平面任意力系的平衡

1、1 2-4.平面任意力系的平衡條件與平衡方程平面任意力系的平衡條件 平面任意力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零.FR = 0MO = 0一. 平面任意力系的平衡方程(a) 基本形式（一力矩式）基本形式（一力矩式） Fxi = 0 Fyi = 0 mo(Fi) = 02(b)二力矩式投影軸x不能與矩心A和B的連線垂直.(c)三力矩式三個矩心A ,B 和 C不在一直線上.mA(Fi) = 0mB(Fi) = 0Fxi= 0mA(Fi) = 0mB(Fi) = 0mC(Fi) = 03三力矩式三力矩式條件：條件：A,B,C不在不在 同一直線上同一直線上三個獨立方程，只

2、能求出三個未知數(shù)。0iXF0iYF0)(iOFm基本形式基本形式二力矩式二力矩式條件：條件：x 軸不軸不 AB 連線連線兩投影軸可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任選，不一定坐標(biāo)原點（因為主矢等于零，主矩與簡化中心的位置無關(guān)）。采用那種形式，先列那個方程，應(yīng)以簡便為原則。mA(Fi) = 0mB(Fi) = 0Fxi= 0mA(Fi) = 0mB(Fi) = 0mC(Fi) = 04例題2-3. 在水平梁AB上作用一力偶矩為m 的力偶,在梁長的中點C處作用一集中力P它與水平的夾角為, 如圖所示.梁長為 l 且自重不計.求支座A和 B的反力.l /2l /2ABCmP 5解:取水平梁AB為研究對

3、象畫受力圖.FAxFAyFxi = 0FAx - P cos = 0FAx= P cos mA(Fi) = 0sin21PlmFB0sin21lFlPmBFyi = 0FAy - P sin + FB = 0sin21PlmFAyl /2l /2ABCmP FB6O O P PA AF FB BB BF FD DD D (b)(b)J JF FD DK KF FB BP PI I (c)(c)解：解法一：解：解法一：(1) (1) 取制動蹬取制動蹬ABD ABD 作為研究對象。作為研究對象。(2) (2) 畫出受力圖。畫出受力圖。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)

4、(a)(3) (3) 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出P P、F FB B 和和F FD D 的閉和的閉和力力三角形。三角形。例題例題2 2 圖示是汽車制動機構(gòu)的一部分。司機踩到制動蹬上的圖示是汽車制動機構(gòu)的一部分。司機踩到制動蹬上的力力P P=212N=212N，方向與水平面成，方向與水平面成 =45=45 角。當(dāng)平衡時，角。當(dāng)平衡時，BEBE水平，水平，ADAD鉛直，試求拉桿所受的力。已知鉛直，試求拉桿所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 點點E E在鉛直在鉛直線線DADA上上 ，又，又B B、E E、D D都是光滑鉸鏈，機構(gòu)的都是光滑鉸鏈，機構(gòu)的自重不計自

5、重不計。7cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPFBsin180sin （5 5） 代入數(shù)據(jù)求得：代入數(shù)據(jù)求得： F FB B=750 N=750 N。（4 4）由幾何關(guān)系得：）由幾何關(guān)系得： 由力三角形可得：由力三角形可得：P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)O O P PA AF FB BB BF FD DD D (b)(b)J JF FD DK KF FB BP PI I (c)(c)8列出平衡方程：列出平衡方程：00yxiiFF 045sinsin 0cos45cosDBPFFPFD聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得N750BFO

6、 O4545P PF FB BF FD DD D (b)(b)x xy y 969. 0cos , 243. 0sin 214又又解法二：解法二：建立圖示坐標(biāo)系建立圖示坐標(biāo)系9例題2-4.圖示的鋼筋混凝土配水槽,底寬1m,高0.8m ,壁及底厚10cm水深為50cm.求1m長度上支座的約束反力.槽的單位體積重量( = 24.5kn/m.)0.5m0.8m1mABC10解:取水槽為研究對象畫受力圖.FAxW1 = 24.5110.1 = 2.45 kNW2 = 24.510.70.1 = 1.715 kNF = 0.5(19.80.5) 0.51 = 1.225 kNW = (19.8)10.9

7、 0.5 = 4.41 kN315 .032d0.5m0.8m1mABC0.5mFAymAW1W2Fd0.45mW0.45m11利用平衡方程求解:FAx + F = 0FAx = - 1.225 kNFyi= 0FAt - W - W1 - W2 = 0FAy= 8.575 kNmA(Fi) = 0mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0mA = 5.043 kN.m Fxi = 0FAx0.5m0.8m1mABC0.5mFAymAW1W2Fd0.45mW0.45m12例題2-5. 一容器連同盛裝物共重W=10kN,作用在容器上的風(fēng)荷載q=

8、1kN/m,在容器的受力平面內(nèi)有三根桿件支承.求各桿所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o13解:桿件AD,AC和BC都是二力桿.取容器為研究對象畫受力圖QFADFACFBCQ = 12 = 2 kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m14利用平衡方程求解:-21 - 101 - FBC cos30o2 = 0FBC = - 6.928 kNmA(Fi) = 0QFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m15mC(Fi) = 0102 - 2(1+2 cos30o) + FAD 4 cos30o = 0FAD = - 4

