初等變換與逆矩陣的初等變換求法

1、線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回一、初等變換一、初等變換二、初等矩陣二、初等矩陣三、求逆矩陣的初等行變換法三、求逆矩陣的初等行變換法初等矩陣的作用、初等矩陣的可逆性初等矩陣的作用、初等矩陣的可逆性下頁(yè)第第5 5節(jié)節(jié) 矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回5.1 5.1 初等變換初等變換 交換第交換第i行與第行與第j行記為行記為rirj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7r2r4 1 5 -1 -1 3 8 -1 1 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，

2、稱(chēng)為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)； (3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回-1 1 3-1 交換第交換第i列與第列與第j列記為列記為cicj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下頁(yè)5.1 5.1 初等變換初等變換 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換. (1)交換

3、矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)； (3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 用數(shù)用數(shù)k乘以第乘以第i行記為行記為kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如下頁(yè)5.1 5.1 初等變換初等變換 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)

4、以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)； (3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 用數(shù)用數(shù)k乘以第乘以第i列記為列記為kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14c3-4 412-4 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下頁(yè)5.1 5.1 初等變換初等變換 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行

5、(列列)； (3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行記為行記為rj+ +kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1r3-3r1 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 0 -7 2 4例如例如下頁(yè)5.1 5.1 初等變換初等變換 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；

6、 (3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列記為列記為cj+ +kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如下頁(yè)5.1 5.1 初等變換初等變換 定義定義1 對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換. (1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)； (2)以數(shù)以數(shù)k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)； (3)把矩陣的某

7、一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 定義定義2 對(duì)單位矩陣對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . =E(2, 4) 例如，下面是幾個(gè)例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c4下頁(yè)5.2 5.2 初

8、等矩陣初等矩陣線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回=E(3(4) 1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4) 1000010000100001E=00401000100000014 c3下頁(yè) 定義定義2 對(duì)單位矩陣對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩陣初等矩陣?yán)?，下面是幾個(gè)例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：階初等矩陣：線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回=Er(2,4(k) 100

9、0010000100001E =010k100000100001r2+kr4=Ec(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4下頁(yè) 定義定義2 對(duì)單位矩陣對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）初等矩陣（或初等方陣）. 初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 5.2 5.2 初等矩陣初等矩陣?yán)?，下面是幾個(gè)例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：階初等矩陣：線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣初等矩陣都是可

10、逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性初等矩陣的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) . E(i(k)-1=E(i(k -1)；E(i, j)-1=E(i, j)； 這是因?yàn)?，初等矩陣的行列式要么為這是因?yàn)?，初等矩陣的行列式要么?,要么為要么為-1,要么為要么為k(k0) . .其逆陣分別為其逆陣分別為:下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 定理定理1 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)m n矩陣矩陣，對(duì)對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣階初等矩陣；對(duì)對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的的右邊

11、乘以相應(yīng)的n 階初等矩陣階初等矩陣.E(1, 2)A= =與交換與交換A的第一行的第一行(列列)與第二行與第二行(列列)所得結(jié)果相同所得結(jié)果相同.AE(1, 2)= = 例如例如，設(shè)設(shè)=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa332313aaa342414aaa下

12、頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回=與第三行與第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得結(jié)果相同所得結(jié)果相同.=例如例如，設(shè)設(shè)=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100010201aaaaaaaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2)A= AE(1,3(2)= 32122aa+

13、33132aa+34142aa+24232221aaaa下頁(yè) 定理定理1 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)m n矩陣矩陣，對(duì)對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣階初等矩陣；對(duì)對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的n 階初等矩陣階初等矩陣.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回5.3 5.3 求逆矩陣的初等變換方法求逆矩陣的初等變換方法定理定理2 若若n階矩陣階矩陣A可逆，則可以通過(guò)可逆，則可以通過(guò)初等初等行行變換變換將將A化為單位矩陣化為單位矩陣. . 證證： 因?yàn)橐驗(yàn)锳可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的

14、第一列不全為的第一列不全為0,不妨設(shè)不妨設(shè)a11 0. .將將A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11 ,再將變換后的第一行的再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:1110,0BA=由定理由定理1 1知，知， 121,mBFF F A=其中其中Fi是對(duì)應(yīng)初等矩陣是對(duì)應(yīng)初等矩陣. .22100100BA= 一直進(jìn)行下去，最終把一直進(jìn)行下去，最終把A化成了化成了單位矩陣單位矩陣E. . 同理可得同理可得B2: 下頁(yè) 即即B2的第二行第二列元素化為的第二行第二列元素化為1,

15、第二列的其它元素全化為零第二列的其它元素全化為零.線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 推論推論 方陣方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積矩陣的乘積. .下頁(yè) 證證 （必要性）假設(shè)（必要性）假設(shè)A可逆，由定理可逆，由定理2，A經(jīng)有限次初等行變換經(jīng)有限次初等行變換可化為單位陣可化為單位陣E , 即存在初等矩陣即存在初等矩陣 sF,F,F21使使 AFFFE12s=11111111121121ssss-=AFFFFEFFFF而而 1111211,-ssFFFF是初等矩陣是初等矩陣. . （充分性）如果（充分性）如果A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，因?yàn)榭?/p>

16、表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，因?yàn)槌醯染仃嚩际强赡娴?，而可逆矩陣的乘積仍然可逆的，所以初等矩陣都是可逆的，而可逆矩陣的乘積仍然可逆的，所以A是可逆矩陣是可逆矩陣. . 線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回利用初等行變換求逆矩陣的方法利用初等行變換求逆矩陣的方法( (要求：熟練掌握要求：熟練掌握) ) 構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè) n2n 矩陣矩陣( (A| |E) )，對(duì)矩陣，對(duì)矩陣( (A| |E) )作初等行變換，當(dāng)作初等行變換，當(dāng)左部左部A變成單位矩陣變成單位矩陣E時(shí)，右部單位矩陣時(shí)，右部單位矩陣E則變成則變成A-1-1. .即即 1- A EE A行變換下頁(yè)EAPPPPmm=-121)|(121EAPPPPmm-1

17、21121(|)mmmmP PP PA P PP PE-=即若即若, ,則則1121,mmP PP PA-=而而)|(1-=AE就是說(shuō)，當(dāng)通過(guò)初等行變換將矩陣就是說(shuō)，當(dāng)通過(guò)初等行變換將矩陣A變成變成E時(shí)，經(jīng)過(guò)同樣的變換把時(shí)，經(jīng)過(guò)同樣的變換把E變成變成了了A-1. .于是有于是有1121-= APPPPmm, ,即即1121,mmP PP PEA-=線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回. ,343122321 1- - = =AA求求設(shè)設(shè)解：解：例例1(1(法法1).1). - - - - - - -103620012520001321 = =100343010122001321EA213123rrrr- -

18、- 若矩陣若矩陣A可逆，則矩陣可逆，則矩陣(A |E)可經(jīng)初等行變換化為可經(jīng)初等行變換化為(E |A- -1).下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回 - - - - - - - - -111100012520011201 - - - - - - -111100563020231001.111253232311 - - - - -= =- -A10013235010322001111- - - - - - - 132325rrrr- - - 1232rrrr+ +- -0.5r2-r3下頁(yè)線性代數(shù)下頁(yè)結(jié)束返回例例2( (法法2)2)求矩陣求矩陣A= 的逆矩陣的逆矩陣.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解解： 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 2 -2 3 0