灰色預測模型GM

1、灰色預測模型Giyn,i)§ i預備知識平面上有數(shù)據(jù)序列 設回歸直線為：n差平方和J = iyi i M的二元函數(shù)。由J=，2a i xI nj=、2 yi -aiXi -b L，b i ±奴i，Vi )(X2, V2廣，(Xn，Vn 9，大致分布在一條直線上y=aX+b ,要使所有點到直線的距離之和最小(最小二乘)，即使誤-aXi -b ) 最小。J是關丁 a, b yi -'ai Xi 'b Xi = 03.T =01- nZ (Xi V aXi2 bXi卜.y ai b =0則得使J取極小的必要條件為：=0n2A Xi . b' Xi - &#

2、39;i蘭a、 X nb = VxiYi*)n'、Xi yi L Xi Va =2XiU Xi2 - '、V、 x： _、 b =-C以上是我們熟悉的最小二乘計算過程。下面提一種觀點，上述算法，本質(zhì)上是用實際 觀測數(shù)據(jù)Xi、yi去表示a與b,使得誤差平方和J取最小值，即從近似方程2XiU X2Xi2XiViXiV2X2中形式上解出a與b。把上式寫成矩陣方程。ViXiV2X2Xn-Lb JiX1X2Xn則丫 = B左乘B T得注意到B B是二階方陣，且其行歹0式不為零，故其逆陣 (B B)存在，所以上式左乘1(btb )得(2)式完全相同，下面把兩種算法統(tǒng)=BT B 1一 BTY

3、可以具體驗算按最小二乘法求得的結(jié)果(1)與(2)T：由最小二乘得結(jié)果：方程(*)a、X* 2 b t Xi = Xi Via' Xinb = V方程組改寫為:V1X1令：BX2勾 Xi W Xi )廣 YV' a BV 、X1X2Xn& XinJ<111 ,V】V2V2c?二bt ba?=所以a? = b以后,只要數(shù)據(jù)列= 1,2L,n伏致成直線，既有近似表達式y(tǒng) i = ax i bi =1,2，n當令:>11V 2X21a,B =-<VnXn1Y，a =<b J則有Y = B£(2)BT y（2）式就是最小二乘結(jié)果，即按最小二乘法求

4、出的回歸直線y=ax+b的回歸系數(shù)a與bo推廣：多元線性回歸設有m個變量xi,x2，xm ,每個自變量有n個值，因變量y有n個值如n個人,女生:1y1 =a + "1 +/21+ +bmxm12y2 = a * b1 x12 + b2 x22七、+bmxm2：J-nJn =a +bx1n + b2x2n+bmxmn、有m個指標。k x1 (體重)x2 （胸圍）x3 （呼吸差）yk（肺活量）X- 公斤厘米厘米1x11 =35x21 =69x31 =0.716002x12 =40x22 =74x32 =2.526003x13 =40x23 =64x33 =2.021004x14 =42x

5、24 =74x34 =326505x15 =37x25 =72x35 =10124006x16 =45x26 =68x36 =10522007x17 =43x27 =78x37 =40327508x18 =37x28 =66x38 =216009x9 =44x29 =70x 39 =302275010x10 =42x20 =65x30 =32500(1)方程組（1）是n個方程m個數(shù)據(jù)xnx12xm1X12x 22xm2b1b2x1nx2nxmnqbm用X表示增廣矩陣:n 行，m+1b2aTT,X Y = X Xab,t?,t?; JX JY =XJb1bm其中X T X為（m +1卜何+1 ）

6、階矩陣。 由此可解出:a, b1, b2,bm意思是:如果線性關系成立注意:方程組中a, b1 , b2,，bm不知,y = a bx b?x2 , bmxm當a, b1 , b2，bm為多少時,y i到a +b1x1 +b2x2 + bm xm的距離之和為最小?；蛘f，當所有yi到(a +b1x1 +b2x2 +bm xm )距離之和為最小時的a,b1,b2,，bm就是 我們要求的最佳系數(shù)。§ 2 GM模型前言為什么要講GM1,1)模型？80年代初，華中理工大學鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論，先后發(fā)表過灰色控制、灰 色預測、灰色決策、灰色系統(tǒng)理論等多部專著，較詳細在闡述了灰色系統(tǒng)理論的

