幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用

1、幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用許生虎（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070 ）摘 要：在對(duì)數(shù)學(xué)命題的觀察和分析基礎(chǔ)上給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法， 舉例說明了尋求輔助函數(shù)的幾種方法及在解題中的作用。關(guān)鍵詞： 輔助函數(shù) 弧弦差法 原函數(shù)法 幾何直觀法 微分方程法1. 引言在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點(diǎn)，通過逆向分析、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本概念和原理，經(jīng)過深入思考、縝密的觀察和廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造出一個(gè)與問題有關(guān)的輔助函數(shù)， 通過對(duì)函數(shù)特征的考查達(dá)到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構(gòu)造輔助函數(shù)法。構(gòu)造函數(shù)方法在許多命題證明中的應(yīng)用，使問題得以解決，如在微分中值定理、泰勒公式、中值點(diǎn)存在性、

2、不等式等證明。但構(gòu)造輔助函數(shù)方法的內(nèi)涵十分豐富沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸思想。但如何通過構(gòu)造，構(gòu)造怎樣的輔助函數(shù)給出命題的證明，是很難理解的問題之一，本文通過一些典型例題歸納、分析和總結(jié)常見的構(gòu)造輔助函數(shù)方法及應(yīng)用。2. 構(gòu)造輔助函數(shù)的七中方法2.1 “逆向思維法 ”1例 1： 設(shè) f x 在 0,1上可微，且滿足f 1 2 2 xf x dx ，證明在 0,1 內(nèi)至0少有一點(diǎn) ，使 ff.證明 : 由所證明的結(jié)論出發(fā) , 結(jié)合已知條件 , 探尋恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù) .將 fff0 , 聯(lián)想到 xf x xff,變?yōu)?f可考慮輔助函數(shù)F

3、 xxf x , x0,1 .因?yàn)?f 1f,而對(duì)于 F x , 有 Ff, F 1f 1 .精選文庫所以, FF 1 , 由羅爾定理知 , 至少存在一點(diǎn),1 ,使得F0即: ff.證畢2.2原函數(shù)法在微分中值定理 ( 尤其是羅爾定理 ) 求解介值 ( 或零點(diǎn) ) 問題時(shí)要證明的結(jié)論往往是某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn) , 因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù) , 用此法構(gòu)造輔助函數(shù)的具體步驟如下 :(1) 將要證的結(jié)論中的 (或 x0 )換 x;(2) 通過恒等變換 , 將結(jié)論化為易積分 ( 或易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào) ) 的形式 ;(3) 用觀察法或湊微分法求出原函數(shù) ( 必要時(shí)可在等式兩端同乘以非

4、零的積分因子 ), 為簡(jiǎn)便起見 , 可將積分常數(shù)取為零 ;(4) 移項(xiàng) , 將等式一邊為零 , 則等式的另一邊為所求的輔助函數(shù) .例 2:設(shè)f x 在 a, b 上連續(xù)，在a, b 內(nèi)可導(dǎo)，其中 a0, 且 f a 0,證明：a, b ,fbfab分析 :ffab x令xfxxfafxafxbx積分lnf xa ln b xln cbx afxc可令 F xbx a fx證明 : 作輔助函數(shù)Fxbx a fxF x 在 a, b 上連續(xù)，在 a, b 內(nèi)可導(dǎo)，又F aba a f a0(f a0)-2精選文庫F bbb a f b0故F x 在 a,b 上滿足羅爾定理的條件于是，a,b ，使

5、F0即： a ba 1 fbf0亦即：bffa證畢2.3 設(shè)置變量法當(dāng)結(jié)論中含兩個(gè)中值, 時(shí)，我們常常聯(lián)想到應(yīng)用拉格朗日定理柯西定理的證明，這是可用設(shè)置變量法作輔助函數(shù)F x。即：將結(jié)論中的或 看作變量，作恒等變形后與中值定理的公式相對(duì)照，即可看出輔助函數(shù)的結(jié)構(gòu)。例 3：設(shè)函數(shù) f x , g x在 a,b 上連續(xù)，且 g bg a 1, 在 a,b內(nèi) f x , g x 可導(dǎo) ,且g xgx0, fx0 .試證明 :,a, b ,feggfe分析 : 欲證等式ffegge將和均看作變量 ,則上式寫成ffe ge輔助函數(shù)可?。? x)ex g(x)( x)ex證明： 令( x)exg( x),

6、 則由題設(shè)可知f ( x), g( x)在 a, b 上滿足柯西中值定理，于是，(a, b), 使得f (b)f (a)f ( )eb g (b)ea g(a)e g( )g ( )因?yàn)?g (a) g(b) 1所以，f (b)f (a)f( )(1)ebeae g ( )g ( )-3精選文庫再令 ( x)ex , 則 f ( x),( x)在a, b 上滿足柯西中值定理， 于是，(a, b), 使得f (b)f (a)f( )ebea( 2)e由（ 1），（2）得f( )=f ( )g (ee g()f ( )e g( )g ( )f ( )ey2.4 幾何直觀法對(duì)于某些證明題可以先從結(jié)論

7、的幾何意義進(jìn)行分析， 作為符合已知定義、 定理的輔助曲線，再利用解析幾何知識(shí)列出輔助曲線方程進(jìn)而找出證明題所需要的輔助函數(shù)，打開證明思路。例 4 設(shè)函數(shù) f (x) 在 0, ) 內(nèi)可導(dǎo)， f ( x)嚴(yán)格遞增， f (0) 0. 試證明：在 (0, )內(nèi) xf ( x) f (x) 0.分析：由 f (x)嚴(yán)格遞增 知， f ( x) 是下凸函數(shù) .由圖 1 知：x1 0,)有 f ( x)( x)即：f (x)f ( x1 )f ( x1 )( xx1 )(1)即：切線總在曲線的下方（幾何意義）.由圖 2 知： 由k1和 k2 分別表示 l1和 l 2的斜率 .則 k2k 1.即：x1 x

