垂向二階導(dǎo)數(shù)正演原理

1、 方法原理2.1 方法的提出將重力觀測(cè)值轉(zhuǎn)換為重力的一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，也可以使異常成份發(fā)生變化，達(dá)到劃分異常的目的。重力位高階導(dǎo)數(shù)法主要用來突出局部異常，特別是對(duì)體積小、埋藏淺的物體引起的局部異常。用平均場(chǎng)法等方法效果較差，但用高階導(dǎo)數(shù)可以得到良好的效果。此外，高階導(dǎo)數(shù)法也是重力位場(chǎng)變中應(yīng)用很廣泛的方法之一，它從另一個(gè)方面，對(duì)重力異常解釋提供新的信息，豐富我們對(duì)重力異常的認(rèn)識(shí)。2.2 方法原理2.2.1 方法的實(shí)質(zhì)重力異常場(chǎng)在場(chǎng)源外滿足拉普拉斯方程。據(jù)此可將重力垂向二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求取沿x、y兩個(gè)方向的二階導(dǎo)數(shù)，即： （2-1）重力高階導(dǎo)數(shù)解釋法的實(shí)質(zhì)就是在對(duì)重力資料成果進(jìn)行推斷解釋時(shí)

2、，我們不再試圖把實(shí)際觀測(cè)的重力場(chǎng)人為的劃分為區(qū)域場(chǎng)和局部場(chǎng)兩個(gè)組成部分，而是根據(jù)位場(chǎng)的有關(guān)理論，將觀測(cè)場(chǎng)換算為位場(chǎng)的高次導(dǎo)數(shù)。如重力的垂向梯度或垂向二階導(dǎo)數(shù)等，在這些換算后的結(jié)果中，同樣包括區(qū)域因素與局部因素兩部分的影響，但二者所占的比重已發(fā)生顯著地變化，即局部因素的影響在位場(chǎng)的較高次導(dǎo)數(shù)中將占有極為顯著地地位，從而可以突出地表現(xiàn)出來。設(shè)球體的質(zhì)量為M，球體的中心埋深為Z，球體的各階導(dǎo)數(shù)極大值如下列各式所示: （2-2） （2-3） （2-4） （2-5）質(zhì)量相等的物體,埋深分別為0.5Z、Z和2Z的時(shí)候，引力位各階導(dǎo)數(shù)的極值之比為: （2-7） （2-7） （2-8）由式子（2-2）到（2-

3、8）可得：（1）同一埋深的高階導(dǎo)數(shù)衰減更快。（2）同次導(dǎo)數(shù)，不同埋深，高階導(dǎo)數(shù)的差別更大，也就是說高階導(dǎo)數(shù)對(duì)深度的變化最敏感。這兩點(diǎn)都說明，埋深大的地質(zhì)體引起的高階導(dǎo)數(shù)異常是非常小的，或者說埋深大的地質(zhì)體基本上不引起高階導(dǎo)數(shù)的異常，只有埋深小的地質(zhì)體才能引起明顯的高階導(dǎo)數(shù)異常。當(dāng)場(chǎng)源埋深不同的地質(zhì)體共同引起的異常換算成以后，埋深大的場(chǎng)源引起的幾乎衰減殆盡，埋深小的場(chǎng)源引起的也衰減，但相對(duì)于埋深大的來說，衰減小很多，因而埋深小的高階導(dǎo)數(shù)異常得到相對(duì)突出，一般區(qū)域場(chǎng)由埋深較大的地質(zhì)體引起，將異常換算成以后，區(qū)域場(chǎng)基本上衰減完，局部異常得到相對(duì)突出，所以，在一定的意義上說，高階導(dǎo)數(shù)異常就是局部異常。

4、這也是高階導(dǎo)數(shù)劃分區(qū)域異常和局部異常與其他劃分異常方法的不同之處。2.2.2 基本原理在重力勘探中所講的重力異常就是地質(zhì)體的剩余質(zhì)量所產(chǎn)生的引力在重力方向的分量，若地質(zhì)體的密度小于圍巖密度，則剩余密度為負(fù)值，剩余質(zhì)量也為負(fù)值。residual density 地質(zhì)體密度()和圍巖密度(0)的差值，稱為剩余密度。residual mass 地質(zhì)體的剩余密度和它體積的乘積稱為地質(zhì)體的剩余質(zhì)量。圖2-1 計(jì)算地質(zhì)體重力異常示意圖要計(jì)算某個(gè)地質(zhì)體產(chǎn)生的重力異常，可以根據(jù)牛頓萬有引力公式來計(jì)算，通常是計(jì)算地質(zhì)體的剩余質(zhì)量產(chǎn)生的引力位，然后再求天虎引力位重力方向的導(dǎo)數(shù)，其方法如下：以地面上某一點(diǎn)O作為坐標(biāo)

