初二數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)及經(jīng)典例題解析

1、初二數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)及經(jīng)典例題解析知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：反比例函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際生活問題中,應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解題,關(guān)鍵是建立函數(shù)模型即列出符合題意的反比例函數(shù)解析式,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解知識(shí)點(diǎn)二：反比例函數(shù)在應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)1 反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題2 針對(duì)一系列相關(guān)數(shù)據(jù)探究函數(shù)自變量與因變量近似滿足的函數(shù)關(guān)系3 列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍知識(shí)點(diǎn)三：綜合性題目的類型1 與物理學(xué)知識(shí)相結(jié)合：如杠桿問題、電功率問題等.2 與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合：如反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)形成的直角三角形或矩形的

2、面積規(guī)律方法指導(dǎo)這一節(jié)是本章的重要內(nèi)容，重點(diǎn)介紹反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中無處不在，以及如何應(yīng)用反比例函數(shù)的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題 學(xué)生要學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)生活常見的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，這樣可以更好地認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際的關(guān)系，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理論來源于實(shí)際又反過來服務(wù)實(shí)際經(jīng)典例題透析類型一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合1 （ 2010四川成都）如圖1 ，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)（1 ）試確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（ 2 ）求出這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)， 并根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值的的取值范圍思路點(diǎn)撥 : 由于 A 在反比例函數(shù)圖象

3、上，由反比例函數(shù)定義得出一次函數(shù)解析式聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，可求出次函數(shù)圖象上方時(shí) x 的取值范圍，從而求出 A 點(diǎn)的坐標(biāo)再由待定系數(shù)法求 B 點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，求出反比例的圖象在一解析：（ 1 ）已知反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，即A(1 ， 2)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1 ，2) ，反比例函數(shù)的表達(dá)式為一次函數(shù)的表達(dá)式為，。（2）由消去，得。即,或。或?；螯c(diǎn) B 在第三象限，點(diǎn)B 的坐標(biāo)為。由圖象可知，當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)，的取值范圍是或?？偨Y(jié)升華：（ 1）綜合運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法（ 2 ）能通過觀察圖像得到所求信息是解決這類

4、問題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式】 如圖 2 所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M 、 N 兩點(diǎn)（1 ）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2 ）根據(jù)圖象，寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x 的取值范圍【答案】（1 ）M 、 N 在反比例函數(shù)上設(shè)一次函數(shù)解析式為則，解得故一次函數(shù)的解析式為（ 2 ）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值類型二：反比例函數(shù)與三角形或四邊形面積問題2 如圖 3，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于A、 B 兩點(diǎn)。（1）求 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2 ）求AOB 的面積。思路點(diǎn)撥：（ 1 ）問聯(lián)立解析式求解（2）問把AOB 的面積分成與之和來解決。解析

5、：（ 1 ）解方程組得所以 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，4），B（4，-2 ）（2 ）因?yàn)榕c y 軸交點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（ 0， 2），所以，所以總結(jié)升華： 三角形面積不方便直接求解的時(shí)候可以考慮“割”或者“補(bǔ)”的方法，原則是割，補(bǔ)后的三角形易于找底和高。舉一反三：【變式】如圖 4，和的圖象與的圖象分別交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)A ， C，過 A， C 分別向 x 軸作垂線， 垂足分別為B，D ，若直角三角形AOB 與直角三角形COD 的面積分別為，求與有什么關(guān)系？【答案】：設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（），則在，所以同理可得。所以。類型三：反比例函數(shù)與實(shí)際問題相結(jié)合3 （ 2010江蘇泰州） 保護(hù)生態(tài)環(huán)境，

6、 建設(shè)綠色社會(huì)已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng)。某化工廠2009 年 1 月的利潤(rùn)為200萬元。設(shè)2009 年 1 月為第 1 個(gè)月，第x 個(gè)月的利潤(rùn)為y 萬元。由于排污超標(biāo)，該從2009 年 1 月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，導(dǎo)致月利潤(rùn)明顯下降，從1 月到 5 月， y 與 x 成反比例。到5 月底，治污改造工程順利完工，從這時(shí)起，該廠每月的利潤(rùn)比前一個(gè)月增加20 萬元（如圖5 ）(1) 分別求該化工廠治污期間及改造工程順利完工后y 與 x 之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。(2) 治污改造工程順利完工后經(jīng)過幾個(gè)月，該廠利潤(rùn)才能達(dá)到200 萬元？(3) 當(dāng)月利潤(rùn)少于 100 萬元時(shí)為該廠資金緊張期，問

7、該廠資金緊張期共有幾個(gè)月？思路點(diǎn)撥 :（ 1 ） y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式分成和兩段分別求解。 （ 2）令的解析式等于200 ，可以求出經(jīng)過幾個(gè)月，利潤(rùn)達(dá)到200 萬元；（ 3 ）找出兩段函數(shù)等于100的 x 的值，月份只差就是資金緊張的月份。解析：（ 1 ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，把（ 1,200 ）代入，得k=200, 即，當(dāng) x=5 時(shí)， y=40, 當(dāng)時(shí)，.（2 ）當(dāng) y=200時(shí)，所以治污改造工程順利完工后經(jīng)過8 個(gè)月，該廠利潤(rùn)達(dá)到200 萬元。（3 ）對(duì)于，當(dāng) y=100時(shí)， x=2 ；對(duì)于，當(dāng) y=100 時(shí)， x=8 ，所以資金緊張的時(shí)間為 8-2=6個(gè)月。總結(jié)升華： 解決反比例函數(shù)與實(shí)

8、際問題相結(jié)合的問題，要理解問題的實(shí)際意義及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).反比例函數(shù)是解決現(xiàn)實(shí)世界反比例關(guān)系的有力工具.舉一反三：【變式 1】一人站在平放在濕地上的木板上，當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng) p （Pa）將如何變化？如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力為600N ，回答下列問題：（1）用含 S 的代數(shù)式表示p ， p 是 S 的反比例函數(shù)嗎？為什么？（2）當(dāng)木板面積為 0.2m 2時(shí)，壓強(qiáng)是多少？（3）如果要求壓強(qiáng)不超過6000Pa ，木板面積至少要多大？（4）畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象解析：隨著木板面積變?。ù螅瑝簭?qiáng) p （ Pa）將變大（?。?（1 ），所以 p 是 S 的反比例函數(shù)，符合反比例函數(shù)的定義（2 ），所以面積為時(shí)，壓強(qiáng)是（3）若壓強(qiáng)，解得，故木板面積至少要.（4）函數(shù)圖象如下圖6 所示：【變式 2 】某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1 升 (1 升 1 立方分米 )的圓錐形漏斗，如右下圖.（1 ）漏斗口的面積S 與漏斗的深d 有怎樣的函數(shù)關(guān)系?（2 ）如果漏斗口的面積為100 厘米 2，則漏斗的深為多少?解析：（ 1 ）根據(jù)圓錐體的體積公式，我們可以設(shè)漏斗口的面積為Scm ，