9、.196 kNQFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m16mE(Fi) = 02 (2 cos30o -1) + 2 FAC = 0FAC = - 0.732 kNQFADFACFBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m17平面一般力系的解題步驟：1.選取研究對象2.畫受力圖3.選投影軸及矩心：盡可能使投影軸與力特別是未知力垂直盡可能使投影軸與力特別是未知力垂直，矩心盡可能選在力特別是未知力的交點上，矩心盡可能選在力特別是未知力的交點上，以使每個方程中的未知量的數(shù)目最少。4.列方程求解：應(yīng)先列只含一個未知量的方程，避免解聯(lián)立方程。此外，計

10、算力矩時要善于應(yīng)用合力矩定理。18二、平面匯交力系的平衡方程二、平面匯交力系的平衡方程1F2FnFOxy圖示平面匯交力系，取匯交點O為簡化中心，則 0)(iOFm于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面匯交力系的平衡方程：FXi=0FYi=019三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程圖示平行力系，1F2FnFxy取如圖所示直角坐標(biāo)系，則FXi0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：FYi=0 0)(iOFm基本形式 0)(iAFm 0)(iBFm二力矩式OAB連線不能平行連線不能平行 于各力的作用線于各力的作用線20四、平面力偶系的平衡

11、方程四、平面力偶系的平衡方程因為力偶在任一軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，即FXi0FYi0所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：mi=021 例例66 在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmm02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶距為根據(jù)mi=0有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。22 2-7.靜定與靜不定問題.物體系統(tǒng)的平衡(1)靜定與靜不定問題 對每

12、一種力系而言對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨立平若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目衡方程的數(shù)目.則應(yīng)用剛體靜力學(xué)平衡的理論則應(yīng)用剛體靜力學(xué)平衡的理論,就可以求就可以求得全部未知量得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題這樣的問題稱為靜定問題. 若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目.則單則單獨應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論獨應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論,就不能求出全部未知量就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題這樣的問題稱為靜不定問題.(2)物體系統(tǒng)的平衡23 物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng).解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系

13、統(tǒng)由幾個物體組成.(b)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個 體為研究對象進行受力分析并畫受力圖.(c)列平衡方程并解出未知量24例題4-7.三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示.已知: F =20kN,均布荷載q = 4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力.1m2m2m3mABCqF25解:取整體為研究對象畫受力圖.FAxFAyFBxFBymA(Fi) = 0- 4 3 1.5- 20 3+ 4 FBy= 0FBy = 19.5 kNFyi = 0FAy - 20 + 19.5 = 0FAy = 0.5 kN1m2m2m3mABCqFFxi = 043+FAx+FBx = 0 (1)26取B

14、C為研究對象畫受力圖.FCxFCy1m3mBCFFBx19.5kNmC(Fi) = 0-120 + 219.5 + 3 FBx = 0FBx = - 6.33 kN (2)把(2)式代入(1)式得:FAx = - 5.67 kN27例題4-8.組合梁ABC的支承與受力情況如圖所示.已知 :F= 30kN, Q = 20kN, = 45o.求支座A和C的約束反力.2m2m2m2m FQABC28解:取整體為研究對象畫受力圖.Fxi = 0FAx - 20 cos45o = 0FAx = 14.14 kN Fyi = 0 FAy - 30 - 20 sin45o + FC = 0 (1)2m2m2

15、m2m FQABCFCFAxFAymAmA(Fi) = 0mA - 230 - 620sin45o +8FC = 0 (2)29取BC桿為研究對象畫受力圖.2m2mQBCFBxFByFCmB(Fi) = 0- 220sin45o +4FC = 0FC = 7.07 kN (3) 把(3)式分別代入(1)和(2)式得:FAy = 37.07 kNmA = 31.72 kN.m30例題4-9.構(gòu)架的尺寸及所受荷載如圖所示.求鉸鏈E和F的約束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N31解:取整體為研究對象畫 受力圖.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NFAxFA

16、yFBFxi = 0-FAx + 500 = 0FAx = 500 N32取AEGC桿為研究對象畫受力圖.2m2m2mACEG500N500NFAyFExFGxFEyFGymG(Fi) = 02500 - 2 FEx + 4500 = 0FEx = 1500 N33 取DEF桿為研究對象畫受力圖.FEyFFxFFy1500NFxi = 0FFx - 1500 = 0FFx = 1500 NmE(Fi) = 02500 + 2FFy = 0FFy = - 500 NFyi = 0- 500 - FEy + (-500) = 0FEy = - 1000 N500N2m2mDEF2m2m2mACEG500N500NFAyFExFGxFEyFGy34例題4-10.求圖示構(gòu)架在水平力F作用下支座A和B的約束反力.FaaaaABCDEFGH35解:取整體為研究對象.FaaaaABCDEFGH36畫整體受力圖.FAxFBxFBymA(Fi) = 02aFBy - 2aF = 0FBy = FFyi = 0FAy+ F= 0FAy =