排列組合知識概要1

1、做得更準(zhǔn)，寫得更快，知之更高，方法更多，工整有序，學(xué)中生趣，是之?dāng)?shù)學(xué)之思也!專題二十三排列組合知識概要P-Probability 排列C-Combination 組合排列公式Pnm是指，從n個元素取m個進行排列（即有次序排序）。組合公式cnm是指，從n個元素取m個，不進行排列（即無次序分別，不排序）。C一組合數(shù)；P-排列數(shù)；n一元素的總個數(shù)； m參與選擇的元素個數(shù)；！一階乘，如5! =5X 4X 3X2X 1=120 ;3!=3X 2X 1=6。Dm .P n =nX（n-1） x （n-2） x x（nm+1）C mCn =Pnm + m!排列組合知識，廣泛應(yīng)用于實際，掌握好排列組合知識，能

2、幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實際應(yīng)用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結(jié)，以期充分掌握排列組合知識。排列組合解題策略排列組合問題的一般解題規(guī)律 ：1 ）使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”。要 根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”（加法原理），需要分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理”（乘法原理）；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？ “分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不

3、干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成， 分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3）復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖”、“框圖”等手段使問題直觀化， 從而尋求解題途徑， 由于結(jié)果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。4）按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組

4、合），后排列，按元素的性質(zhì)進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積 累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。1 .相臨問題捆綁法。例，7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排 法？解：兩個元素排在一起的問題可用捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有2P66種。2 .不相臨問題一一選空插入法例，7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為5 P66 種。

5、3 .復(fù)雜問題一一總體排除法。 在直接法考慮比較難， 或分類不清或多種時， 可考慮用 “排除法”，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的限制。例，正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個 .解：從7個點中取3個點的取法有C3種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 C3 3個。4 .特殊元素一一優(yōu)先考慮法。對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例， 1名老師和4名獲獎學(xué)生排成一排照像留 念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種.解：先考慮特殊元素（老師）的

6、排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，所以共有3 p：種不同的排法.五、多元問題一一分類討論法，對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最 后總計。例，某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么有多少種不同插法。 解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有P62種；2.相臨：共有P22X P；種。故不同插法的種數(shù)為：P2+P22xP61種。六.混合問題一一先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素， 后進行排列的策略.例，從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別

7、種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植， 不同的種植方法共有 （）。解:先選后排，分步實施.由 題意，不同的選法有：C2種，不同的排法有：P； x P22,故不同的種植方法共有 c2xP；xP22 種。總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序 組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要 求的排列組合數(shù)。勤能補拙，練可達通，學(xué)而廣博10基本訓(xùn)練計算P54

8、=P63 =P100 =P44Pi5=P14- *2 P10+3P； =P；XP21 =C4 =C；Ci200 =C：C50=Cl5 =Cw-c84 =2C；0 + 3C； =C5 .c 38 -8 =c：xc2=二.填空1.完成一項任務(wù)有兩類不同的方法，在第一類方法中有中有5種方法完成，那么完成這項任務(wù)，共有（）2.取1本3.4.5.(6.7.在書架上有4本不同的科技書，5本不同的故事書，（ 同種不同的拿法；任取兩本有（）種不同的拿法。直線上有4個點，以每兩點為端點的線段有（）條。兩次投擲一枚色子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有（4種方法完成，在第二類方法 種方法。3本不同的連環(huán)畫，如果從

9、中任）種。某人到食堂去買飯，主食有四種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有 ）種不同的買法。用0, 1, 2, 3這四個數(shù)，可以組成（）個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書。小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書 200本，不同的小說100本。那么，小明借一本書可以有（）種不同的選法。8.如下圖，從甲地到乙地有 4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走。那么，從甲地到丙地共有（）種走法。9 .從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字5的自然數(shù)有（）個。10 .如下圖，從甲地到乙地有三條路， 從乙地到丙地有三條路， 從甲地

10、到丁地有兩條路, 從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有（）種走法。11 .書架上有 6本不同的畫報和 7本不同的書，從中最多拿兩本（不能不拿），有（）種不同的拿法。12 .在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出（）條直線。（）個三角形。（）個四邊形。13.右圖中有（提高訓(xùn)練）個銳角。1 .某鐵路局共有 20個客車站，這條鐵路共需要（）種不同的票價；這條鐵路共需要（）種不同的車票。2 .如下圖中，沿線段從點 A走最短的路線到 B,各有（）（）種走法。BBAA3 .在11000的自然數(shù)中，一共有（）個數(shù)字0。4 .在1500的自然數(shù)中，不含數(shù)字 0和1的數(shù)有（）個。5 .書架

