第十三屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題

1、第十三屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題全卷共六題，總分為140分。一、（20）如圖復(fù)13 - 1所示，有一勻質(zhì)細(xì)導(dǎo)線彎成的半徑為a的圓線圈和一內(nèi)接等邊三角形的電阻絲組成的電路（電路中各段的電阻值見圖）。在圓線圈平面內(nèi)有垂直紙面向里的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間t均勻減小，其變化率的大小為一已知常量k。已知2=3。試求圖中A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差-。二、（20分）長度為4毫米的物體AB由圖復(fù)13 - 2所示的光學(xué)系統(tǒng)成像。光學(xué)系統(tǒng)由一個(gè)直角棱鏡、一個(gè)會(huì)聚透鏡和一個(gè)發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸均標(biāo)示于圖上。求（1）像的位置；（2）像的大小，并作圖說明是實(shí)像還是虛像，是正立還是倒立的。三、（25分）如圖復(fù)

2、13 - 3所示，四個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)，用同樣長度且不可伸長的輕繩聯(lián)結(jié)成菱形ABCD。靜止放在水平光滑的桌面上。若突然給質(zhì)點(diǎn)A一個(gè)歷時(shí)極短沿CA方向的沖擊，當(dāng)沖擊結(jié)束的時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A的速度為V，其它質(zhì)點(diǎn)也獲得一定速度，BAD = 2(/4 )。求此質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)受沖擊后所具有的總動(dòng)量和總能量。四、（25分）在一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球外，有一個(gè)半徑為r的細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)的圓心與導(dǎo)體球心的連線長為a (aR)，且與環(huán)面垂直，如圖復(fù)13 - 4所示。已知環(huán)上均勻帶電，總電量為q ，試問：1、當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，球上感應(yīng)電荷總電量是多少？2、當(dāng)導(dǎo)體球不接地而所帶總電量為零時(shí)，它的電勢(shì)如何？3、當(dāng)導(dǎo)體球的電勢(shì)為時(shí)，球上總電

3、荷又是多少？4、情況3與情況1相比，圓環(huán)受導(dǎo)體球的作用力改變量的大小和方向如何？5、情況2與情況1相比，圓環(huán)受導(dǎo)體球的作用力改變量的大小和方向如何？注已知：裝置不變時(shí)，不同的靜電平衡帶電狀態(tài)可以疊加，疊加后仍為靜電平衡狀態(tài)。五、有一個(gè)用伸縮性極小且不漏氣的布料制作的氣球（布的質(zhì)量可忽略不計(jì)），直徑為d = 2.0米。球內(nèi)充有壓強(qiáng)=1.005×帕的氣體。該布料所能承受的最大不被撕破力為= 8.5×牛頓/米（即對(duì)于一塊展平的1米寬的布料，沿布面而垂直于布料寬度方向所施加的力超過8.5×牛頓時(shí)，布料將被撕破）。開始時(shí)，氣球被置于地面上，該處的大氣壓強(qiáng)為=1.000

4、15;帕，溫度= 293開。假設(shè)空氣的壓強(qiáng)和溫度均隨高度而線性地變化 ，壓強(qiáng)的變化為= - 9.0 帕/米，溫度的變化為= - 3.0×開/米，問該氣球上升到多高時(shí)將破裂？假設(shè)氣球上升很緩慢，可認(rèn)為球內(nèi)溫度隨時(shí)與周圍空氣的溫度保持一致。在考慮氣球破裂時(shí)，可忽略氣球周圍各處和底部之間空氣壓強(qiáng)的差別。六、有七個(gè)外形完全一樣的電阻，已知其中六個(gè)的阻值相同，另一個(gè)的阻值不同。請(qǐng)按照下面提供的器材和操作限制，將那個(gè)阻值不同的電阻找出，并指出它的阻值是偏大還是偏小，同時(shí)要求畫出所用電路圖，并對(duì)每步判斷的根據(jù)予以論證。提供的器材有：電池。一個(gè)僅能用來判斷電流方向的電流表（量程足夠），它的零刻度在刻

