中考拋物線與內(nèi)心、外心

1、 拋物線與外心【典例】（2013武漢）如圖，點P是直線l：y=2x2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點（1）若直線m的解析式為y=x+，求A，B兩點的坐標；（2）若點P的坐標為（2，t）當PA=AB時，請直接寫出點A的坐標； 試證明：對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上能找到點A，使得PA=AB成立（3）設直線l交y軸于點C，若AOB的外心在邊AB上，且BPC=OCP，求點P的坐標【練習】1.已知拋物線，以M （2，1）為直角頂點作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB（即M，A，B均在拋物線上）(三角形MAB外心在AB上)，求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標2. 設拋物

2、線，O為坐標原點，點A，B是拋物線上的點，如果OAOB(三角形OAB外心在AB上)，求證：直線AB必過定點，并求出定點坐標P(0,8)3. 已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OAOB（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；（II）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值4.如圖，拋物線y=ax2+bx3經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D在x軸負半軸上，若點D關于直線AC的對稱點E恰好在拋物線上，求點E的坐標；（3）如圖2，將拋物線的頂點平移至原點，點R為y軸正半軸上一點，過R作不平行x軸的直線交拋物線于P、Q兩點，

3、問是否存在點R使OPQ的外心在PQ邊上？若存在，求點R的坐標？若不存在，請說明理由拋物線與三角形內(nèi)心【典例】（2011武漢）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（3，0），B（1，0）兩點，（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為M，直線y=2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，問在y軸的負半軸上是否存在一點P，使PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標

4、；若不存在，說明理由【練習】1如圖，已知直線y=x+2與x軸交于點A，交y軸于C拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過A、C兩點，拋物線交x軸于另一點B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使BPC的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點Q在拋物線上，且有AQC和BQC面積相等，求點Q的坐標2已知拋物線y=，經(jīng)過C（7，m），交y軸于點A，交X軸于B、M兩點（B在左），D為拋物線的頂點（1）求D點坐標及直線AC的解析式（2）E為拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關于D對稱，求證：ACF的內(nèi)心在EF上（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使AFP與FDC相

5、似？若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由3如圖在直角坐標系中，二次函數(shù)y=x24x+k的頂點是C，與x軸相交于A，B兩點（A在B的左邊）（1）若點B的橫坐標xB滿足5xB6，求k的取值范圍；（2）若tanACB=，求k的值；（3）當k=0時，點D，E同時從點B出發(fā)，分別向左、向右在拋物線上移動，點D，E在x軸上的正投影分別為M，N，設BM=m（mOB），BN=n，當m，n滿足怎樣的等量關系時，ODE的內(nèi)心在x軸上？4（2013晉江市質(zhì)檢）如圖，拋物線y=a（x4）2+4（a0）經(jīng)過原點O（0，0），點P是拋物線上的一個動點，OP交其對稱軸l于點M，且點M、N關于頂點Q對稱，

6、連結(jié)PN、ON（1）求a的值；（2）當點P在對稱軸l右側(cè)的拋物線上運動時，試解答如下問題：是否存在點P，使得ONOP？若存在，試求出點P的坐標；否則請說明理由；試說明：OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上5（2011莆田質(zhì)檢）（1）如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+c的開口向下，頂點為D點，與y軸交于點，且經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點，若ABD的面積為8求拋物線C1的解析式；Q是拋物線C1上的一個動點，當QBC的內(nèi)心落在x軸上時，求此時點Q的坐標；（2）如圖2，將（1）中的拋物線C1向右平移t（t0）個單位長度，得到拋物線C2，頂點為E，拋物線C1、C2相交于P點，設PDE的面積為S，判斷是否

7、為定值？請說明理由6在平面直角坐標系x0y中，已知二次函數(shù)y=a（x1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tanABE=2（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若SEAP=3SEMN，求點P的坐標；（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得FMN的內(nèi)心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由7（2013南通）如圖，

8、直線y=kx+b（b0）與拋物線相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，設OCD的面積為S，且kS+32=0（1）求b的值；（2）求證：點（y1，y2）在反比例函數(shù)的圖象上；（3）求證：x1OB+y2OA=0（借助前面方法.）拋物線與外心部分題參考答案（2013武漢）如圖，點P是直線l：y=2x2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點（1）若直線m的解析式為y=x+，求A，B兩點的坐標；（2）若點P的坐標為（2，t）當PA=AB時，請直接寫出點A的坐標；試證明：對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上能找到點A，使得PA=AB

