高等數(shù)學重積分的應用學習教案

1、會計學1高等數(shù)學重積分的應用高等數(shù)學重積分的應用第一頁，編輯于星期三：七點 四十七分。所求量是 對區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共24頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十七分。 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁/共24頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十七分。內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解

2、: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共24頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十七分。設光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共24頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十七分。故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共24頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十七分。若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁/共24頁第七頁，編輯于星期三

3、：七點 四十七分。被柱面所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁/共24頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十七分。設空間有n個質點,其質量分別由力學知, 該質點系的質心坐標設物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質心 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共24頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十七分。將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第 k 塊上任取一點機動 目

4、錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共24頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十七分。則得形心坐標：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁/共24頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十七分。若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質心坐標為其面密度 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共24頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十七分。和的質心. 解解: 利用對稱性可知而之間均勻薄片機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共24頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十七分。的方程為內(nèi)儲有高為 h

5、的均質鋼液,解解: 利用對稱性可知質心在 z 軸上，采用柱坐標, 則爐壁方程為因此故自重, 求它的質心.若爐不計爐體的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁/共24頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十七分。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共24頁第十五頁，編輯于星期三：七點 四十七分。設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁/共24頁第十

6、六頁，編輯于星期三：七點 四十七分。對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁/共24頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十七分。面密度為則轉動慣量的表達式是二重積分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁/共24頁第十八頁，編輯于星期三：七點 四十七分。解解: 建立坐標系如圖,的轉動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共24頁第十九頁，編輯于星期三：七點 四十七分。解解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則設球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁/共24頁第二十頁，編輯于星期三：七

7、點 四十七分。設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解解: 由對稱性知引力處的單位質量質點的引力. 。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 五、物體的引力五、物體的引力第20頁/共24頁第二十一頁，編輯于星期三：七點 四十七分。( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2001考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共24頁第二十二頁，編輯于星期三：七點 四十七分。記雪堆體積為 V, 側面積為 S ,則(用極坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁/