含參數(shù)的一元二次不等式的解法與恒成立問題

1、精品文檔含參數(shù)的一元二次不等式的解法含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：一、按 x2 項(xiàng)的系數(shù) a 的符號(hào)分類，即a0, a 0, a0 ;例 1解不等式： ax 2a2 x1 0分析： 本題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，a2 24aa 24 0 ，故只需對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。解：a 2 24a a 24 0解得方程ax 2a2 x10 兩根 x1a2a 24 , x2a2 a242a2a當(dāng) a0 時(shí),解集為x | xa2a24 或 xa2a 242a2a當(dāng) a0時(shí)，不等式為2x10, 解集為x | x12當(dāng) a0時(shí), 解集為x |a2a 24xa2a 242a2a例 2 解不等式 ax25ax

2、6a 0 a 0分析 因?yàn)?a0 ，0 ，所以我們只要討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)。解a(x 25x6)a x2 x30當(dāng) a0 時(shí)，解集為x | x2或 x3 ；當(dāng) a0 時(shí)，解集為x | 2x3變式：解關(guān)于x 的不等式1、 (x 2)(ax2) 0；3、 ax2( a 1) x 1<0( aR)21(1)當(dāng)a時(shí)，,或x1(1)當(dāng) a0時(shí) , x |x20 x | xaa( 2)當(dāng)a時(shí)，1(2)當(dāng) a0時(shí) , x | x 20 x | x12當(dāng)a時(shí)，x(3)當(dāng)0a 1時(shí) , x | x2, 或 x(3)01 x |1aa( 4)當(dāng)a時(shí)，(4)當(dāng) a1時(shí), x | x 2112(5)當(dāng)a時(shí)，x1

3、(5)當(dāng) a1時(shí), x | x, 或 x 21 x |aa二、按判別式的符號(hào)分類，即0,0,0 ；例 3 解不等式 x 2ax40。1歡迎下載精品文檔分析 本題中由于 x 2 的系數(shù)大于 0, 故只需考慮與根的情況。解： a 216當(dāng) a4,4 即0 時(shí)，解集為 R ；當(dāng)a4即 0 時(shí)，解集為且a；x xRx2當(dāng) a4 或 a4 即0 , 此時(shí)兩根分別為 x1aa 216aa 216x2 ,2， x22，顯然 x1不等式的解集為x xaa216 或x aa 21622例 4 解不等式 m21 x 24x1 0 m R解 因 m21 0,( 4)24 m 21 4 3 m2所以當(dāng) m3，即0 時(shí)

4、，解集為x | x1；2當(dāng)3m3 ，即0時(shí)，解集為x x2 3m2或x 23m2；m21m21當(dāng) m3或 m3 ，即0 時(shí)，解集為 R。變式：解關(guān)于x 的不等式：ax2x10當(dāng)a時(shí)，114a或x114a(1)0 x | x2a,2a當(dāng)a時(shí)，1(2)0 x | x當(dāng)0a1 時(shí)，114ax114a(3) x |2a2a4當(dāng)a1 時(shí)，(4)4三、按方程ax 2bxc0 的根 x1 , x2 的大小來分類，即x1x2 , x1x2 , x1x2 ；例 5解不等式x 2(a1 )x 1 0 (a 0)a分析： 此不等式可以分解為：xa (x1 ) 0，故對應(yīng)的方程必有兩解。本題a只需討論兩根的大小即可。

5、2歡迎下載精品文檔解： 原不等式可化為： xa ( x1) 0 ，令 a1，可得： a1aa當(dāng) a 1 或 0 a 1時(shí)， a1x | a x1，故原不等式的解集為；aa1當(dāng) a1 或 a1 時(shí)， a, 可得其解集為；a當(dāng) 1 a0 或 a1 時(shí) , a1, 解集為x | 1x a 。aa例 6 解不等式x25ax6 20， a0a分析 此不等式5224a2a20 ，又不等式可分解為x2a (x3a) 0，故只需比較兩根a2a與 3a 的大小 .解 原不等式可化為：x2a ( x3a)0 ，對應(yīng)方程x 2a ( x3a) 0 的兩根為x12a, x23a ，當(dāng) a f 0 時(shí)，即 2a p 3

6、a ，解集為 x | x3a或 x2a；當(dāng) a0 時(shí)，即 2a f 3a ，解集為x | x2a或x3a7、若關(guān)于 x 的不等式 (2 x 1) 2 ax2 的解集中的整數(shù)恰有3 個(gè)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。（ 25a49 x2916【解析】不等式可化為 (4 ) 4 1 0 ，由于原不等式的解集中的整數(shù)恰有3 個(gè)，所以ax4 a0，解得 0 a 4，故由得1x1，又 111 ，所以解集中的164(4 a)220a2a4a23 個(gè)整數(shù)必為 1,2,3，所以 31 4，解得25 a 492a916一題多解專題一：一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式恒成立問題的兩種解法(1) 分離參數(shù)法 . 把

7、所求參數(shù)與自變量分離 , 轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題 .(2) 不等式組法 . 借助二次函數(shù)的圖象性質(zhì) , 列不等式組求解 .例 1. 設(shè)函數(shù) f ( x)ax 22x2 ，對于滿足1<x<4 的一切 x 值，都有 f(x)>0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .【解析】法一：當(dāng)a>0 時(shí)， f (x)a( x1) 221，由 x (1,4)， f(x)>0得aa111414a1或或aaf (1)a22 0f ( 1 )210f (4) 16a8 2 0aa。3歡迎下載精品文檔a11a1a144 ，所以 a1 或 1a 1，即 a1所以或1或。a0aa32228當(dāng) a&l

8、t;0 時(shí)，當(dāng) a=0 時(shí)，f (1)a 220;f (4)16a8，解得 a2 0f ( x)2x2 ,f(1)=0,f(4)=-6,不合題意 .綜上可得，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是a1。 .2法二：由 f(x)>0,即 ax22 x20 ,x (1,4)，則有 a22x2在(1 ，4) 上恒成立 .x令 g (x)222(11 ) 21，1( 1,1)g( x)maxg (2)1，x2xx22x42所以要使 f(x)>0在 (1,4)上恒成立，只要1即可 .1a故 a 的取值范圍為 a.222. 已知函數(shù)f (x)x3bx2cx1在區(qū)間 ( ， 2 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 2,2 上單調(diào)

9、遞減，且b 0.(1) 求 f(x) 的表達(dá)式；(2) 設(shè) 0<m 2，若對任意的x1、 x2 m 2， m不等式 |f(x1) f(x2)| 16m恒成立，求實(shí)數(shù) m的最小值解析(1) 由題意知 x 2是該函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) . (x) 322，f( 2)0，即 124 0.fxbxcb c又 f ( x) 在 2,2上單調(diào)遞減，f ( x) 3x2 2bxc 在 2,2 上恒有 f ( x) 0. f (2) 0，即 12 4b c 0. 12 4b4b 120. b 0，又 b 0， b 0， c 12， f ( x) x3 12x 1.(2) f ( x) 3x2 12 3( x 2)( x 2) 0< m 2，而當(dāng) m 2 x m時(shí)， 0<m x 2<m 2， m4 x 2m 2 0， f ( x) 0，