9、成立（3）設直線l交y軸于點C，若AOB的外心在邊AB上，且BPC=OCP，求點P的坐標考點：二次函數(shù)綜合題2097170專題：壓軸題分析：（1）聯(lián)立拋物線y=x2與直線y=x+的解析式，求出點A、B的坐標（2）如答圖1所示，求出點P坐標（2，2），設A（m，m2）作輔助線，構(gòu)造直角梯形PGFB，AE為中位線，求出點B的坐標（用含m的代數(shù)式表示），然后代入拋物線的解析式求出m的值；與解題思路一致設P（a，2a2），A（m，m2）作輔助線，構(gòu)造直角梯形PGFB，AE為中位線，求出點B的坐標（用含a、m的代數(shù)式表示），然后代入拋物線的解析式得到關于m的一元二次方程，根據(jù)其判別式大于0，可證明題中結(jié)

10、論成立（3）AOB的外心在邊AB上，則AB為AOB外接圓的直徑，AOB=90°設A（m，m2），B（n，n2）作輔助線，證明AEOOFB，得到mn=1再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x2的解析式，由根與系數(shù)關系得到：mn=b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構(gòu)造RtPDG，由勾股定理求出點P的坐標解答：解：（1）點A、B是拋物線y=x2與直線y=x+的交點，x2=x+，解得x=1或x=當x=1時，y=1；當x=時，y=，A（，），B（1，1）（2）點P（2，t）在直線y=2x2上，t=2，P（2，2）設A（m，m2），如答圖1所示，分別過點P

11、、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、FPA=AB，AE是梯形PGFB的中位線，GE=EF，AE=（PG+BF）GE=EF=OE+OF，OF=GEOE=2+2mAE=（PG+BF），BF=2AEPG=2m22B（2+2m，2m22）點B在拋物線y=x2上，2m22=（2+2m）2解得：m=1或3，當m=1時，m2=1；當m=3時，m2=9點A的坐標為（1，1）或（3，9）設P（a，2a2），A（m，m2）如答圖1所示，分別過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、F與同理可求得：B（2ma，2m2+2a+2）點B在拋物線y=x2上，2m2+2a+2=（2ma）2整理得：2m24am+

12、a22a2=0=16a28（a22a2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+80，無論a為何值時，關于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A，使得PA=AB成立（3）AOB的外心在邊AB上，AB為AOB外接圓的直徑，AOB=90°設A（m，m2），B（n，n2），如答圖2所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證AEOOFB，即，整理得：mn（mn+1）=0，mn0，mn+1=0，即mn=1設直線m的解析式為y=kx+b，聯(lián)立，得：x2kxb=0m，n是方程的兩個根，mn=bb=1設直線m與y軸交于點D，則OD=1易知C

13、（0，2），OC=2，CD=OC+OD=3BPC=OCP，PD=CD=3設P（a，2a2），過點P作PGy軸于點G，則PG=a，GD=OGOD=2a3在RtPDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（a）2+（2a3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=，當a=時，2a2=，P（，）點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知識點，有一定的難度第（2）問中，注意根的判別式的應用，第（3）問中，注意根與系數(shù)關系的應用【練習】1已知拋物線，以M （2，1）為直角頂點作該拋物線的內(nèi)接直

14、角三角形MAB（即M，A，B均在拋物線上），求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標考點：二次函數(shù)綜合題2097170專題：計算題分析：將一次函數(shù)與二次函數(shù)組成方程組，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系建立起系數(shù)與根的關系，又知兩直線垂直，可得比例系數(shù)之積為1，列出關于x、y的方程，利用根與系數(shù)的關系將方程轉(zhuǎn)化為直線的解析式，再判斷其所過定點解答：解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的解析式為y=kx+b，由得x24kx4b=0，x1+x2=4k，x1x2=4b，（3分），AMBM，(借助于相似可以不用這種高中的處理手法。詳見下題答案。)，（y11）（y21）+（x1+2