7、產(chǎn)生、理 論、方法與應用。在80年代中后期到90年代初，舉行了十數(shù)次國際、國內(nèi)有關灰色系統(tǒng) 理論的研討會，在全國形成一股灰色系統(tǒng)理論研究與應用熱潮。鄧聚龍先生因灰色系統(tǒng)理 論方面的供獻，獲得國家科技進步一等獎。什么叫灰？用鄧先生自己的話來講：“完全已知的系統(tǒng)稱作白系統(tǒng)；完全未知的系統(tǒng)稱作 黑系統(tǒng)或黑箱；部分已知、部分未知的系統(tǒng)稱作灰色系統(tǒng)?！痹诖?，已知或未知到什么程度沒有具體說明。所以，“灰”的內(nèi)涵不是很活楚。舉個例子講，已知某量的真值 x在閉 區(qū)問a, b上，不可能落在a, b之外，但具體落到區(qū)間a, b的什么位置則是完全不知 道的。那么，這個量稱作灰量，可具體表示為 a, b,稱其為區(qū)間灰

8、數(shù)。顯然，區(qū)間灰數(shù) 是客觀實際中存在的，除了知道真值 x在a, b上，而術在a, bZ外，不再有任何已知 信息，這就是灰量的最基本原型。由丁灰色系統(tǒng)理論從一開始就沒有建立在嚴格的集合論基礎之上，使之缺乏必要的數(shù) 學支撐，這大大限制了灰色系統(tǒng)理論和應用的發(fā)展。雖然灰色系統(tǒng)理論在控制、預測、決 策等領域有著廣泛的應用；但就其精華而言,還在丁GM(1,1)模型。即便是現(xiàn)在，在特定情況下，GM(1, 1)還有用，還在被應用，并且預測效果很好。其使用限制條件是：原始數(shù) 據(jù)單調(diào)，預測背景呈現(xiàn)穩(wěn)定發(fā)展趨勢；其優(yōu)勢是：適用丁原始觀測數(shù)據(jù)較少的預測問題， 由丁數(shù)據(jù)量很小，無法應用概率統(tǒng)計方法尋找統(tǒng)計規(guī)律，而GM

9、(1, 1)模型恰恰彌補了這個空白，由丁 GM(1, 1)算法簡單易行，預測精度相對較高，所以在一些特定問題中，GM(1, 1) 仍然是決策者樂丁選擇的預測模型。上面講到的背景穩(wěn)定的發(fā)展趨勢是指下述情況：如化工設備的腐蝕量，隨著使用時間 的推移腐蝕不斷增加，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的發(fā)展趨勢，并且腐蝕量的測量通常比較困難(如停產(chǎn)才能測量)，所以實際觀測數(shù)據(jù)較少。這類問題很適合 GM(1, 1)模型預測。§ 3 GM1, 1)預備知識3.1回憶一階線性常系數(shù)微分方程dx ax = u dt其解為:u 頊 ux(0) -一 e -a其中a, u為給定的常數(shù)3.2在預備知識中，講述了最小二乘法：若數(shù)據(jù)點

10、（Xi, y） i =1,2，n近似落在一條直線上，設這條直線為y= ax+b, a, b為參數(shù)。理想的直線要求：每個數(shù)據(jù)點（xi5 yi） i =1,2，n ,到該直線的距離平方和最小即最小二乘。用最小二乘法求出參數(shù) a與b,這相當丁形式上的解線性方程組：yi = axi b i =1,2, , n當令%、父1、Vzx21，a'y =-，B =aa，a =lb Jn 1J則（3）化為Y = B9 , BTY =（BT B 罪_T J T,、. £ =（B B ） B Y（4）由此求出a'=3 ,可得回歸直線<b Jy = ax + b（5）上述形式上的求解結(jié)果