5、原點(diǎn)，Z軸垂直向下，X,Y軸在水準(zhǔn)面上。若地質(zhì)體與圍巖的密度差為，地質(zhì)體內(nèi)任一體積單元，其坐標(biāo)為，其剩余質(zhì)量為，令計(jì)算點(diǎn)為(x,y,z),剩余質(zhì)量單元到計(jì)算點(diǎn)的距離為r,則，則地質(zhì)體剩余質(zhì)量在計(jì)算點(diǎn)A處產(chǎn)生的引力位為： (2-9)因?yàn)閆的方向即為重力方向，所以重力異常就是剩余質(zhì)量引力位沿Z方向的導(dǎo)數(shù)，即為： (2-10)由此可以推到出重力異常水平梯度和垂向梯度的計(jì)算公式： (2-11) (2-12) (2-13)對(duì)于地下的復(fù)雜形體，由于地質(zhì)體的形狀、構(gòu)造和剩余密度各異，怎么選擇一個(gè)合適的模型進(jìn)行模擬計(jì)算不僅關(guān)系到對(duì)地質(zhì)體的形狀和空間位置的確定，而且關(guān)系到工作的效率。對(duì)于礦巢、巖珠及近似等軸狀的

6、地質(zhì)體，都可以近似的看做球體。球體半徑為R，埋藏深度為h，取其中心在地面的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z軸垂直向下，X,Y軸水平。根據(jù)場(chǎng)論的知識(shí)，質(zhì)量均勻分布的球體，對(duì)于外部空間各點(diǎn)的引力位，等于全部質(zhì)量集中于求新的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的情況，即： (2-14)式中：，為球體的體積，為點(diǎn)(x,y,z)的引力位，為球體與圍巖的密度差。因?yàn)榘亚蝮w看作質(zhì)點(diǎn)，所以，又因?yàn)槲覀冄刂鳻(Y=Z=0)方向觀測(cè)，即： (2-15)將上述各量代入（2-14)得:球體重力異常： (2-16)球體重力異常垂向二階導(dǎo)數(shù)： (2-17)的換算已知在場(chǎng)源外部，引力位是空間坐標(biāo)的調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程 (2-18)對(duì)于,由于 (2-19)所以在

7、場(chǎng)源外部空間有： (2-20)其中：， ， (2-21)代入解得：至今，導(dǎo)出的計(jì)算公式很多，然而基本原理相似，下面具體介紹幾個(gè)常用公式。若用符號(hào)表示以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，R為半徑的一個(gè)圓周上重力異常的平均值，則： (2-22)式中為圓周上某一點(diǎn)的重力值，由于它是坐標(biāo)位置的調(diào)和函數(shù)，因此，當(dāng)R不大時(shí)，可以寫成對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的臺(tái)勞展開式： + + (2-23)考慮到，并將代入直接積分后得： (2-24)其中R為奇次項(xiàng)在積分后代入上、下限時(shí)均已消去。，的表達(dá)式為： (2-25) (2-26) (2-27)這樣，計(jì)算原點(diǎn)0的重力垂向二階導(dǎo)數(shù)的問題，就變成了確定上中的系數(shù)了，求得再乘以(-4),就可得到計(jì)算點(diǎn)

8、的值，即： (2-28)當(dāng)采用不同方法確定系數(shù)時(shí)，就可以得到不同的計(jì)算公式。由上可知，各種公式的推導(dǎo)，其原理一致，都采用級(jí)數(shù)逼近的近似解，只在處理方法上各不相同，從而計(jì)算的效果也不同。羅森巴赫公式在推導(dǎo)中因保留了四次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且是直接解出的，故具有精度較高的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)對(duì)局部干擾也十分敏感，故一般適用于精度較高情況的重力資料處理；而艾勒金斯公式只保留了項(xiàng)，又用最小二乘法求解，起到平滑的作用，故計(jì)算結(jié)果精度較低，異常幅值衰減很大，但受局部干擾的影響也小，因而適應(yīng)精度較低，較平緩的異常的處理。這些公式的取數(shù)點(diǎn)位置見取數(shù)量板圖。圖2-2 計(jì)算的取數(shù)量板 圖 2-3艾勒金斯和羅森巴赫計(jì)算盤板2.2.3 經(jīng)典公式垂向二階導(dǎo)數(shù)法作為一種已經(jīng)成熟的處理方法，前人已經(jīng)做過許多的研究，并且得到許多實(shí)際可靠的公式。其中包括：1.哈克公式 (2-29) 2.艾勒金斯公式艾勒金斯第公式為： (2-30)艾勒金斯第公式： (2-31)艾勒金斯第公式 (2-32)3.羅森巴赫公式 （