大學(xué)物理自測題下(黃皮書)機(jī)械波動(dòng)要點(diǎn)及詳細(xì)答案

1、簡諧振動(dòng)微分方程簡諧振動(dòng)微分方程2220d xxdt其通解為：其通解為：cos()xAt簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程利用初始條件確定利用初始條件確定,A 21 T 22 T 2 T2200()vAx00tanvx 簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX0cos()xAt機(jī)械能機(jī)械能222111222pkEEEkxmvkA簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒同方向、同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成同方向、同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成221212212cos()AAAAA11221122sinsintgcoscosAAAA111(

2、)cos()x tAt222( )cos()xtAt12,cos()xxxxAt合振動(dòng)合振動(dòng) : :1A11x2A22xA 12xxx 12 T uuT 波的周期波的周期 T 、頻率頻率 v 和和波長波長 之間的關(guān)系之間的關(guān)系平面簡諧波的波動(dòng)式平面簡諧波的波動(dòng)式cos()xyAtuxot振動(dòng)圖振動(dòng)圖xypuOx波動(dòng)圖波動(dòng)圖22222yyutx波動(dòng)方程波動(dòng)方程波中各質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能為：波中各質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能為：kpEEE 222sin()xAtVu1）在波動(dòng)的傳播過程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小在波動(dòng)的傳播過程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小 相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。相等而且

3、相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。2）在波傳動(dòng)過程中，任意質(zhì)元的能量不守恒，所以波動(dòng)過在波傳動(dòng)過程中，任意質(zhì)元的能量不守恒，所以波動(dòng)過 程實(shí)質(zhì)上是能量的傳遞過程。程實(shí)質(zhì)上是能量的傳遞過程。kpEE 惠更斯原理：惠更斯原理：在波的傳播過程中，波面（波前）上的各點(diǎn)，在波的傳播過程中，波面（波前）上的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時(shí)刻，這些子波都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包跡就成為新的波面。的包跡就成為新的波面。波的相干條件波的相干條件3.具有恒定的相位差具有恒定的相位差2.振動(dòng)方向相同振動(dòng)方向相同1.具有相同的頻率具有相同的頻率2010212()()r

4、r22212122cosAAAAA2 0,1,2,3,.kk (21)0,1,2,3,.kk 21rr0,1,2,3,.k 21,2k 2,2kk 稱為波程差：稱為波程差：2cos2cos( )cosxyAtA xt駐波方程駐波方程相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：2x 波節(jié)兩側(cè)的點(diǎn)振動(dòng)相位相反，波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。波節(jié)兩側(cè)的點(diǎn)振動(dòng)相位相反，波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。半波損失半波損失當(dāng)波當(dāng)波從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)界面上反射時(shí)，界面上反射時(shí)，有半波損失有半波損失；當(dāng)波當(dāng)波從波密媒質(zhì)入射到波疏媒質(zhì)從波密媒質(zhì)入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時(shí)

5、，界面上反射時(shí)，無半波損失無半波損失。多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)s0vvuu 0v觀察者觀察者向著向著波源運(yùn)動(dòng)波源運(yùn)動(dòng) + ，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 - ； 波源波源向著向著觀察者運(yùn)動(dòng)觀察者運(yùn)動(dòng) - ，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 + 。sv0cos()xEEtc0cos ()xHHtc平面電磁波平面電磁波uEHxoyz電磁波的性質(zhì)電磁波的性質(zhì)rrcu EH坡因廷矢量坡因廷矢量電磁波的能流密度電磁波的能流密度( (坡因廷矢量坡因廷矢量) )：Swu221122wEH電磁波的能量密度：電磁波的能量密度：SEHSEHSEH1. 一輕彈簧一輕彈簧,上端固定上端固定,下端掛有質(zhì)量為下端掛有質(zhì)量為m的重物，其自由振動(dòng)的重物，其自由振動(dòng) 的周期

