2)M max f (x). wX a,b2x a,bv r1由題設(shè),對于x a, b,存在y a,b,使得f(y) | f (x) |0.可見M 0.2現(xiàn)在證明：f(xj m min f (x) 0.事實上，假如f(xj m 0,由題設(shè),存在x a,bxa, b,使1 1f(x) -| f (x1) 2 f(x1)仆花)此與“f(xd是f (x)在a, b上的最小值

12、”矛盾.綜上,得到結(jié)論:m 0 M.于是,應(yīng)用介值定理，存在 證法二 任取一個x0a,b,由題設(shè)存在x1a, b,使1f(xj - f(x。)2從而存在x2a, b,使1 1f(x2)2f(x1)2?f (x0).u(x) arccot exdx20(x2)sin nxdx-(x x2)cos nxn00(2x)cos nxdxa, b,使f( )0.1Page 10 of 9如此繼續(xù)下去，可得數(shù)列xna,b,使Page 11 of 9f(Xn)；f(X。)0 (n ).由于有界無窮數(shù)列xn必有一個收斂的子數(shù)列xnk,可設(shè)存在一個a, b,使kim Xnk由f (x)的連續(xù)性，f( ) lim

13、 f(xnk) 0.證畢.十.(7 分)設(shè)函數(shù)y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x)0.直線La是曲線y f(x)上任意一點(a, f (a)處的切線，其中a 0,1.記直線La與曲線y f (x)以及直線x 0, x 1所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V(a).試問a為何值時V(a)取得最小值.解 切線La的方程為yf (a)f (a)(x a),即y f (a)xaf (a)f(a).于是可見,V(a)在0,1連續(xù),在(0,1)可導(dǎo).令1aV(a) 2 1f (a) J (a)-f (a)(3a 2)0,2由于f (a)0, V(a)在(0,1)內(nèi)有唯一的駐點a -.322并

14、且，當a (0,-)時，V (a)0;當a (一,1)時，V (a)0,因此，V(a)在332a處取得最小值.3十一(7(7 分) )設(shè)(1 1)閉曲線 是由圓錐螺線OA:x cos , y變到2)和直線段AO構(gòu)成，其中0 0, 0, 0,A 2 ,0,2(2)閉曲線將其所在的圓錐面z x2y2劃分成兩部分,xOy面上的投影區(qū)域為D. .( (I ) )求D上以為曲頂?shù)那斨w的體積1V(a) 20 xf(x)f (a)x af (a) f (a)dx110 xf (x)dx - f (a)1(a)V(a)sin , z是其中的有界部分在Page 12 of 9( (n) )求曲面 的面積.

15、.解(I)在xOy面上的投影區(qū)域為D, ,在極坐標系下表示為Page 13 of 9Or ,0故所求曲頂柱體的體積為rxyn( Zx, Zy,1)(f22，J 22，1).Jxy Jxy故所求曲面 的面積SDz：z：1 dxdy. 2 dxdy2篤1的內(nèi)部，且圓與橢圓相切于兩點b2（即在這兩點處圓與橢圓都有公共切線）（I）求a與b滿足的等式；（n）求a與b的值，使橢圓的面積最小解（I） 根據(jù)條件可知，切點不在y軸上否則圓與橢圓只可能相切于一點設(shè)圓與橢圓 相切于點（x0,y0）,則（x0, y0）既滿足橢圓方程又滿足圓方程，且在（x0, y0）處橢圓的切線斜由（1）和（2）式,得.2 2ba2小22y02y0a 0.( (n) )r2dr所在的z - x2y2, ,曲面上任一點處向上的一個法向量為r dr0422202d十二.（7 分）設(shè)圓x222y含于橢圓率等于圓的切線斜率,即b2x0a2y。xy。222y。.21(1)ab2x2y。2y0b212a yy。1注意到人0,因此，點（x0, y0）應(yīng)滿足1y2dxdyPage 14 of 9bPage 15 of 9時，此橢圓的面積最小.由(3