平面向量空間向量知識點(diǎn)

1、平面向量§2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線段包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度2、向量AB的大小，也就是向量 AB的長度（或稱模），記作A1 ;長度為零的向量叫做 零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）規(guī)定：零向量與任意向量平行.§2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量§2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形加法法則

2、 和平行四邊形加法法則三角形加撫法則平行四邊懸加法法則2、a +b wa §2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義F-1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則三毎理減潼法則§2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義fc-B-1、規(guī)定：實(shí)數(shù)-與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘記作：'a，它的長度和方向規(guī)定如下:當(dāng)/ > 0時， a的方向與a的方向相同；當(dāng).:,0時, a的方向與a的方向相反2、平面向量共線定理：向量a a = 0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使b二§2.3.1、平面向量基本定理1、平

3、面向量基本定理：如果e ,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任 一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)5,2，使a 心 一2e2 §2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示¥>*F1、 a = xi y j 二 x, y §2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)a = Xi, yi ,b = X2,y2 ，則：*F a b = Xi X2, yiy2，f * a - b = X - X2 , yi _ y2 ，-a-廉 y ，*f a / b ：= x1 y2 = x22、設(shè) A Xi, yi , B X2, y2，則：AB a% -Xiy - 

4、7;2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示i、設(shè) A Xi, yi , B X2, y ,C X3, y，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為 寧，¥， 厶ABC的重心坐標(biāo)為（莘岀，上護(hù)3 ）.§.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義f-=p I r1、a b = a b cos 日. I2、 a在b方向上的投影為：a cos日.-2- 23、a = a 4、aV5、§.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)a 二 Xi, yi ,b = X22 ，則: a b = XjX2y1 y2 a _ b= a b 二0= %x2y1y2 =0 a / /b 二 a =，b 二約

5、2x2 % = 02、設(shè) A Xi, yi , B X2, y2 ,則:AB=X2 -X1i 亠 i. y 2 - y 13、兩向量的夾角公式4、n a bcos =db點(diǎn)的平移公式_捲乂2+力丫2Jxj、y12 Jx 22+ y 22平移前的點(diǎn)為P（X,y）（原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點(diǎn)為 P（x；y）（新坐標(biāo)），平移向量為PP =(h,k)，x = x h 則 y = y k.函數(shù)y = f（x）的圖像按向量a=（h,k）平移后的圖像的解析式為y-k=f（x-h）.里.5.1、平面幾何中的向量方法§：.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得

6、.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：若A、B是直線I上的任意兩點(diǎn)，則AB為直線I的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直線垂直于平面：.，則稱這個向量垂直于平面 ：，記作n |，如果n _：,!那么向量n叫做平面：的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法） 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.4 設(shè)平面:-的法向量為n =（x, y, z）.求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)a = (ai, a2,比),n a = 0 根據(jù)法向量定義建立方程組小b = 0 解方程組，取其中一組解，即得平面:-的法

7、向量（如圖）1、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行呻4設(shè)直線Ii,l2的方向向量分別是 a、b ,則要證明li / I2, 即:兩直線平行或重合：二兩直線的方向向量共線。只需證明a / b ,即a = kb(k R).線面平行（法一）設(shè)直線I的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明I / ：,只需證明a _ u ,即 a u = 0 即:直線與平面平行 一直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方 向向量是共線向量即可面面平行若平面的法向量為u ,平面：的法向量為V ,要證/ :,只需證u / v ,即證u

8、 =，V 即:兩平面平行或重合 -兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線J的方向向量分別是 a、b，則要證明hJ，只需證明a b，即a，b=0.即：兩直線垂直 兩直線的方向向量垂直。線面垂直IIII（法一）設(shè)直線I的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明I _ :，只需證明a / u ,（法二）設(shè)直線I的方向向量是a，平面內(nèi)的兩個相交向量分別為m、n,若a m =0 血，則 l - :a n = 0即：直線與平面垂直 二?直線的方向向量與平面的法向量共線：二?直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直若平面二的法向量為u，平面：的法向量為V，要

9、證沱.卩，只需證u _ V，即證u心=0.即：兩平面垂直 一 兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a, b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a, b上的任意兩點(diǎn)，a, b所成的角為二AC BD貝y cos日=略 1AC BDu的夾角為,則二為的余角或的補(bǔ)角 的余角.即有：sin 日=|cos®| =求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分,其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二 面角的面，二面角的平面角是指在二面角-I - 的棱上任取一點(diǎn) O,分別在兩個半平面內(nèi)作射線AO

10、_I,BO _丨，則AOB為二面角-丨- -的平面角.如圖:IO-求法：設(shè)二面角:-1 -B的兩個半平面的法向量分別為m、n，再設(shè)m、n的夾角為,求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角1 1 1求法：設(shè)直線丨的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為二，a與面角二I . I：的平面角為二，則二面角二為m、n的夾角或其補(bǔ)角鼎-：巴根據(jù)具體圖形確定 二是銳角或是鈍角:如果日是銳角，則COST = cosl =即）-arcco 如果日是鈍角，則COST = - COS®| =-m n，即 v - arccos5、利用法

11、向量求空間距離點(diǎn)Q到直線I距離*_離為若Q為直線I外的一點(diǎn)，P在直線I上，a為直線I的方向向量，b =PQ，則點(diǎn)Q到直線I距 h川aiib_（a b）2|a 1點(diǎn)A到平面:-的距離若點(diǎn)P為平面:-外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn),平面的法向量為n，貝U P到平面的距離就等于 MP在法向量n方向上的投影的絕對值n MPn MPn MP直線a與平面:-之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面 的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。n MP兩平行平面:-,-之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離

12、。n Mp|即 d = .n異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線 a,b都垂直，M a,P，b,則兩異面直線 a,b間的距離d就是MP在向量n方向上投影的絕對值。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也6、三垂線定理及其逆定理和這條斜線垂直*P0 丨。，0： |推理模式：PA ：二 A= a _ PAa 二：£,a _ 0A概括為：垂直于射影就垂直于斜線 .三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.P0 _ ： ,0 二j推理模式：二A = a_AOa _：i,a_AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影 .7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線, 垂足為D.設(shè)AB與（AD）所成的角為為 V .貝U cos - COS 片 COS 門2 .AD円,是的一條斜線 AB在內(nèi)的射影，且BD丄AD ,AD與AC所成的角為出,AB與AC所成的角8、 面積射影定理已知平面1內(nèi)一個多邊