11、，本質(zhì)上是用最小二乘法求解回歸參數(shù)的過程，故有下面結(jié)論。結(jié)論：一組數(shù)據(jù)點（n個），且近似線性關系y i : ax i b則下述表達式可求出回歸系數(shù)a與boP勺/ 、a丁-1t=(Bt B ) BtY : B =x21,Y =)2a3<xnbOn上述形式上的計算，本質(zhì)是使點(Xi, yi)到直線y= ax+ b的距離平方和最小，即是最小 二乘法得來的結(jié)果。§ 4GM1 , 1)模型G表小Grey(灰),M表小Model。莫型)，前一個“ 1”表小一階，后一個“1”表小一個 變量，GM(1, 1)則是一階，一個變量的微分方程模型。給定等時間間隔的數(shù)據(jù)列，且設數(shù)據(jù)列單調(diào)：k, x(k

12、) = (1,X1), (2, X2) (n,Xn)k表示時刻，x(k)=Xk表示t= k時刻某量的觀測值，不妨設Xk < Xy , k=1,2L,n-1, 將數(shù)據(jù)列記成：(0)/ 0000 ;X = X1, X2, X3 Xn /xU . atX (1)ea表示原始數(shù)據(jù)序列。比如:x(0) = 2.874 , 3.278 , 3.337 , 3.390 , 3.697 。對原始數(shù)據(jù)作一次累加生成：即令x" =£ x；0)(k =1,2，n)i注得一次累加生成數(shù)序列為：(1)/ (1)(1)(1);x = X , X2 , Xn ,在此，乂1)'=2.874,

13、 6.152, 9.489, 12.879, 16.558給定的原始數(shù)據(jù)序列«件已經(jīng)是單增序列，經(jīng)一次累加后生成的累加數(shù)序列具有更強 烈的單調(diào)性。我們知道指數(shù)序列是單調(diào)的，但是，單調(diào)序列卻不一定是指數(shù)型的，不過強 烈的單調(diào)序列可近似看做是指數(shù)的，即可用指數(shù)型曲線進行彌合。如果用指數(shù)曲線來彌合 一次累加生成序列，那么，這條指數(shù)曲線一定是某個一階線性常系數(shù)微分方程.(6)dx ax = udt的滿足某個初始條件的一條積分曲線:(1)XX(1)(1)u_atx (1) 一一 e a其中a, u是待確定的未知參數(shù)，該微分方程中的導數(shù).(1)J可用差商近似表示。dt(1)(1)(1)dxx k

14、 ： _t "jx k=lim dtJ0.: tAt為時間間隔，將時間間隔At看做是單位時間間隔，并且認為時間被充分細化 (秒, 毫秒。微秒,，事實上只要單位時間內(nèi)函數(shù)的增量相對很小，這個單位時間間隔也可以是日，月，年等。)此時有.-x(1) k - 1 -x(1) kdt注意到一次累加生成數(shù)x(t)在時刻t= k+1與t= k時的差為:x k - 1 - x k )=x(0) k - 1而竺 是在k, k+1上某一點取值，既然是近似，索性將 虹的值取在點k+1,即 dtdt.(1)dx: x k 1 -x(1) k =x(0) k 1dt tn丁是，一階線性常系數(shù)微分方程.(1)d

15、x(1) ax = udt可近似化為:x(0) k - 1 - ax(1) t :- u k 三t £k . 1注意到函數(shù)x(t)在區(qū)間k, k+1上取值，當以中值近似時有：x(1) t x(1) k l x(1) k -1 i2則微分方程近似轉(zhuǎn)化為：x(0) k 1 :. a x(1) k - x(1) k 1- u這是一個關丁參數(shù)a與u的線性近似表達式。與數(shù)據(jù)點(xi, y )近似滿足y i : ax i b比較知，按最小二乘原理，線性回歸系數(shù) a, b滿足:其中B(1)1x2-1 x(1)2 x具體到上面給定的數(shù)據(jù)且用Xn= ：BTB 1 B替代Yn ,則上式化作:稻2)、&l

