函數(shù)和導數(shù)復習(1)名師制作優(yōu)質(zhì)教學資料

1、函數(shù)與導數(shù)復習（1）學習目標：理解基本函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)值，定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性，圖像性質(zhì)）理解導數(shù)的幾何意義導數(shù)公式運算法則，利用導數(shù)求單調(diào)性和極值。一、概念回顧二、重點難點分析1、函數(shù)的零點和極值點2、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性3、函數(shù)的圖像（對稱性和特殊點，構(gòu)造函數(shù)解決問題）三、例題精選1( 1 )x 的零點個數(shù)為（1. 函數(shù) f (x)x2）2A 0B1C2D 32設函數(shù) fx2）ln x ，則（x1A x為 fx2C x2 為 fx的極大值點B的極大值點D1x為 fx 的極小值點2x2 為fx 的極小值點【解析】 f 'x21x20 ，則 x2x2xx2，令 f &

2、#39; x21x2當 x2 時， f 'x0 ；x2xx2當 x2時， f 'x21x20 x2xx2即當 x2 時， fx是單調(diào)遞減的；當x 2 時， fx 是單調(diào)遞增的所以 x2 是 fx的極小值點故選D 3.已知函數(shù)f ( x)ln xkk為常數(shù) , e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)， 曲 線exy f x在點 1，f 1 處的切線與 x 軸平行。求 k的值； 求 fx 的單調(diào)區(qū)間； 設g xxfx , 其中 fx 為fx 的導函數(shù) . 證明：對任意 x0, g x1e 2 .考點：導數(shù)，幾何意義，單調(diào)性。解：（）由 fx= ln x+k,ex得f x1 kx xln

3、x , x0,xex由于曲線 yfx 在 1, fx處的切線與 x軸平行 .所以f 10,因此k1.（）由 得fx11 xxln x , x0,xxe令 h x1 x x ln x, x0,當x0,1時, h x當x1,時,h x0.0;又 ex 0,所以x0,1 , fx0;x1, fx0.因此fx的單調(diào)增區(qū)間為0,1 ，單調(diào)減區(qū)間為 1,.（）因為g x=xfx,所以g x = 11-x-x ln x ,x0，+ .ex由（）hx1xx ln x,求導得hxl nx2l nx2,l ne所以當 x0, e 2時 , hx0,函數(shù) hx 單調(diào)遞增；當 xe 2 ,+時, h x<0,

4、函數(shù) h x單調(diào)遞減 .所以當 x0,+時 ,hxh e-2=1+e-2.又當 x0,時,11,0ex所以當1220,時 , ex h x1 e ,即 g x 1 e .x綜上所述結(jié)論成立。4（本小題滿分12 分）已知函數(shù) f ( x)1 x3x2ax 3（）討論f ( x) 的單調(diào)性；（）設f( x) 有兩個極值點 x1 , x2 ，若過兩點 ( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x2 ) 的直線 l 與 x 軸的交點在曲線yf ( x) 上，求 a 的值?！久}意圖】 本試題考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問就是三次函數(shù)，通過求解導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間。另外就是運用極值概念

5、，求解參數(shù)值的運用。解：（ 1）依題意可得f ( x)x22xa當44a0 即 a1 時， x22xa0 恒成立，故 f (x)0 ，所以函數(shù)f ( x) 在 R 上單調(diào)遞增；當4 4a0 即 a1 時，f (x)x22x a0有兩個相異實根x1244a11 a , x211 a 且 x1x22故由 f ( x)x22xa0 x(,11a ) 或 x( 11a ,) ，此時 f (x)單調(diào)遞增由 f (x)x22x a011ax11a ，此時此時f (x) 單調(diào)遞增遞減綜上可知當 a1時， f ( x) 在 R 上單調(diào)遞增； 當 a1 時， f ( x) 在 x(, 11a ) 上單調(diào)遞增，在