6、為的周期為今已知振子離開平衡位置為今已知振子離開平衡位置為x時(shí)，其振動(dòng)速度時(shí)，其振動(dòng)速度 為為v，加速度為，加速度為a，試判下列計(jì)算倔強(qiáng)系數(shù)的公式中那個(gè)是，試判下列計(jì)算倔強(qiáng)系數(shù)的公式中那個(gè)是 錯(cuò)誤的：錯(cuò)誤的：22maxmax( )/A kmvx( )/B kmg x22( )4/C km T()/D kma x22maxmax11( ) 22Amvkx2() , 2kmCTmk() DFkxma 2. 輕質(zhì)彈簧下掛一個(gè)小盤，小盤作簡諧振動(dòng)，平衡位置為原點(diǎn)，輕質(zhì)彈簧下掛一個(gè)小盤，小盤作簡諧振動(dòng)，平衡位置為原點(diǎn)， 位移向下為正，并采用余弦表示。小盤處于最低位置時(shí)刻有位移向下為正，并采用余弦表示。小

7、盤處于最低位置時(shí)刻有 一個(gè)小物體落到盤上并粘住，如果以新的平衡位置為原點(diǎn)，一個(gè)小物體落到盤上并粘住，如果以新的平衡位置為原點(diǎn)， 設(shè)新的平衡位置相對原平衡位置向下移動(dòng)的距離小于原振幅，設(shè)新的平衡位置相對原平衡位置向下移動(dòng)的距離小于原振幅， 且以小物體與盤相碰時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，那么新的位移表示式的且以小物體與盤相碰時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，那么新的位移表示式的 初相在：初相在： (A) 0/2之間。之間。 (B) /2之間。之間。 (C) 3/2之間。之間。 (D) 3/22之間。之間。解：解：位移向下為正。當(dāng)小盤處在最低位置時(shí)刻有一個(gè)小物體位移向下為正。當(dāng)小盤處在最低位置時(shí)刻有一個(gè)小物體 落到盤上，則振子系統(tǒng)向

8、下還是向上運(yùn)動(dòng)？落到盤上，則振子系統(tǒng)向下還是向上運(yùn)動(dòng)？ 考慮到新的平衡位置相對原平衡位置向下移動(dòng)的距離小考慮到新的平衡位置相對原平衡位置向下移動(dòng)的距離小于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位在第四象限。采用旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位在第四象限。 3. 勁度系數(shù)分別為勁度系數(shù)分別為k1和和k2的兩個(gè)輕彈簧串聯(lián)在的兩個(gè)輕彈簧串聯(lián)在 一起，下面掛著質(zhì)量為一起，下面掛著質(zhì)量為m的物體，構(gòu)成一個(gè)的物體，構(gòu)成一個(gè) 豎掛的彈簧振子，則該系統(tǒng)的振動(dòng)周期為：豎掛的彈簧振子，則該系統(tǒng)的振動(dòng)周期為： k1 m k2 解：設(shè)彈簧串聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)為解：設(shè)彈

9、簧串聯(lián)后彈簧的勁度系數(shù)為k， 平衡時(shí)伸長了平衡時(shí)伸長了x,則則12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk121212()11222m kkmTmkkkk k答案：答案：C31k1、將一個(gè)勁度系數(shù)為、將一個(gè)勁度系數(shù)為k的彈簧一截為二，則一半長的彈簧的勁度的彈簧一截為二，則一半長的彈簧的勁度 系數(shù)為多少？系數(shù)為多少？122kkk12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk解：設(shè)彈簧截?cái)嗪蟮膭哦认禂?shù)為解：設(shè)彈簧截?cái)嗪蟮膭哦认禂?shù)為k1， k1，平衡時(shí)分別伸長了，平衡時(shí)分別伸長了x1， x2，則，則kNk將勁度系數(shù)為將勁度系數(shù)為k的彈簧平分為的彈簧平分為N段，則

10、一段彈簧的勁度系數(shù)為：段，則一段彈簧的勁度系數(shù)為：3、把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，其彈簧的勁度、把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，其彈簧的勁度 系數(shù)為多少？系數(shù)為多少？2、將兩根勁度系數(shù)分別為、將兩根勁度系數(shù)分別為k1和和k2的彈簧兩端固定，在兩彈簧中間的彈簧兩端固定，在兩彈簧中間 連接一個(gè)質(zhì)量為連接一個(gè)質(zhì)量為m的物體，合成后的彈簧的勁度系數(shù)為多少？的物體，合成后的彈簧的勁度系數(shù)為多少？12kkk2 4kkk解：設(shè)彈簧并聯(lián)后的勁度系數(shù)為解：設(shè)彈簧并聯(lián)后的勁度系數(shù)為k，平衡時(shí)伸長了，平衡時(shí)伸長了x，則，則1 122kxmgk xk xmg12xxx2kk3k1111kkkk3k

