初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(21)

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（21）比較大小甲內(nèi)容提要1 比較兩個(gè)代數(shù)式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進(jìn)行討論，常用求差法。根據(jù)不等式的性質(zhì)：當(dāng) a b 0 時(shí)， a b；當(dāng) ab 0 時(shí)， a=b；當(dāng) a b 0 時(shí) a b。2 通常在寫(xiě)成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號(hào)。3 需要討論的可借助數(shù)軸，按零點(diǎn)分區(qū)。4 實(shí)數(shù)（有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)）的平方是非負(fù)數(shù)，在決定符號(hào)時(shí)常用到2它。即若a 是實(shí)數(shù)，則a 0，由此而推出一系列絕對(duì)不等式（字母不(ab) 2 0，a2+1 0，a2+a+1=(a+1)2+3 024 a2 0，（ a2+a+2） 0當(dāng) a b 時(shí)，（

2、a b） 2 0乙例題例 1 試比較 a3 與 a 的大小解： a3 a=a(a+1)(a 1)a3 a=0,即 a3=a以 1， 0，1 三個(gè)零點(diǎn)把全體實(shí)數(shù)分為4 個(gè)區(qū)間，由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號(hào)：當(dāng) a 1 時(shí)， a+1 0,a 0,a 1 0（ 3 個(gè)負(fù)因數(shù)） a3 a 0即 a3 a當(dāng) 1 a0 時(shí)a0,a 1 0（2 個(gè)負(fù)因數(shù)） a3a 0即 a3 a當(dāng) 0 a 1 時(shí)，a1 0（ 1 個(gè)負(fù)因數(shù)） a3 a0即 a3 a當(dāng) a 1 時(shí)，沒(méi)有負(fù)因數(shù)，a3 a 0即 a3 a綜上所述當(dāng) a=0, 1， 1 時(shí)， a3=a當(dāng) a 1 或 0 a 1 時(shí)， a3 a當(dāng) 1 a 0 或 a 1

3、 時(shí)， a3 a。（試總結(jié)符號(hào)規(guī)律）例 2 什么數(shù)比它的倒數(shù)大？解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則當(dāng)并且只當(dāng) x 1 0 時(shí)， x 比它的倒數(shù)大，xx 1 x21 ( x 1)( x 1) 101xxx以三個(gè)零點(diǎn) 1， 0，1 把實(shí)數(shù)分為 4 個(gè)區(qū)間，由例 1 可知當(dāng) x 1 或 1 x0 時(shí)， x 比它的倒數(shù)大。例 3 己知步行的速度是騎車(chē)速度的一半，自行車(chē)速度是汽車(chē)速度的一半，甲、乙兩人同時(shí)從 A 去 B ，甲乘汽車(chē)到中點(diǎn)，后一半用歩行，乙全程騎自行車(chē)，問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)？解：設(shè)從A 到 B 有 x 千米，步行速度每小時(shí)y 千米，那么甲、乙走完全程xx5xx所用時(shí)間分別是t 甲 22，t 乙4yy8 y4 y5

4、xx3x x 0， y 0 t 甲 t 乙 0t 甲 t 乙4 y8 y8y答：乙先到達(dá)B 地例 4 己知 a b c，求證： a2+b2+c2 ab+bc+ca222 ab+bc+ca1222 ab+bc+ca）證明： a+b +c2× 2（a+b +c 1 （2a2+2b 2+2c2 2ab+2bc+2ca）2 1 （ a-b） 2+(b-c) 2+(c-a)2 2 a b c，（ a-b） 2 0， (b-c)2 0， (c-a) 2 0 a2+b 2+c2 ab+bc+ca又證： a b，（ a-b） 2 0a2+b2 2ab(1)同理 b2+c 2 2bc(2)c2+a2&

5、gt;2ca(3)(1)+(2)+( 3) 得 2a2+2b 2+2c2 2ab+2bc+2ca即 a2 +b2 +c2ab+bc+ca例 5 比較 3（ 1 a2+a4）與 (1+a+a2)2 的大小解： 3（ 1a2+a4） (1+a+a2)23（ 1 a+a2） 2-2a-2a2-2a3 (1+a+a2)2 2(1+a+a2)2 6a(1 a+a2)2222=2(1 a+a )( 1 a+a -3a)=2(1 a+a )(1-a) 1 a+a2（ 1a) 23 0，(1-a)2 024當(dāng) a=1 時(shí)， 3（ 1a2 +a4） (1+a+a2)2當(dāng) a 1 時(shí)， 3（ 1a2+a4） (1

6、+a+a2) 2例 6 解方程2x 1 x 24解：以 0.5,和 2 兩個(gè)零點(diǎn)分為3 個(gè)區(qū)間當(dāng) x<-0.5 時(shí)， (2x+1) (x-2)=4,解得 x= 1當(dāng) 0.5 x<2 時(shí)，（ 2x+1 ）（ x-2 ） =4,解得 x=15當(dāng) x 2 時(shí)，（ 2x+1） +(x 2) 4解得 x=,在 x 2 范圍無(wú)解3綜上所述原方程有兩個(gè)解x= 1,x=1丙練習(xí) 211 己知 a>0,b<0,且 a+b<0. 試把 a,b,0 及其相反數(shù)記在數(shù)軸上。并用“”號(hào)把它們連接。2 比較下列各組中的兩個(gè)數(shù)值的大?。?a4 與 a2 a 與 a1a 1 a23 什么數(shù)的平方

7、與立方相等？什么數(shù)的平方比立方大？45 甲乙兩人同時(shí)從A 去 B，甲一半路程用時(shí)速 a 千米，另一半路程用時(shí)速b 千米；乙占總時(shí)間的一半用時(shí)速a 千米 ,另一半時(shí)間用時(shí)速b 千米 ,問(wèn)兩人誰(shuí)先到達(dá)？67 己知a>b>c>d>0 且 ab=c d， 試比較 a+c 與 b+d 的大小89 己知 a<b,x<y.求證： ax+by>ay+bx10己知 a<b<c, x<y<z求證： ax+by+cz>az+bx+cy ax+by+cz>az+bx+cy( 提示：可應(yīng)用第6 題的結(jié)論 )1112己知 a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，請(qǐng)舉個(gè)反例。11 ab<1a1 a 2b<0abb9.若 a,b,c 都是大于 1 的負(fù)數(shù)，（即 1 a,b,c<0 下列不等式哪些不能成立？試各舉一個(gè)反例。 a+bc>0 (abc)2>1a2-b2-c2<0 abc>-110.水池裝