培優(yōu)(九年級(jí))第27講——劉凱老師

1、第 27 講 拋物線與直線型（ 3）由動(dòng)點(diǎn)生成面積問題科學(xué)家就是為了解決重大的科學(xué)問題來到世上，絕不是為了受到別人的提拔和獎(jiǎng)勵(lì)才做研究的，從中學(xué)開始，我就自己找困難的幾何問題，尋找自己的數(shù)學(xué)之路。丘成桐知識(shí)縱橫面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念， 關(guān)聯(lián)這平面圖形中的重要元素與角。 由動(dòng)點(diǎn)而生成的面積問題， 是拋物線與直線形結(jié)合的常見形式。 解這類問題常用到以下與面積相關(guān)的知識(shí)：（ 1）圖形的割補(bǔ)；（ 2）等積變形；（ 3）等比變化。例題求解【例 1】 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ -2 ， 0），連接 OA，將線段 OA繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°，得到線段 OB（ 1）

2、求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（ 2）求經(jīng)過 A、 O、B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（ 2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（昆明市中考題）思路點(diǎn)撥對(duì)于（ 3），拋物線的對(duì)稱軸是直線 x1 ，當(dāng)點(diǎn) C 位于的對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC 的周長(zhǎng)為最小，為此需求出直線AB的解析式；對(duì)于（）過點(diǎn)p作y軸4的 平 行 線 交 AB 解 析 式 ； 對(duì) 于 （ 4 ）， 過 點(diǎn) p 作 y 軸 的 平 行 線 交 AB 于 D ， 則1SPAB SPADS PBD2 ( yD yP )( xBxA ) ，代入展開整理得關(guān)于 x 的二次函數(shù)。

3、【例 2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（ 1， 2），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 1），二次函數(shù) yx 2 的圖象記為拋物線 l1 （1）平移拋物線 l1 ，使平移后的拋物線過A，B 兩點(diǎn)，記為拋物線 l 2 ，如圖，求拋物線 l 2的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線 l 2 的頂點(diǎn)為 C， K 為 y 軸上一點(diǎn)若 S ABKS ABC ，求點(diǎn) k 的坐標(biāo)；（威海市中考題）思路點(diǎn)撥（ 1）設(shè) k 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 0, h) ，通過圖形的分割計(jì)算，建立h 的方程；（ 2） K 點(diǎn)必在平行于AB 的直線上，從等積變形入手?！纠?3】 如圖，已知點(diǎn) A（ m,6) 、 B(m,1) 為兩動(dòng)點(diǎn)，其中

4、 0 m 3，連接 OA、 OB， OA OB。（1）求證： mn= 6；（2）當(dāng) S AOB6 時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B 兩點(diǎn)且以y 軸為對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；(3) 在（ 2）的條件下，設(shè)直線 AB交 y 軸于點(diǎn) F，過點(diǎn) F 作直線 l 交拋物線于 P， Q兩點(diǎn)，問是否存在直線l ，使？若存在，求出直線l 對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由。（濰坊中考題）【例 4】如圖，已知拋物線yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2，3）， B（ 6， 1）， C（0， -2 ）（ 1）求此拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式；（ 2）點(diǎn) P是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP CP時(shí)，

5、求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線BC與 x 軸交于點(diǎn)D，點(diǎn) H 是拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)E（t ， n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形 OEDC的面積為 S當(dāng) S 取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)值時(shí)，滿足條件的點(diǎn) E 有兩個(gè)？E 只有一個(gè)？當(dāng)S 取何分析于 t由點(diǎn)的個(gè)數(shù)的探討聯(lián)想到的一元二次方程。（ 2017 年包頭市中考題）“根的判別式” ，解題的關(guān)鍵是尋找n、S 的關(guān)系，并建立關(guān)學(xué)歷訓(xùn)練1如圖，拋物線 y ax2bx (a0）與雙曲線 yk 相交于點(diǎn)A， B已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為x（-2 ， -2 ），點(diǎn) A 在第一象限內(nèi)，且tan AOx =4過點(diǎn) A 作直線 AC x 軸，交拋物線于另一點(diǎn) C（

6、1）求雙曲線和拋物線的解析式；（ 2）計(jì)算 ABC的面積；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn) D，使 ABD的面積等于 ABC的面積？若存在，請(qǐng)你寫出點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由（ 2017 年日照市中考題）(第1題）2如圖，已知直線 y1 x 與拋物線 y1 x26交于 A、B兩點(diǎn)，24（ 1）求 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）求線段 AB 的垂直平分線的解析式；（ 3）如圖 2，取與線段 AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在 A， B兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖 P 在直線 AB上方的拋物線上移動(dòng)， 動(dòng)點(diǎn) P 將與 A，B構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形， 這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如

7、果存在， 求出最大面積， 并指出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由（長(zhǎng)沙市中考題）3. 如圖，拋物線yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、 B（ 3,0 ）、 C（ 0,3 ）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相較于點(diǎn)P、與直線BC相較于M，連接PB。（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使QMB與PMB的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使RPM與RMB的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)R 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（大連市中考題）第 3 題4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax2bxc 與x 軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A 在點(diǎn)B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 E，頂點(diǎn)為 E。（1）若 b=2， c=3，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E 的坐標(biāo)；（2）將（ 1）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形A