11、k122km所以振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為：（）所以振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為：（）解：截成三等份，設(shè)每等份的倔強(qiáng)系數(shù)為解：截成三等份，設(shè)每等份的倔強(qiáng)系數(shù)為 , 則則k兩根并聯(lián)時(shí)兩根并聯(lián)時(shí)2 6kkk解：解：1 12212mgk xk xxnx答案為（答案為（c)12111kkk21knk1 12212mgk xk xkxxxx111kkk2kk 2222mmTkk2kkk xkxkxmg2222mmTkk彈簧串聯(lián)：彈簧串聯(lián)： 彈簧并聯(lián)：彈簧并聯(lián)： 一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，總能量為E1, ,如果簡諧振動(dòng)振幅如果簡諧振動(dòng)振幅增加為原來的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的四倍，則它的總能增加為原來

12、的兩倍，重物的質(zhì)量增為原來的四倍，則它的總能量量E1變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?(A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1)tsin(Av0 )t(coskA02221 諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp 221kAEEEpk 總能量變?yōu)椋ǎ┛偰芰孔優(yōu)椋ǎ?.6.一物體作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程一物體作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程 ，則該物體，則該物體 在在t=0t=0時(shí)刻的動(dòng)能與時(shí)刻的動(dòng)能與t =T/8 ( (T為振動(dòng)

13、周期為振動(dòng)周期) )時(shí)刻的動(dòng)能之比為：時(shí)刻的動(dòng)能之比為：221mvEk 221sin (/2)2kAt221sin22kEkA解：動(dòng)能為解：動(dòng)能為t=0時(shí)刻，時(shí)刻，t=T/8時(shí)刻，時(shí)刻，221sin282kTEkA22221213sinsin28224kAkA(A)1:4 (B)1:2（C)1:1 (D)2:1動(dòng)能之比為（）動(dòng)能之比為（）2:1cos(/2)xAt解：解：xtTEEpokpEE EtEkkA2/2彈性力所做的功等于動(dòng)能的變化量，所以半個(gè)彈性力所做的功等于動(dòng)能的變化量，所以半個(gè)周期所做的功為零。周期所做的功為零。tfdbo, , 12.一列機(jī)械橫波在一列機(jī)械橫波在t時(shí)刻的波形曲線

14、如圖所示，則該時(shí)刻能時(shí)刻的波形曲線如圖所示，則該時(shí)刻能量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位置是：量為最大值的媒質(zhì)質(zhì)元的位置是： (A) (B) (D) (C) fdbo, geca,do , fb,在波動(dòng)的傳播過程中，某質(zhì)元任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小相等而且相在波動(dòng)的傳播過程中，某質(zhì)元任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。在平衡位置動(dòng)能和勢能同時(shí)達(dá)到最在平衡位置動(dòng)能和勢能同時(shí)達(dá)到最大值，大值， 在最大位移處動(dòng)能和勢能同時(shí)為零在最大位移處動(dòng)能和勢能同時(shí)為零.212EkA2 /2mTk 2221 42mEAT8. 8. 一長為一長為l 的均

15、勻細(xì)棒懸于通過其一端的光滑水平的均勻細(xì)棒懸于通過其一端的光滑水平 固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)擺。已知固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)擺。已知 細(xì)棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ， 此擺作微小振動(dòng)的周期為此擺作微小振動(dòng)的周期為: : 2/3JmlOl2mglJ轉(zhuǎn)動(dòng)定理：轉(zhuǎn)動(dòng)定理：22sin22dlmglJmgdt 2202dmgldtJ周期為周期為:222223JlTmglg. . 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為T當(dāng)它由平衡位置向當(dāng)它由平衡位置向x軸正軸正 方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位