11、上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本, 有（）種不同的取法。6 .由數(shù)字3、4、5、6、7、8共可組成（）個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)。7 .從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張， 做兩個一位數(shù)乘法。 如果其中的“6” 可以看做“ 9”，那么共有（）種不同的乘積。8 .從分別寫有3、4、5、6、7、8的六張卡片中任取三張，做三個一位數(shù)的乘法。如果 其中的“ 6”不能看做9,那么共有（）種不同的乘積。9 .有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個：三位數(shù)？（）三位偶數(shù)？（）沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？（）百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（）百位為8的沒有重復(fù)

12、數(shù)字的三位偶數(shù)？（）10 .有13個隊參加籃球比賽，比賽分兩個組，第一組七個隊，第二組六個隊，各組先 進行單循環(huán)賽（即每隊都要與其他各隊賽一場），然后由各組的前兩名共四個隊再進行單循環(huán)賽決定冠亞軍。問：共需要（）場比賽。11 . 一個口袋中有4個球，另一個口袋中有6個球，這些球顏色各不相同。 從兩個口袋 中各取2個球，共有（）種不同的結(jié)果。12 . 10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有（）種不同的選法。13 . 10個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩個人相鄰，共有（）種不同選法。，以這些點為頂點，可以畫出（14 .直線a, b上分別有4個點和5 個三角形；（）個四邊形。15 .

13、三條平行線上分別有 2、4、3個點 共線。問：以這些點為頂點可以畫出（16 . 4個人站成一排合影留念，有（右圖）,已知在不同直線上的任意三個點都不）個不同的三角形。）種不同的排法。拓展訓(xùn)練1 .王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報名參加學(xué)校運動會的跳遠、跳高、 100米跑、200 米跑四項中的一項比賽。問報名的結(jié)果會出現(xiàn)（）種不同的情形。2 .在前100個自然數(shù)中取出兩個不同的數(shù)相加，其和是3的倍數(shù)的共有（）種不同的取法。3 .張華、李明等七個同學(xué)照相，分別求出在下列條件下有多少種站法：（1） 七個人排成一排；（2） 七個人排成一排，張華必須站在中間；（3） 七個人排成一排，張華、李明必須有一人站

14、在中間；（4） 七個人排成一排，張華、李明必須站在兩邊；（5） 七個人排成一排，張華、李明都沒站在邊上；（6） 七個人排成兩排，前排三人，后排四人；（7） 七個人排成兩排，前排三人，后排四人，張華、李明不在同一排。4 .甲、乙、丙、丁四人各有一個作業(yè)本混放在一起，四人每人隨便拿了一本。問：（1） 甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？（2） 恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？（3） 至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？（4）誰也沒拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？5 .從15名同學(xué)中選5名參加數(shù)學(xué)競賽，分別滿足下列條件的選法各有多少種?（1） 某兩人必須入選；（）（2） 某兩人中至少有一人入選

15、；（）（3） 某三人中入選一人；（）（4） 某三人不能同時都入選。（）6 .學(xué)校乒乓球隊有10名男生，8名女生，現(xiàn)在要選 8人參加區(qū)里的比賽，在下列條件 下，分別有多少種選法？（1） 恰有3名女生入選；（）（2） 至少有兩名女生入選；（）（3） 某兩名女生、某兩名男生必須入選；（）（4） 某兩名女生、某兩名男生不能同時都入選；（）（5） 某兩名女生、某兩名男生最多入選兩人。（）7 .學(xué)校合唱團要從五年級 6個班中補充8名同學(xué)，每個班至少1名，共有（）種不同的抽調(diào)方法。8 .將三個同樣的紅球和四個同樣的白球拍成一排，要求三個紅球互不相鄰，共有多少 種不同的排法？9 .某沿海城市管轄7個縣如下示意

16、圖，這 7個縣的位置如下圖?，F(xiàn)用紅、綠、藍、黑、 紫五種顏色給下圖染色，要求任意相鄰的兩個縣圖不同顏色，共有（）不同的染色方法。AGCF口 11 s10 . 4男2女6個人站成一排合影留念， 要求兩個女的緊挨著排在中間，有（）種不同的排法。11 .小名的兩個衣服口袋里有 13張卡片，每張卡片上分別寫著 1, 2, 3，13如果 從這兩個口袋中各拿出一張來計算它們所寫兩位數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被六整除的乘積共有（）個。12 .用0、1、2、3、7、8六個數(shù)字可以組成（）個能被9整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。13 .這是4X5格一個棋盤，將一個白子和一個黑子放在棋盤線交叉點

17、上，但不能在同 一條棋盤線上，問有（）種不同的放法。14 .甲乙丙丁四個同學(xué)排成一排，從左往有右數(shù)如果甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，那么不同的排法有（）種。15 .用一臺天平和重1、3、9克的祛碼各一個，可稱出（）種不同的重量。16 .如圖，正方形 ACEG的邊界上共有 7個點A、B、C、D、E、F、G,其中B、D、F分別在AC、CE、EG上，以這七個點的4個頂點組成的不同的四邊形有（）個。17 .有四張卡片分別寫著 3、5、9、8它們可以組成（）個不同的四位數(shù)。18 .有四張3分郵票與三張5分郵票，用這些郵票中的一張或若干張能得出（）種不同的郵資。19.甲乙丙三個組