15、）（x2+2）=0（5分），x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2（y1+y2）+1=0，（b3）2=4（k1）2，則b=2k+1或b=2k+5，代入y=kx+b得，x2則直線AB的解析式為y=（x2）k+5，且知過定點（2，5）點評：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關系，此題設計知識面廣，各種知識錯綜復雜交織在一起，要有恒心和毅力并有足夠的經(jīng)驗方可解答2如圖，拋物線y=ax2+bx3經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D在x軸負半軸上，若點D關于直線AC的對稱點E恰好在拋物線上，求點E的坐標；（3）如圖2，將拋物線的頂點平移至原點，點R為

16、y軸正半軸上一點，過R作不平行x軸的直線交拋物線于P、Q兩點，問是否存在點R使OPQ的外心在PQ邊上？若存在，求點R的坐標？若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題2097170專題：計算題；代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合分析：（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，通過解方程組即可求出待定系數(shù)的值（2）設直線DE和直線AC的交點為F，顯然RtADF和RtACO相似，即ADF和ACO的正切、正弦、余弦值都相同，設AD=x，可由x表達出AF、DF的長，過E作EGx軸于G，由于DE關于直線AC對稱，那么DE=2DF，然后根據(jù)ADE的三角函數(shù)值求出DG、EG的長，由此得出點E的坐標表達式，再

17、代入拋物線的解析式中即可確定點E的坐標（3）拋物線在平移過程中，開口方向和大小不變，即二次項系數(shù)不變，可據(jù)此求出平移后的函數(shù)解析式，分別過P、Q作x軸的垂線，設垂足為M、N，首先根據(jù)拋物線的解析式設出P、Q兩點的坐標，若OPQ的外心在PQ邊上，那么POQ必為直角三角形，且POQ為直角，由此得出的結(jié)論為RtPMO、RtONQ相似，根據(jù)對應的直角邊成比例可求出P、Q兩點橫、縱坐標的數(shù)量關系，利用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式后結(jié)合這個數(shù)量關系即可求出點R的坐標解答：解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx3中，得：，解得故拋物線的解析式：y=x22x3（2）設直線AC與直線DE的

18、交點為F，由題意知：DEAF，且DE=2DF=2EF；DAF=CAO，F(xiàn)DA=OCA；在RtOAC中，OA=1、OC=3，則：AC=，sinFDA=sinOCA=，cosFDA=cosOCA=，tanFDA=tanOCA=；設AD=x，則：AF=ADsinADF=x，DF=ADcosADF=x，DE=2DF=x；過點E作EGx軸于G，如右圖1；在RtDEG中，EG=DEsinADF=x=x，DG=DEcosADF=x=x，OG=DGOD=x（x+1）=x1；則：E（x1，x），代入y=x22x3=（x+1）（x3）中，得：x（x4）=x，解得：x1=0（舍）、x2=E（，）（3）由題意可知，平

19、移后的拋物線解析式為：y=x2；分別過P、Q作PMx軸于M、QNx軸于N，設P（m，m2）、Q（n，n2），（m、n0），如右圖2；若OPQ的外心在PQ上，則OPQ為直角三角形，且POQ為直角；POM=OPN=90°QON，又PMO=ONQ=90°，POMOPN；=，即：=，得：mn=1；設直線PQ的解析式：y=kx+b，代入P、Q點的坐標，有：×n+×m，得：（m+n）b=mn（m+n），即：b=mn=1；R（0，1）；綜上，存在符合條件的R點，且坐標為（0，1）點評：這道題綜合考查了二次函數(shù)、函數(shù)圖象的平移規(guī)律、解直角三角形、軸對稱圖形的性質(zhì)、直角三

20、角形的外心位置以及相似三角形的應用等重要知識；（2）題需要找出關鍵銳角的三角函數(shù)值；最后一題的難度較大，通過構(gòu)建相似三角形得到P、Q兩點橫、縱坐標的數(shù)量關系尤為重要拋物線與內(nèi)心參考答案（2011武漢）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（3，0），B（1，0）兩點，（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為M，直線y=2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，問在