8、20,f x1f x0f x2f x0,x0x2x0x1證明：方法一：有分析及（1）知取 x0, x1 x 時(shí) f 0f xf x 0 x-4精選文庫即：fxxfxf00xfxfx .方法二：由（ 2）知，令 x00 ，則 (2)式變?yōu)閒 ( x1 )f (0)f ( x2 )f (0)x1x20,x10x20f (x1)f ( x2 )(x1x2 )x1x2再次引進(jìn)輔助函數(shù)，F(xiàn)xfxx0,),x則 F ( x) 遞增，F(xiàn) (x)0.即：xfxfx0xfxf x0x22.5 微分方程法所 謂 “ 微 分 方 程 法 ” 是 指 遇 到 諸 如 “ 求 證 存 在(a, b) ， 使 得f (

9、)， f ( ) ”之類的問題時(shí)，可先解微分方程G ( x, y)c，則可構(gòu)造輔助函數(shù) F (x) G( x, y).例 5設(shè) f (x) 在 a, b上連續(xù),在f ( x)0, x(a, b), 若 f (a) f (b)0,y (x, y) ，得其通解：(a, b)內(nèi)可導(dǎo),且證明：對(duì) k R,(a, b), 使f ( x)k .f ( x)分析：將結(jié)論中的換成 x ，得可分離變量的微分方程：f (x)k ，f (x)即dyykdx.其通解為 f (x)cekx ，即： e kx f ( x)c于是可是輔助函數(shù)為F xfx e kx則 F (x)在 a, b上連續(xù)，再 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且

10、 F (a)F (b)0.-5精選文庫由 Rolle 定理知，至少存在一點(diǎn)(a, b), 使得F () 0即：f ()f (k.)2.6 常數(shù) k 值法此法適用于從結(jié)論中可分離出常數(shù)部分的命題，構(gòu)造出輔助函數(shù)F ( x) 的具體步驟如下：（1） 從結(jié)論中分離出常數(shù)部分，將它令為k；（2） 做恒等變化，是等式（或不等式）一端為a 及 f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為 b 和 f(b) 構(gòu)成的代數(shù)式；（3） 分析端點(diǎn) a,b 的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換式。若是將端點(diǎn)改為x，相應(yīng)的函數(shù)值 f(a)(或 f(b) 改為 f(x) ，則關(guān)于 x,f(x) 的表達(dá)式即為索求的輔助函數(shù) F(x).例 6： 設(shè)

11、 ba0,f ( x)在 a, b上連續(xù)，在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：( a, b), 使得af (b)bf (a)2ab baf ( )f () .分析：分離 a,b 與 ，則待證式afbbfaffab b a2則上式的左端顯然是關(guān)于a,b 的對(duì)稱式 .令其為 k,得af (b)bf (a) kab(ba)af (b)kab2bf ( a)ka2 bf (b)kb2f (a)ka2ba于是，可令 F ( x)f (x)kx 2f (x)xkxx證明：作輔助函數(shù)F ( x)f ( x)kx（其中 kaf (b)bf (a) ）xab(ba)由題設(shè)條件可知 F (x)在 a, b上連續(xù)，在 (

12、a, b)內(nèi)可導(dǎo)，并且f (b)f ( a)F (b)F (a)kbkaba-6精選文庫f (b)f (a)(b a)kbaf (b)f (a)af (b)bf ( a) (b a)baab(ba)0可見,F ( x)在 a, b上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，(a, b), 使得 F ( ) 0于是 ,af (b)bf ( a)f ( )f ()即ab(ba)2.亦即()bf() 2(b)f( )f( )af baaba2.7 弧弦差法利用弧弦差來構(gòu)造輔助函數(shù)，稱為弧弦差構(gòu)造函數(shù)法。微分中值定理的相關(guān)證明就采用種方法 2 ，現(xiàn)以拉格朗日中值定理為例： (原定理敘述略 )題 7： f ( x)在 a,

13、 b上連續(xù)，在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，有向線段 NM 是 x 的函數(shù)，設(shè)直線AB 的方程為 y L( x).f (b) f (a) (則L( x) f (a)x)ab a由于點(diǎn) M , N 的縱坐標(biāo)分別為 f ( x), L (x).有向線段 MN 的重?cái)?shù)( x)f ( x)L ( x)f (x)f (a)f (b)f (a) ( xa)ba在 xa及 x b處點(diǎn) M 與點(diǎn) N 重合，即 MN0, 也就是 (a)(b) 0則 (x)滿足 Rolle 定理?xiàng)l件，故有(a, b),( )0,于是就有拉格朗日中值定理的結(jié)論f (b)f ( a),(a, b)f ( )ab-7精選文庫參考文獻(xiàn)：1 華東

14、師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 M. 北京：高等教育出版社， 2001.2 楊根學(xué) .待證結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)法 J. 天水師院學(xué)報(bào)， 2001 ，（ 5 ）： 55-563 裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 M. 高等教育出版社， 1986.4 王德利 .證題中引進(jìn)輔助函數(shù)的幾種方法J. 江漢大學(xué)學(xué)報(bào)，1995 ，（ 3 ）： 565 尹必華 .運(yùn)用中值定理證題時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的三種方法J. 自然科學(xué)報(bào) .2002 ：（ 6 ）29 31Several Methods for Constructing the AuxiliaryFunction and their ApplicationsXu Shenghu(Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070 )Abstract:On thebasisof studyingand analyzingmathematical,somemethods about construction of auxiliary are proposed. By thepropertyof thefunction s graphand me