5、度盤的中央，而且已知當(dāng)指針向右偏時(shí)電流是由哪個(gè)接線柱流入電流表的。導(dǎo)線若干。操作限制：全部過程中電流表的使用不得超過三次。第十三屆全國物理競(jìng)賽復(fù)賽試題解答一、在各段電路上，感應(yīng)電流的大小和方向如圖復(fù)解13 - 1所示電流的分布，已考慮到電路的對(duì)稱性，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律，對(duì)半徑為的圓電路，可得 k = 2+ 對(duì)等邊三角形三個(gè)邊組成的電路，可得3k / 4 = 2+ 2對(duì)由弦AB和弧AB構(gòu)成的回路，可得（-3/ 4）k / 3 = - 考慮到，流進(jìn)B點(diǎn)的電流之和等于流出B點(diǎn)電流之和，有 + = + 由含源電路歐姆定律可得 - = k /3 - 由以上各式及題給出的 = 2 / 3可解

6、得 - = - k / 32二、解法一：1、分析和等效處理根據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為= arcsin ( 1 / n ) 注意到物長為4mm，由光路可估算，進(jìn)入棱鏡的近軸光線在斜面上的入射角大多在左右，大于臨界角，發(fā)生全反射。所以對(duì)這些光線而言，棱鏡斜面可看成是反射鏡。本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉直”如圖復(fù)解13 2 - 1所示?，F(xiàn)在，問題轉(zhuǎn)化為正立物體經(jīng)過一塊垂直于光軸、厚度為6cm的平玻璃板及其后的會(huì)聚透鏡、發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置；厚平玻璃板將使物的近軸光線產(chǎn)生一個(gè)向右側(cè)移動(dòng)一定距離的像，它成為光學(xué)系統(tǒng)后面部分光路的物，故可稱為側(cè)移的物。利

7、用沿光軸的光線和與光軸成角的光線來討論就可求出這個(gè)移動(dòng)的距離。設(shè)軸上的物點(diǎn)為B。由于厚平玻璃板的作用（即側(cè)移的物點(diǎn)）為B（如圖復(fù)解13 2 - 2所示）。畫出厚平玻璃板對(duì)光線的折射，由圖可知 l = d（ctg）而 d = D（tg- tg）所以 l = D（1 tg/ tg）當(dāng)為小角度時(shí) tg/ tgsin/ sin= 1/n 故得 l = D（1 1 / n）= 2 cm這也就是物AB與它通過厚玻璃板所成的像之間的距離。這個(gè)像對(duì)透鏡來說就是物，而物距 = （6 2 ）+ 6 + 10 cm = 20 cm可見，物正好在的左方焦平面上，像距即為= 。再考慮透鏡，這是平行光線入射情形，= 。所

8、以必須成像于這個(gè)發(fā)散透鏡左側(cè)的焦平面上（虛像） = = - 10 cm整個(gè)光路的最后成像位置就是在的左側(cè)10 cm處。3、求像的大小和虛、實(shí)、正、倒情況：可用作圖法求解，如圖復(fù)解13 2 - 3所示（為了圖示清楚圖中把物高加大了）。 連接并延長， 便得到發(fā)自的光線經(jīng)后的平行光線的方向。過的光心作的平行線，它與交于C點(diǎn)，則C即為從發(fā)出經(jīng)過折射后又通過光心的光線。反向延長C與左側(cè)焦平面的交點(diǎn)就是由與所成的像點(diǎn)。 令左側(cè)焦面與光軸的交點(diǎn)為。就是的像，這是一個(gè)正立的虛像。由圖可得 = tg = tg而與AB等高，所以像的大小為 = （ / ）= 2 mm解法二：關(guān)于物體AB經(jīng)棱鏡（折射，反射，折射）后

9、，所成像的位置及大小可采用視深法處理。如圖復(fù)解13 2 - 4所示，AB發(fā)出的、與PQ面近乎垂直的小光束經(jīng)PQ面折射后成像于這是視深問題。、與PQ面的距離均為A、B與PQ面的距離的n倍，即 = n = （像與物的大小相同） 經(jīng)PR面的反射成像于，大小不變，且 經(jīng)QR面后折射成像于，大小不變，且 = =（6 / 1. 5 + 6）cm = 10 cm 由此即可求出這個(gè)像作為透鏡的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。三、由對(duì)稱性可知，C點(diǎn)的速度也必沿CA方向，設(shè)其大小為。D的速度可以分解為平行于v和垂直于v的分速度，其大小分別設(shè)為。同樣，B的速度也類似地分解為平行和垂直于v的二個(gè)分速度 ，其大小