21、y軸的負半軸上是否存在一點P，使PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由考點：二次函數(shù)綜合題2097170專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（3，0），B（1，0）兩點，代入解析式求出即可；（2）由（1）配方得y=（x+2）21，利用函數(shù)平移當拋物線經(jīng)過點C時，當拋物線與直線CD只有一個公共點時，分別分析求出；（3）由點E、F的坐標分別為（m，m2），（n，n2），得出m+n=k，mn=3，利用作點E關于y軸的對稱點R（m，m2），作直線FR交y軸于點P，由對稱性知EFP=FPQ，此時PEF的內(nèi)心在y軸上，求出即可解答：解：（1）拋物線y=a

22、x2+bx+3經(jīng)過點A（3，0），B（1，0）兩點，解得a=1，b=4，拋物線解析式為y=x2+4x+3；（2）由（1）配方得y=（x+2）21拋物線的頂點M（2，1），直線OD的解析式為y=x于是設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），平移后的拋物線解析式為y=（xh）2+h，當拋物線經(jīng)過點C時，C（0，9），h2+h=9，解得h=，當h時，平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，當拋物線與直線CD只有一個公共點時，由方程組，得x2+（2h+2）x+h2+h9=0，=（2h+2）24（h2+h9）=0，解得h=4，此時拋物線y=（x4）2+2與射線CD只有唯一一個公共點為（3，3）

23、，綜上所述，平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點時，頂點橫坐標h的取值范圍為h=4或h；（3）設直線EF的解析式為y=kx+3（k0），點E、F的坐標分別為（m，m2），（n，n2），由得x2kx3=0，m+n=k，mn=3，作點E關于y軸的對稱點R（m，m2），作直線FR交y軸于點P，由對稱性知EPQ=FPQ，此時PEF的內(nèi)心在y軸上，點P即為所求的點由F，R的坐標可得直線FR的解析式為y=（nm）x+mn記y=（nm）x3，當x=0時，y=3，p（0，3），y軸的負半軸上存在點P（0，3）使PEF的內(nèi)心在y軸上點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及三角形內(nèi)心的特點，二次函數(shù)

24、的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握【練習】1如圖，已知直線y=x+2與x軸交于點A，交y軸于C拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過A、C兩點，拋物線交x軸于另一點B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使BPC的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點Q在拋物線上，且有AQC和BQC面積相等，求點Q的坐標考點：二次函數(shù)綜合題2915659專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)直線解析式令y=0，求出點A的坐標，令x=0求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)三角形

25、的內(nèi)心在三角形內(nèi)角平分線上，取點B關于y軸的對稱點B，連接CB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BCO=BCO，從而得到BPC的內(nèi)心在y軸上，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標；（3）分點Q在x軸上方時，根據(jù)平行線間的距離相等可得當CQAB時，AQC和BQC面積相等，然后根據(jù)點Q與點C的縱坐標相等，利用拋物線解析式列式計算即可得解；點Q在x軸下方時，設CQ與x軸相交于點D，根據(jù)AQC和BQC面積相等列式求出AD=BD，然后求出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點Q的坐標解答：解：（1）令y=0，則x+2=0，解

26、得x=5，所以，點A的坐標為（5，0），令x=0，則y=2，所以，點C的坐標為（0，2），拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過A、C兩點，解得，拋物線的解析式為y=x2x+2；（2）令y=0，則x2x+2=0，整理得，x2+4x5=0，解得x1=5，x2=1，點B的坐標為（1，0），取點B關于y軸的對稱點B（1，0），連接CB，則BCO=BCO，BPC的內(nèi)心在y軸上，設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），則，解得，所以，直線BC的解析式為y=2x+2，聯(lián)立，解得（為點C坐標，舍去），點P的坐標為（9，16）；（3）分點Q在x軸上方時，當CQAB時，AQC和BQC面積相等，此時，點Q的縱坐標與點

27、C的縱坐標相同，都是2，x2x+2=2，整理得，x2+4x=0，解得x1=4，x2=0，點Q的坐標為（4，2），點Q在x軸下方時，設CQ與x軸相交于點D，則SAQC=AD|yCyQ|，SBQC=BD|yCyQ|，AQC和BQC面積相等，AD=BD，點D的坐標為（2，0），設直線CD的解析式為y=mx+n（m0），則，解得，直線CD的解析式為y=x+2，聯(lián)立，解得（為點C坐標，舍去），點Q的坐標為（，），綜上所述，拋物線上存在點Q（4，2）或（，），使AQC和BQC面積相等點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直線與坐標軸的交點的求解方法，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式，三角形的內(nèi)

