數(shù)列求和方法總結(jié)(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。 一、公式法 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。 1、 差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、4、例 ：已知，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 1解析：如果計(jì)算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項(xiàng)式的求和形式，可以直接利用公式。 二、錯(cuò)位相減這種方

2、法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。解：若a=0, 則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+n= 若a0且a1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 當(dāng)a=0時(shí)，此式也成立。Sn=解析：數(shù)列是由數(shù)列與對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的

3、），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。三、倒序相加這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)。例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。四、分組求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例：Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。當(dāng)

4、n為奇數(shù)時(shí)：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+1) =2×+(-2n+1) =-n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+3)+(2n+1) =2×-n (n為奇數(shù))n （n為偶數(shù)） =nSn=五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例：求數(shù)列，的前n項(xiàng)和S解：=） Sn= = =解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和，而且要注意剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下象上例中的四項(xiàng)，后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。六、合并求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例： 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 5七、拆項(xiàng)求和先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。n例：求數(shù)5，55，555，555 的前n項(xiàng)和Snn解： 因?yàn)?55=n所以 Sn=5+55+555+555 = = =解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別