18、，甲組有 6人，乙組有5人，丙組4人，現(xiàn)每組各選一人一起參加會 議，一共有多少種選法；如果三組共同推選一個代表，有（）種選法。20.分母是39的最簡真分數(shù)有（）個。21.分母是1001的最簡真分數(shù)有（）個。計算訓(xùn)練50+50+ 5=120+66=40+6X 5=18X 2+20=48-8 4=15050 + 5=36X2+8=20X 5-25=95+10+ 5=50+2+5=90+10+10=8020X4=60+50+ 5=450150+3=42+14+6=33X 33=750 + 3+7=26X4+8=6X 994+36=96+188X 8=945X8+55X 9=180+98 X 90=1

19、6+9876X 9=34 X 5X 7=18X 5X 4=34X 5X 7=84X2X 7=56X2X15=95X 2X 5=26X 5X 6=32X3X4=48X6X20=38X4X 9=45X 5X4=76X4X2=65X6X11 =50X4X 6=36X 8X 9=74X8X 1137X6X30=綜合訓(xùn)練一、填空題1.用簡便方法計算下列各題：D各彳33121 5(1) 5 + 1T* *+ /+6 4 + i258653 8(2) 1997X 19961996 - 1996X 19971997=(3) 100+99-98- 97+ - +4+3-2-1= .2.右面算式中 A代表, B代

20、表, C代表, D代表 (A、B、弋表一個數(shù)字，且互不相同).做得更準(zhǔn)，寫得更快，知之更高，方法更多，工整有序，學(xué)中生趣，是之?dāng)?shù)學(xué)之思也！A B C D-C D C FKc3 .今年弟弟6歲，哥哥15歲，當(dāng)兩人的年齡和為 65時，弟弟 歲.4 .在某校周長400米的環(huán)形跑道上，每隔 8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備紅旗 面，黃旗面.晶5 .在乘積1X2X3X - X 98X99X 100中，末尾有 個零.星翳b6 .如圖中，能看到的方磚有 塊，看不到的方磚有 塊. 鹿矍物7 .右圖是一個矩形，長為 10厘米，寬為5厘米，則陰影部分面積 為 平方厘米.8 .在已考

21、的4次考試中，張明的平均成績?yōu)?90分(每次考試的滿分是 100分)，為了 使平均成績盡快達到 95分以上，他至少還要連考 次滿分.9 .現(xiàn)有一疊紙幣，分別是貳元和伍元的紙幣.把它分成錢數(shù)相等的兩堆.第一堆中伍 元紙幣張數(shù)與貳元張數(shù)相等；第二堆中伍元與貳元的錢數(shù)相等.則這疊紙幣至少有 元.10 .甲、乙兩人同時從相距 30千米的兩地出發(fā)，相向而行.甲每小時走 3.5千米，乙 每小時走2.5千米.與甲同時、同地、同向出發(fā)的還有一只狗，每小時跑5千米，狗碰到乙后就回頭向甲跑去， 碰到甲后又回頭向乙跑去， 這只狗就這樣往返于甲、 乙之間直到二 人相遇而止，則相遇時這只狗共跑了 千米.二、解答題11

22、右圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中曲線都是湖岸(1)若P點在岸上，則A點在岸上還是水中？(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.若有一點B,他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是奇數(shù)，那么B點在岸上還是水中？說明理由.12 將13000的整數(shù)按照下表的方式排列.用一長方形框出九個數(shù)，要使九個數(shù)的和等于(1) 1997 (2) 2160 (3) 2142能否辦到？若辦不到，簡單 !說明理由.若辦得到，寫出正方框里的最大數(shù)和最小數(shù).二 '13 甲、乙、丙、丁四個人比賽乒乓球，每兩人要賽一場，結(jié)果甲勝了丁， 二，并且甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同，問丁勝了幾場？， 一14 有四條弧線都是半徑為 3厘米

23、的圓的一部分，它們成一個花瓶(如圖).請V.一一你把這個花瓶切成幾塊，再重新組成一個正方形，并求這個正方形的面積.參考答案勤能補拙，練可達通，學(xué)而廣博11做得更準(zhǔn)，寫得更快，知之更高，方法更多，工整有序，學(xué)中生趣，是之?dāng)?shù)學(xué)之思也!基本訓(xùn)練1 .120、120、9900、24、30240、2730、3360、60498、20、12、5、20、4950、1、252、 455、 140、 507、 1、 8;2 .1. 9; 2. 12、66; 3. 6; 4. 12; 5. 20; 6. 18; 7. 450; 8. 11; 9. 404; 10. 17;11. 91; 12. 45、120、210;