公開課-313空間向量的數(shù)量積運算 -

1、3.1.33.1.3空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算祿勸一中祿勸一中 林麗林麗 ,mnlm lnl如圖、 是平面 內(nèi)的兩條相交直線 如果求證：探究：探究：問題探究nml 1.空間向量的加減法運算（1）向量的加法：平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角形法則ba baba a 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：（2）向量的減法:三角形法則三角形法則ba ba 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：2. 相等向量相等向量： 方向方向 且模且模 的向量稱為相等向量的向量稱為相等向量相同相同相等相等3.共面向量的基本定理：共面向量的基本定理： 如果兩個向量如果兩個向量a、b不共線，那么向量不共線，那么向量p與向量與向量a、b共面的充要條

2、件是：存在唯一實數(shù)對共面的充要條件是：存在唯一實數(shù)對x、y，使使 。p=xa+yb AOBababab4平面向量的夾角：平面向量的夾角：babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1 1） 空間兩個向量的夾角的定義空間兩個向量的夾角的定義babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向思考思考：1、a，b與與b，a相等嗎？相等嗎？ 2、a，b與與a，b相等嗎？相等嗎？注意：注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.33.1.3空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算

3、2 2）兩個向量的數(shù)量積）兩個向量的數(shù)量積注：注：兩個向量的兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空間兩個向量，則叫做向量的數(shù)量積，記作：即零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。3)3)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì): : 對于非零向量對于非零向量 ，有：，有：,ab2(1) cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依據(jù)）（求角的依據(jù)）（證明垂直的依據(jù)）（證明垂直的依據(jù)）（求向量的長度的依據(jù)（求向量的長度的依據(jù)) )4)4)空間向量的數(shù)量

4、積滿足的運算律空間向量的數(shù)量積滿足的運算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 結(jié)合律交換律）分配律）下列命題成立嗎下列命題成立嗎?若 ,則若 ,則a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考思考: 1.向量a、b之間的夾角為30，且|a|3，| b |4，則ab _， a2_， (a2b)(ab)_.135 題型一題型一利用數(shù)量積求夾角利用數(shù)量積求夾角 如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA與與BC所成角的所成角的余弦值余弦值【例例1】 P O A la

5、 分析分析：用向量來證明：用向量來證明兩直線垂直，只需證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可！的數(shù)量積為零即可！題型題型二二利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系【例例2】證明：證明：例例2 已知已知:,POAOllOA射射影影且且求證：求證：lPA 在直線在直線l上取向量上取向量 ,只要證只要證a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.為為 P O A la 0,0a POa OA 例例3:(試用試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理向量方法證明直線與平面垂直的判定定理) 已知直線已知直線m ,n是平面是平

6、面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,如果如果 m, n,求證求證: . lll lmngn g m l lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線線.解解: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任一直線重合的任一直線g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) ,使使 ( , )x y例例3:已知直線已知直線m ,n是平面是

7、平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,如果如果 m, n,求證求證: .lll 如圖所示，平行六面體如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求，求AC1的長的長題型題型三三利用數(shù)量積求兩點間的距離利用數(shù)量積求兩點間的距離【例例4】 課堂小小 結(jié)：結(jié)： 空間向量數(shù)量積：空間向量數(shù)量積：可利用數(shù)量積解決立體幾何中的以下問題：可利用數(shù)量積解決立體幾何中的以下問題： 1 1、求兩直線所成角、求兩直線所成角. . 2 2、證明兩直線垂直、證明兩直線垂直; ; 3 3、求兩點之間的距離或線段長度、求兩點之間的距離或線段長度; ;作業(yè)P98 A組 3 4 5 B組 1 2ABA1C1B1C2.如圖如圖,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB= BB1,則則AB1與與C1B所成角所成角的大小為的大小為( )A. B. C. D.2105