28、心的性質(zhì)，三角形的面積，難點在于（3）要分情況討論并判斷出CQ與AB的交點為AB的中點2已知拋物線y=，經(jīng)過C（7，m），交y軸于點A，交X軸于B、M兩點（B在左），D為拋物線的頂點（1）求D點坐標及直線AC的解析式（2）E為拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關于D對稱，求證：ACF的內(nèi)心在EF上（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使AFP與FDC相似？若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題2915659專題：綜合題；壓軸題分析：（1）先確定A點坐標與C點坐標，再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式，然后把拋物線配成頂點式得到頂點D的坐標和對稱軸方程；（2

29、）先求出對稱軸與直線AC的交點E的坐標，再利用對稱確定F點的坐標，然后利用待定系數(shù)法可求出直線AF的解析式為y=x+6，直線CF的解析式為y=x22，再分別求出它們與x軸的交點坐標，則可判斷這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，于是得到直線FE平分AFC，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得到ACF的內(nèi)心在EF上；（3）先計算出AF=2，DF=6，F(xiàn)C=，利用（2）中的結(jié)論可得到FAO=DFC，根據(jù)三角形相似的判定方法得到當AP：FD=AF：FC時，AFPFCD；當AP：FC=AF：FD時，AFPFDC，則可分別計算出AP的長，然后確定P點坐標解答：（1）解：把x=0代入y=x24x+6得y=6，則點A點坐標為

30、（0，6），把C（7，m）代入y=x24x+6得m=，設直線AC的解析式為y=kx+b，把A（0，6）和C（7，）代入得，解得，所以直線AC的解析式為y=x+6；y=x24x+6=（x4）22，所以D點坐標為（4，2）；（2）證明：拋物線的對稱軸為直線x=4，把x=4代入y=x+6得y=×4+6=4，所以E點坐標為（4，4），因為F與E關于D（4，2）對稱，所以F點坐標為（4，8），直線AF的解析式為y=x+6，它與x軸的交點坐標為（，0），直線CF的解析式為y=x22，它與x軸的交點坐標為（，0），因為點（，0）和點（，0）關于直線x=4對稱，所以直線FE平分AFC，所以ACF的內(nèi)

31、心在EF上；（3）解：存在理由如下：AF=2，DF=6，F(xiàn)C=，因為AFE=CFE，而AFE=FAO，F(xiàn)AO=DFC，所以當AP：FD=AF：FC時，AFPFCD，即AP：6=2：，解得AP=8，所以P點坐標為（0，2）；當AP：FC=AF：FD時，AFPFDC，即AP：=2：6，解得AP=，所以P點坐標為（0，），所以滿足條件的P點坐標為（0，2）或（0，）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線頂點坐標與對稱軸，再利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，然后運用三角形內(nèi)心的定義和三角形相似的判定與性質(zhì)進行幾何計算3如圖在直角坐標系中，二次函數(shù)y=x24x+k的頂點是C，與x

32、軸相交于A，B兩點（A在B的左邊）（1）若點B的橫坐標xB滿足5xB6，求k的取值范圍；（2）若tanACB=，求k的值；（3）當k=0時，點D，E同時從點B出發(fā)，分別向左、向右在拋物線上移動，點D，E在x軸上的正投影分別為M，N，設BM=m（mOB），BN=n，當m，n滿足怎樣的等量關系時，ODE的內(nèi)心在x軸上？考點：二次函數(shù)綜合題2915659專題：壓軸題分析：（1）令y=0，把k看作常數(shù)，解關于x的一元二次方程，得到點B的橫坐標，再列出不等式組，然后求解即可；（2）過點A作AGBC于G，作CHAB于H，根據(jù)ACB的正切值設AG=4a，CG=3a，利用勾股定理列式求出AC=5a，根據(jù)二次函