10、設(shè)為 ，如圖復(fù)解13 - 3所示，根據(jù)對(duì)稱性，必有 由于繩子不可伸長，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度 一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即 另一方面，設(shè)繩子AD給質(zhì)點(diǎn)D的沖量的大小為，繩子DC給質(zhì)點(diǎn)C沖量大小為。注意到繩子DC給質(zhì)點(diǎn)D的沖量的大小同樣也是（各沖量的方向均沿繩子方向）。由對(duì)稱性還可以判定，繩子AB給質(zhì)點(diǎn)B的沖量的大小也是，繩子BC給質(zhì)點(diǎn)B和C的沖量的大小都是，根據(jù)動(dòng)量定理，可分別列出關(guān)于質(zhì)點(diǎn)D平行和垂直于v的方向以及質(zhì)點(diǎn)C平行于v方向的關(guān)系式如下： 由（3）（7）式可解出本題所需的 、 據(jù)此結(jié)果和（1）、（2）式，此系統(tǒng)的總動(dòng)量為 ， 方向沿CA方向。此系統(tǒng)

11、的總動(dòng)能為 四、1、見圖復(fù)解13 4 。導(dǎo)體是一個(gè)等勢(shì)體，所以導(dǎo)體球接地（= 0 ）時(shí)，對(duì)于球心點(diǎn)有 = = 0 （1）另一方面，可以直接計(jì)算球心點(diǎn)的電勢(shì)。因?yàn)樗懈袘?yīng)電荷都分布在球面上，它們到球心的距離都是R，而圓環(huán)上電荷到球心的距離都是，所以= K/ R + Kq / （2）式中就是要求的感應(yīng)電荷總量。由（1）、（2）兩式即得 = - Rq / （3）2、導(dǎo)體球不接地時(shí)，其電勢(shì)可通過對(duì)球心的電勢(shì)計(jì)算而求得：= = K/ R + K q （4）式中表示分布在球面上所有電荷的代數(shù)和，而導(dǎo)體球體內(nèi)是不會(huì)有電荷分布的。由于題給導(dǎo)體球?yàn)殡娭行裕? 0，所以由（4）式得= K/ （5）3、導(dǎo)體球的電

12、勢(shì)為時(shí)，再以球心點(diǎn)考慮：= = （6）而另一方面，球心的電勢(shì)是球面上電荷和圓環(huán)上電荷分別產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加： = K/ R + K q （7）導(dǎo)體球的總電荷就是球面上的電荷總量，由（6）、（7）兩式解得 = = R/ K - Rq （8）4、對(duì)比（8）式和（3）式可知，情況3 比情況 1 只是在導(dǎo)體球上多了電荷R/ K，而導(dǎo)體球的電勢(shì)相應(yīng)地由零變?yōu)椤？梢栽O(shè)想從情況 1 出發(fā)，把導(dǎo)體球與地?cái)嚅_而維持原來的大小及分布不變，再把電荷 R/ K均勻地加到球面上，正是它使球的電勢(shì)變?yōu)椋闯蔀榍闆r3。對(duì)于球外的圓環(huán)來說，這些加上的電荷對(duì)它的作用力相當(dāng)于集中在球心處的等量點(diǎn)電荷對(duì)它的作用力，這也就是圓環(huán)受到的