16、移處這段 路程所需要的時(shí)間為路程所需要的時(shí)間為 解：采用旋轉(zhuǎn)矢量法：解：采用旋轉(zhuǎn)矢量法：3(A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4解解:與標(biāo)準(zhǔn)方程比較與標(biāo)準(zhǔn)方程比較:0cos ()xyAtu0cosAtxu相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：相鄰波腹或相鄰波節(jié)間的距離都為：2x 相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：4x Fkx 400.2k400.2200/kN m2, 2kmTmk22222000.042.0 ()44kTmkg解：由能量守恒定律可知：左右兩側(cè)所解：由能量守恒定律可知：左右兩側(cè)所 處最高位置應(yīng)該相等，即勢能相等。處最高位置應(yīng)該相等，

17、即勢能相等。120.451cos1cosmg lmgl121cos1.51cos0.451.05mglmg l221112222112sin/ 21cos1.51cos1.05112sin/ 2cos()t11221.51.21.05AA注意這相當(dāng)于兩個(gè)振動(dòng)而不是兩列波注意這相當(dāng)于兩個(gè)振動(dòng)而不是兩列波1A頻率相等，所以相位差等于初相差：頻率相等，所以相位差等于初相差：10/22002120100/2/2 1A103 /2222A2A203 /422/2A3 /23 /43 /4oxox2A120.05 2cos11 /12 cos2 /3xxxt0.05 cos11 /120.05 cos/1

18、2tt 同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成221212212cos()AAAAA由圖知：由圖知：2.利用矢量合成法利用矢量合成法1A11x2A22xA xAxyyAcos()xAt1122coscosxAAA1122sinsinyAAA22xyAAA222 0.052 0.05 cos(4 /3)0.05 11221122sinsintgcoscosyxAAAAAA121212121212122sincossinsin22coscos2coscos2211212tgtg11231212or230.05cos()12xt122coscos2 /3xxxAtcosAt 30 xx

19、x12xxx/32221112cos()AAAAA 222010 32 20 10 3cos( /6) 10cm12sinsin/6AA12sin/610 313sin1022AA120/3/6/2 1A2AoxA/6212122uLttt 2/33L2.4m6.0/m s2.46/0.4um sT0.5Lm20.2/62.4m解：波動(dòng)方程為：解：波動(dòng)方程為：02cos2yAtxHz0500021014. 35m2202解：波動(dòng)方程為：解：波動(dòng)方程為：02cos2yAtx相距為相距為a的兩點(diǎn)的相位差為：的兩點(diǎn)的相位差為：2aEa13101.43220250000smu解：設(shè)波動(dòng)方程為：解：設(shè)波

20、動(dòng)方程為：02cos2xyAt02cos2uxyAt20,tx00cos 22uA24cos22uxuyAt波動(dòng)方程波動(dòng)方程P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為:4cos22uuyAt0y 0v 02sin 220uuA 042u 解解: 設(shè)設(shè)P的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為:0cos()pyAt已知已知:20.22AT00.2cos()2pyt由于由于20ptsy0.2cos()22pyt02 02220pv000.2cos(2)200.2sin(2)022解：入射波在解：入射波在B點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：cos2 ( / )yAt TL入由于由于B是固定端，則在是固定端，則在B點(diǎn)處有半

21、波損失，因而點(diǎn)處有半波損失，因而反射波在反射波在B點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：cos2 ( / )yAt TL反則反射波的波動(dòng)方程為：則反射波的波動(dòng)方程為：2cos2tLAT222cos2yAtxLT反反射波在反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：22cos2OtLLyAT反解：反射波在解：反射波在x=0處的振動(dòng)方程為：處的振動(dòng)方程為：20.15cos100/2yt因?yàn)榉瓷潼c(diǎn)為自由端，則無半波損失，則入射波的波動(dòng)方程為：因?yàn)榉瓷潼c(diǎn)為自由端，則無半波損失，則入射波的波動(dòng)方程為：10.15cos 100 (/200)/2ytx則駐波方程為：則駐波方程為：120.3coscos(100)22yyyxtx入射波入射波反射波反射波01cos(2)yAtx入射波入射波反射