33、數(shù)的對稱性可得BC=AC=5a，求出BG=2a，再利用勾股定理列式表示出AB=2a，然后表示出BH=a，再利用勾股定理列式表示出CH=2a，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值；（3）先求出點B的坐標，再表示出OM、ON，并根據(jù)二次函數(shù)解析式表示出DM、EN，根據(jù)ODE的內(nèi)心在x軸上可知DOM=EON，然后求出DOM和EON相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得解解答：解：（1）令y=0，則x24x+k=0，解得x=2±，A在B的左邊，點B的橫坐標xB為2+，5xB6，解不等式得，k5，解不等式得，k12，所以，k的取值范圍是12k5；（2）如圖

34、，過點A作AGBC于G，作CHAB于H，tanACB=，設AG=4a，CG=3a，根據(jù)勾股定理，AC=5a，C為二次函數(shù)的頂點，BC=AC=5a，BG=BCCG=5a3a=2a，在RtABG中，AB=2a，C為二次函數(shù)的頂點，BH=AB=×2a=a，在RtBCH中，CH=2a，AB=CH，AB=（2+）（2）=2，CH=k4，2=k4，兩邊平方得，164k=k28k+16，整理得，k24k=0，解得k1=0，k2=4；（3）k=0時，y=x24x，令y=0，則x24x=0，解得x1=0，x2=4，A在B的左邊，點B的坐標為（4，0），OM=4m，ON=4+n，點D、E都在二次函數(shù)y=

35、x24x的圖象上，DM=（4m）2+4（4m），EN=（4+n）24（4+n），ODE的內(nèi)心在x軸上，DOM=EON，又DMO=ENO=90°，DOMEON，=，即=，整理得：m=n點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點問題，解一元一次不等式組，二次函數(shù)的對稱性，銳角三角函數(shù)的正切值，勾股定理的應用，三角形的內(nèi)心是角平分線的交點，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，（2）列出根據(jù)頂點C的縱坐標和AB的長度列出方程是解題的關鍵，（3）根據(jù)ODE的內(nèi)心在x軸上得到DOM=EON是解題的關鍵4（2013晉江市質(zhì)檢）如圖，拋物線y=a（x4）2+4（a0）經(jīng)過原點O（0，

36、0），點P是拋物線上的一個動點，OP交其對稱軸l于點M，且點M、N關于頂點Q對稱，連結(jié)PN、ON（1）求a的值；（2）當點P在對稱軸l右側(cè)的拋物線上運動時，試解答如下問題：是否存在點P，使得ONOP？若存在，試求出點P的坐標；否則請說明理由；試說明：OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上考點：二次函數(shù)綜合題2915659分析：（1）把原點的坐標代入拋物線解析式，列出關于a的方程0=a（04）2+4，通過解方程0=a（04）2+4來求a的值；（2）根據(jù)題意，可點，則易求得AN=OD=4，BP=x0，OA=x0如圖1所示，作NAy軸于點A，PBy軸于點B，構(gòu)建相似三角形：ANOBOP由該相似三角形的對應邊成比

37、例求得，即點P的坐標；欲證明OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上，只需證明直線l平分ONP即可解答：解：（1）把點O（0，0）代入y=a（x4）2+4，得：0=a（04）2+4，解得：（2）由（1）得：，拋物線的解析式是，即點P是拋物線上的點，設點則直線OP的解析式為：M（4，x0+8），由可得頂點Q（4，4），又點M、N關于頂點Q對稱N（4，x0）AN=OD=4，BP=x0，OA=x0若ONOP，則NOP=90°，顯然點P在第四象限，如圖1所示，作NAy軸于點A，PBy軸于點BOPB+POB=90°，OPB=AON（同角的余角相等）ANOBOP，即，即，解得：，又x04點故當點P在

38、對稱軸l右側(cè)的拋物線上運動時，存在點P的坐標，使得ONOP如備用圖，作PHl于點H由點、N（4，x0），可得：PH=x04，在RtPHN中，在RtODN中，tanPNH=tanONDPNH=OND，即直線l平分ONP，OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)心的定義在解答（1）時，也可以由ODMPBO求得DM=x08，即M（4，x0+8）5（2011莆田質(zhì)檢）（1）如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+c的開口向下，頂點為D點，與y軸交于點，且經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點，若ABD的面積為8求拋物線C1的解析式；Q是拋物