16、t;xHn V-1”)")21 /(1). j (1)j -(x2 十x 3 )2-(x (n 一1 )+ x(n )< 2一 4.5131-7.820-11 .184,-14 .71851 氣1(03.278X Nx(0t3)3.33733.390(°b >(3.679111b由此看出，若原始數(shù)據(jù)有n個，則一次累加生成的數(shù)據(jù)有 n1個1計算B B4.5131、TJ 4.513-7.82-11.184-14 .7185 )-7.8201B B =!< 1111 J-11 .184114 .7181>/曰btb423 .243-38.236.T%013

17、417340.16553652=，(B B )=38.2364165536521.03296/曰N侍計算bt,T 工 T-0.03720(B B ) B X n = p.06536即 a= - 0.03720, u=3.06536這樣，所求的微分方程模型為:(1)(10)dx(1)0.03720 x =3.06536dt其解為：x(1) k = x(0) 1圣e目凹- a a即解可表示為：x(1)(k +1 )=85.2665 e°'0372 k _ 82 .392535( 11)(11)式就是最后得到的預測模型，該模型稱作GM(1,1)預測模型。由(11)式可求x(1)(6

18、),即為t = 6時的預測值，也可求x(7) , x(1)(8)等等。即用觀測值x(蟲檢驗由模型(11)算出的模型值N)。§ 5精度檢驗對丁任何預測模型，都要對模型的預測結(jié)果進行精度檢驗。GM(1, 1)有三種精度檢驗方式。1. 殘差檢驗；2. 關聯(lián)度檢驗(略)；3. 后驗差檢驗。殘差檢驗方法：1、 由預測模型計算x?(1)(k)k= 2,3,4,52、設實際數(shù)據(jù)為x(1) (k) k= 2,3,4,5注意到，模型是對一次累加數(shù)求的預測值，故還應該將一次累加的模型值演(k)還原成要求的數(shù)據(jù)。將模型計算數(shù)據(jù)？(1)(k)和實際數(shù)據(jù)x(1)(k)還原得(0) (1) (1) (1)? (

19、k) =xr (k) - ? (k -1) x (k) , k=2,3,4,5q(k) =實際值-模型值,誤差，相對誤差3、計算殘差實際值-模型值 e k 實際值若max |e(k)£則認為預測模型good, 8為相對誤差限是決策者按精度需求預先確定 k的閾值。后驗差檢驗方法后驗差檢驗是一種常用的基丁概率統(tǒng)計的基本檢驗方法。它以預測誤差8為基礎，根據(jù)31的大小，考察預測誤差較小的點出現(xiàn)的概率，以及與預測誤差的方差有關指標的大 小。第i級預測誤差耳被定義為:其中mi為第i種觀測數(shù)據(jù)，0為第i級預測值后驗差檢驗所依據(jù)的數(shù)據(jù)有：(1).觀測數(shù)據(jù)均值而與均方差&(標準差)1 N1 N2m = £ mk , Si = JS (mk -mk )(1)N j. N ka其中N為觀測數(shù)據(jù)的個數(shù)。(2).預測誤差均值£與預測誤差的均方差& (標準差)& = £ &k , S2 =(&k 一虧)(2)n n j其中n為預測數(shù)據(jù)的個數(shù)，一般n<N。(3).后驗差比值C與小誤差頻率P定義為:C=里，p=P*k 一公 <0.6745 S1 S1對丁外推性好的預測來說，比值C必須小。因為C小說明S2小S1大，即預測誤差離散 性小，而觀測數(shù)據(jù)擺動幅值大即原始數(shù)據(jù)規(guī)律性差，而預測數(shù)據(jù)規(guī)律性較好。因此，一個 好的預測要求在