13、作用力。由于圓環(huán)上的電荷均勻發(fā)布，對(duì)圓環(huán)中心到球心的連線具有軸對(duì)稱性，把圓環(huán)上各線元電荷受到上述等效點(diǎn)電荷的作用力沿二心連線方向的分量相加，就是圓環(huán)多受到的作用力。所以，其方向是沿二心向外（圖中向右）。大小是 F = K （9）5、可直接應(yīng)用情況4的結(jié)果，只是現(xiàn)在把（9）式中的用情況2中的值，即將（5）式代入即可。所以，情況2比情況1圓環(huán)多受的力方向仍為沿二心連線向外（圖中向右），大小是 五、當(dāng)氣球充滿氣體而球內(nèi)壓強(qiáng)大于球外時(shí)，布料即被繃緊，布料各部分之間產(chǎn)生張力，正是這種張力可能使布料被撕裂。設(shè)想把氣球分成上下兩個(gè)半球，它們的交線是一個(gè)直徑為d的圓周，周長為d，所以要從這條交線處撕破氣球，至

14、少需要的張力為，另一方面，考慮上半球（包括半球內(nèi)的氣體）受力的情況，它受到三個(gè)力作用：1、下半球的球面布料所施加的張力F；2、上半球外空氣對(duì)它的壓力的合力，其大小為，是氣球所在高度處的大氣壓強(qiáng)；3、下半球內(nèi)氣體對(duì)它的壓力為，式中p為氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。忽略浮力時(shí)，上述三力相互平衡，即 = + F而當(dāng)F 時(shí)，布料即被撕裂，所以，氣球破裂的條件是 （1）設(shè)氣球破裂發(fā)生在高度h處，則 （2）而該處溫度 （3）這個(gè)溫度也就是破裂時(shí)氣球內(nèi)氣體的溫度。又因?yàn)闅馇蛟谏仙^程中球內(nèi)氣體是等容變化，所以有 p / T = 即 p = （4）（2）、（4）和（3）式代入（1）式，得h 即所球上升到高度以上就將破裂。

15、 六判斷所用電路如圖復(fù)解13 6 。a 、b 、c、d為四個(gè)電阻。P、Q間可接電流計(jì)，由電流計(jì)中電流I的方向可判斷出P、Q兩點(diǎn)中哪一點(diǎn)的電勢(shì)較高?？赡艹霈F(xiàn)下列三種情況：1、I = 0，這表示四個(gè)電阻的阻值相等。2、I從P到Q，這表示P點(diǎn)電勢(shì)較高，a 、b 、c、d中有一電阻偏大或偏小。有下列四種可能：b偏大；c偏大；a偏??；d偏小。3、I從Q到P，這表示P點(diǎn)電勢(shì)較低，有四種可能；a偏大；d偏大；b偏??；c偏小。應(yīng)采取的實(shí)驗(yàn)步驟和判斷：設(shè)7個(gè)電阻為、，阻值相同的稱為正常電阻，阻值不同的那個(gè)為特異電阻。第一次測(cè)量：將、分別接入a 、b 、c、d位置，這時(shí)可有以下三種情況：情況A：I向下，則有四種可

16、能：大；大；小；小。情況B：I向上，則有四種可能：大；大；?。恍?。情況A和情況B中，其余三個(gè)電阻、均正常。情況E：I = 0，這時(shí)，、正常，特異電阻在、中。第二次測(cè)量：若情況A或情況B成立，進(jìn)行第二次測(cè)量時(shí)將、對(duì)調(diào)，即將、分別接入a 、b 、c、d位置。這時(shí)可能有以下兩種情況情況C：I向下，則有四種可能：大；大；小；小情況D：I向上，則有四種可能：大；大；?。恍∪羟闆rE成立，特異電阻在、，第二次測(cè)量取其中兩個(gè)，例如、放于電路中a 、b位置，c、d位置用正常電阻，則有三種情況：情況F：I向下，則有二種可能：小；大；情況G：I向上，則有四種可能：??；大；情況H：I = 0，這時(shí)，、均正常，特異電阻即為前二次測(cè)量分析：若情況A、C成立，則只有兩個(gè)可能：?。淮?。若情況A、D成立，則只有兩個(gè)可能：?。淮?。若情況B、C成立，則只有兩個(gè)可能：?。淮?。若情況B、D成立，則只有兩個(gè)可能：??；大。若情況E、F成立，則只有兩個(gè)可能：?。淮蟆Ｈ羟闆rB、G成立，則只有兩個(gè)可能：??；大。若情況E、F成立，則只有一個(gè)可能：即為特異電阻，偏大抑或偏小待定。第三次測(cè)量：無論以