6、 x ( 11a,) 單調(diào)遞增，在( 11 a , 1 1 a ) 單調(diào)遞減。（2）由題設知，x1, x2 為方程 f (x)0 的兩個根，故有a 1, x122x1a, x222x2a因13f ( 132 (a 1)x2a同理 f (x2 )33因此直線 l 的方程為 y2 (a 1)xa33設 l 與 x 軸的交點為 ( x0,0) ，得 x0a2(a1)此x )2 a113而 f (x0 ) 1(a)3(a)2a2a23(12a217a6)32(a1)2(a1)2(a1)24(a1)由題設知，點 ( x0 ,0) 在曲線 yf ( x) 的上，故 f (x0 ) 0，解得 a0 或 a2

7、3或 a4233所以所求 a 的值為 a0或 a或 a3。4【點評】試題分為兩問，題面比較簡單， 給出的函數(shù)比較常規(guī)，這一點對于同學們來說沒有難度， 但是解決的關鍵還是要看導數(shù)的符號對函數(shù)單調(diào)性的影響，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第二問中，運用極值的問題，和直線方程的知識求解交點，得到參數(shù)的值。5（ 2012 年江蘇省16 分） 若函數(shù) yf ( x) 在 xx0 處取得極大值或極小值，則稱x0 為函數(shù) y f (x)的極值點。已知 a， b 是實數(shù)， 1 和1是函數(shù) f ( x)x3ax2bx 的兩個極值點（ 1）求 a 和 b 的值；（ 2）設函數(shù)g( x) 的導函數(shù) g ( x)f (x)2 ，

8、求 g( x) 的極值點；（ 3）設 h( x)f ( f ( x)c ，其中c2 ，2 ，求函數(shù) yh( x) 的零點個數(shù)【答案】 解：（ 1）由 f ( x)x3ax2bx，得 f' ( x) 3x22axb 。1 和 1是函數(shù) f (x)x3ax 2bx 的兩個極值點， f'(1)32ab=0，f' ( 1)32ab=0 ，解得 a =0， b = 3。（ 2） 由（ 1）得， f ( x)x33x， g ( x)f ( x) 2=x33x 2=x 12，解得 x1 =x2 =1， x3 =2 。x 2當 x <2 時， g (x) < 0；當2 &l

9、t; x < 1 時， g ( x) > 0 ， x= 2是 g ( x) 的極值點。當 2 < x < 1 或 x >1 時， g ( x) > 0 ，x=1 不是 g (x) 的極值點。 g( x) 的極值點是 2。（ 3）令 f ( x)= t ，則 h(x)f (t ) c 。先討論關于 x 的方程f ( x)= d 根的情況： d2, 2當 d =2 時，由（ 2 ）可知， f ( x)=2 的兩個不同的根為I 和一 2 ，注意到 f (x) 是奇函數(shù)，f ( x)=2 的兩個不同的根為一和2。當d < 2時，f ( 1)d =f (2)d

10、=2d > 0，f (1)d=f (2)d =2d < 0，一2 ,1， 1， 2都不是f ( x)=d 的根。由（ 1）知 f' ( x)=3x1x1 。當x2，時 ， f '( x) > 0， 于 是f ( x)是單調(diào)增函數(shù)，從而f ( x) > f (2)=2。此時f ( x)= d 在2，無實根。 當 x1，2時f' ( x) > 0 ，于是f ( x)是單調(diào)增函數(shù)。又f (1)d < 0 ，f (2)d > 0 ，y= f ( x)d的圖象不間斷， f ( x)=d在（ 1 , 2 ）內(nèi)有唯一實根。同理， f ( x)

11、= d 在（一 2 ，一 I ）內(nèi)有唯一實根。 當 x1，1時，f' (x) < 0 ，于是f ( x) 是單調(diào)減兩數(shù)。又f (1)d > 0 ，f (1)d < 0 ，y =f ( x)d 的圖象不間斷， f ( x)=d 在（一 1，1 ）內(nèi)有唯一實根。因此，當 d =2 時， f (x)=d 有兩個不同的根x1，x2滿足x1=1， x2=2 ；當d < 2 時f ( x)= d 有三個不同的根x3，x1， x5 ，滿足 xi < 2， i=3, 4, 5?，F(xiàn)考慮函數(shù)yh( x) 的零點：( i ）當 c =2 時， f (t )=c 有兩個根 t1，t2 ，滿足 t1 =1，t2 =2 。而 f (