離散時間信號與系統(tǒng)

1、 x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,31 , 1, 2, 1 , 1kx1單位脈沖序列單位脈沖序列000 1kkk定義：2.單位階躍序列單位階躍序列 000 1kkku定義：定義：3矩形序列矩形序列 otherwise010 1NkkRN4指數(shù)序列指數(shù)序列Zkakxk,有界序列：有界序列： k Z |x k| Mx 。 Mx是與是與 k無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)akuk： 右指數(shù)序列右指數(shù)序列,|a| 1序列有界序列有界aku k： 左指數(shù)序列左指數(shù)序列,|a| 1序列有界序列有界5虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列(單頻序列單頻序列)tjetx)(角頻率為角頻率為 的的模擬信號模擬信號

2、kjTkjkTteetxkx)(數(shù)字信號角頻率數(shù)字信號角頻率 =T 虛指數(shù)序列虛指數(shù)序列 x k=exp( j k) 是否為周期的是否為周期的? 如是周期序列其周期為多少？如是周期序列其周期為多少？即即 / 2 / 2p p為有理數(shù)時，信號才是周期的。為有理數(shù)時，信號才是周期的。如果如果 / 2 / 2p p m / / L , L, m 是不可約的整數(shù)，則信號的周期為是不可約的整數(shù)，則信號的周期為L。6正弦型序列正弦型序列2/ )(coskjkjeekkx例例 試確定余弦序列xk = cos0k 當(dāng)(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=

3、0.9p (f) 0=p 時的基本周期。解：(a) 0 /2p 0/1， N=1。(b) 0 /2p0.1/21/20， N=20。(c) 0 /2p0.2/21/10， N=10。(d) 0 /2p0.8/22/5， N=5。(e) 0 /2p0.9/29/20, N=20。(f) 0 /2p1/2, N=2。010203040-101xk = cos0 k , 0=0.2p 010203040-101xk = cos0 k , 0=0.8p 010203040-101xk = cos0 k , 0=p 010203040-101xk = cos0 k , 0=0 當(dāng)0從p增加到2p時，余弦

4、序列幅度的變化將會逐漸變慢。Zpnkkn00cos)2(cos即兩個余弦序列的角頻率相差2p的整數(shù)倍時，所表示的是同一個序列。cos(2p0 )k= cos(0 k)0 在p 附近的余弦序列是 高頻信號。0 0或2p 附近的余弦序列是 低頻信號。nkhnxkyn例：已知x1k * x2k= yk，試求y1k= x1kn * x2km。 結(jié)論： y1k= ykm+n)例：xk 非零范圍為 N1 k N2 ， hk 的非零范圍為 N3 k N4 求： yk=xk* hk的非零范圍。結(jié)論：N1N3 k N4N2)()()(mnmxnxm)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()

5、(21)(nxnxnxo2121kxbTkxaTkbxkaxT例例: 設(shè)一系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 yk=x2k 試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號x k產(chǎn)生的輸出信號Tx k為 Tx k=x2k 輸入信號ax k產(chǎn)生的輸出信號Tax k為 Tax k= a2x2k 除了a=0,1情況，情況，Tax k aTx k。故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。例例 y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。所表示的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。計算計算Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3，而而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+

6、b)例例 證明證明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移變系統(tǒng)。不是非移變系統(tǒng)。 計算計算Tx(n-k)=nx(n-k)，而，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。解：輸入信號xk產(chǎn)生的輸出信號yk為 yk=T xk= xMk 輸入信號xkn產(chǎn)生的輸出信號Txkn為 Txkn= xMkn 由于 xMkn ykn故系統(tǒng)是時變的。例例: 已知抽取器的輸入和輸出關(guān)系為 yk=xMk 試判斷系統(tǒng)是否為時不變的？211kxky23 451k0-1135 112kxkx222kxky23451264k0-1213kxkx233kxky2341k0-1135抽取器時變特性的圖示說明定義：定義：kTkh例：累

7、加器:nxkyknkukh nnknxTkxT nnkTnxnnkhnx*khkxkhkxky*當(dāng)任意輸入當(dāng)任意輸入x(n)用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為因?yàn)橄到y(tǒng)是線性非移變的，所以因?yàn)橄到y(tǒng)是線性非移變的，所以 通常把上式稱為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號這一關(guān)系常用符號“*”表示：表示：離散卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：離散卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律交換律 (2)結(jié)合律結(jié)合律 (3)分配律分配律計算卷積的步驟如下：計算卷積的步驟如下： (1)折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸k上畫出上畫出x(k)和和h(k)，將，將h(k

8、)以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成 h(-k)。 (2)移位：將移位：將h(-k)移位移位n，得，得h(n-k)。當(dāng)。當(dāng)n為正數(shù)時，為正數(shù)時，右移右移n；當(dāng)；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時，左移為負(fù)數(shù)時，左移n。 (3)相乘：將相乘：將h(n-k)和和x(k)的對應(yīng)取樣值相乘。的對應(yīng)取樣值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加起來，即得相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。 上圖為：上圖為：與與的線性卷積。的線性卷積。計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。舉例說明。 例例 已知已知x(n)和和h(n)分別為：分別為：和和試求試

9、求x(n)和和h(n)的線性卷積。的線性卷積。解解 參看圖參看圖2. 15，分段考慮如下：，分段考慮如下：(1)對于對于n4，且，且n-60，即，即46，且，且n-64，即，即64，即，即n10時：時：x綜合以上結(jié)果，綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：可歸納如下：卷積結(jié)果卷積結(jié)果y(n)如圖如圖2. 16所示所示 kTttxkx)(點(diǎn)抽樣抽樣間隔(周期) T (s)抽樣角頻率 sam=2p/T (rad/s)抽樣頻率 fsam=1/T (Hz)e()j (jXX離散時間信號與系統(tǒng)理想抽樣)()()(ttxtxTs)(kTtkxk)()(kTttxk)()()(sttxFtxFT)()(21tF

10、txFTp*)()j (21samsampnXn*)( j (1samnXTn)( j (1)j (samsnXTXn)e(jXttxXtssde)()j (jtkTtkxtkde)(jtkTtkxtkde)(jkTkkxje )e(jTX)/j (sTX)e(jX)e(/jsTX)( j (1)j (samsnXTXn)j ()j (TXXT縮因子)2j (12TnXTn周期化為nTnXTX)2j (1)e(jX(j)=0 |m稱為m 為信號的最高(角)頻率。m例: 已知某帶限信號抽樣信號x(t)的頻譜如圖所示， 試分別抽樣角頻率sam=2.5m, 2m , 1.6m抽樣時，抽樣后離散序列x

11、k的頻譜。m5 . 2sam解：8 . 05 . 22mmmTm2sam22mmmTm6 . 1sam25. 16 . 12mmmTm5 . 2samm2samm6 . 1sam 設(shè)x(t)是帶限實(shí)信號，則抽樣后信號頻譜不混疊的(充分)條件為：T p/m=1/(2fm) 時域抽樣定理時域抽樣定理fsam 2fm （或sam 2 m）抽樣頻率fs滿足： 或抽樣間隔T 滿足fsam = 2fm 頻譜不混疊最小抽樣頻率(Nyquist rate)T=1/(2fm) 頻譜不混疊最大抽樣間隔例：已知x(t)=Sa(pf0t), 試確定頻譜不混疊最大抽樣間隔T及抽樣后的序列xk。解：所以sam=2pf0，

12、即T=1/f0。)e(jX1kxk 若信號x(t)以T為抽樣間隔抽樣后的序列為k，則稱該信號Nyquist-T 信號。 在所有的Nyquist-T 信號中，只有x(t)=Sa(pf0t)是帶限的。例：已知連續(xù)帶通信號x(t)的頻譜如下圖所示, 試分別畫出sam1=0.5m 及sam2=0.8m時，抽樣后離散序列的頻譜。解：sam1=0.5m , T1=2p/sam1 =4p/msam2=0.8m ,T2=2p/sam2=2.5p/m抗混疊濾波抗混疊濾波許多實(shí)際工程信號不滿足帶限條件 抗混疊低通濾波器)(tx)(1tx)(th信號的重建信號的重建理想D/A模型框圖 理想D/A輸入和輸出 )e()j (jsTXX)()(jTseXjXA/T)( jeX mT mT p pp p p p2p p2 A/T)( jXs m m 2sam 2sam sam sam 其它02/)(samr