39、線C1上的一個動點，當QBC的內(nèi)心落在x軸上時，求此時點Q的坐標；（2）如圖2，將（1）中的拋物線C1向右平移t（t0）個單位長度，得到拋物線C2，頂點為E，拋物線C1、C2相交于P點，設PDE的面積為S，判斷是否為定值？請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題2915659分析：（1）由拋物線C1經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點，即可采用兩點法設拋物線C1的解析式為y=a（x+1）（x+3），又由AB=4，SABD=8，即可求得a的值，求得拋物線C1的解析式；首先由OC=OB=3，BOC=90°，求得OBC的度數(shù)，然后過B作ABQ=45°交x軸于M，交拋物線C1于Q點，即可求得直

40、線BQ的解析式，然后借助于方程即可求得點Q的坐標；（2）首先過P作PNx軸與拋物線C1另一交點記為N，連接DN，過P作直線PHDE于H，由平移，易證得PDE是等腰三角形，然后由點H是DE的中點，求得H與P的坐標，則問題得解解答：解：（1）拋物線C1經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點，y=a（x+1）（x+3）=a（x1）24a，（1分）D（1，4a），AB=4，SABD=8，4a=4，a=1，（2分）所以拋物線C1為：y=x2+2x+3，（3分）點C（0，3），OC=OB=3，BOC=90°，OBC=45°，過B作ABQ=45°交y軸于M，交拋物線C1于Q點，則Q

41、BC的內(nèi)心落在x軸上，（4分）如圖1：M（3，0），直線BQ為：y=x3，（5分）設Q（n，n2+2n+3），則n2+2n+3=n3，（6分）解得：n1=2，n2=3，（不合題意舍去）所以Q（2，5）；（7分）（2）過P作PNx軸與拋物線C1另一交點記為N，連接DN，過P作直線PHDE于H，如圖2：由平移得：DN與PE平行且相等由拋物線的對稱性得：PD=DN，PD=DE，PDE是等腰三角形（8分）（注：沒有證等腰不扣分）點H是DE的中點，H（t+1，4），（9分）當x=t+1時，y=t2+4，P（t+1，t2+4），（10分）PH=4（t2+4）=t2，（11分）又DE=t，為定值（12分）點

42、評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應用，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識此題綜合性很強，難度很大，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用6在平面直角坐標系x0y中，已知二次函數(shù)y=a（x1）2+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tanABE=2（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若SEAP=3SEMN，求點P的坐標；（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是

43、否存在這樣一條直線，使得FMN的內(nèi)心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題2915659專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線x=1，再根據(jù)AB的長度確定出點A的坐標，再根據(jù)tanABE=2求出頂點E的縱坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)點A、E的坐標確定出點M是AE的中點，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為2，然后代入拋物線解析式求出橫坐標的長度，從而得解；（3）求出點C的坐標（0，3），再根據(jù)對稱性求出新拋物線的解析式，然后設直線l的解

44、析式為y=kx+3，再與兩拋物線上解析式聯(lián)立求解得到點M、N的坐標，過點M作MGx軸于G，過點N作NHx軸于H，再根據(jù)點F的坐標判斷出EFx軸，然后根據(jù)FMN的內(nèi)心在直線EF上，則EF是MFN的平分線，從而得到MFG=NFH，再根據(jù)MGF和NHF相似，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出k值，從而得解解答：解：（1）二次函數(shù)y=a（x1）2+k的對稱軸為直線x=1，又AB=4，點A到y(tǒng)軸的距離為×41=1，點A的坐標是（1，0），tanABE=2，×4×tanABE=2×2=4，點E的縱坐標為4，頂點E的坐標為（1，4），k=4，點A（1，0）在二次

45、函數(shù)y=a（x1）2+k的圖象上，a（11）2+4=0，解得a=1，故二次函數(shù)的表達式為y=（x1）2+4；（2）如圖1，A（1，0），E（1，4），點M是AE的中點，且M（0，2），根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得，SAMN=SEMN，又SEAP=3SEMN，SAMN=SAPN，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為2，（x1）2+4=2，解得x1=1+，x2=1（舍去），故點P的坐標是（1+，2）；（3）存在理由如下：如圖2，令x=0，（01）2+4=3，所以，點C的坐標為（0，3），根據(jù)翻折的性質(zhì)，拋物線y=（x1）2+4沿y軸翻折得到的新拋物線為y=（x+1）2+4，A點的

46、對應點為點F，點F的坐標為（1，0），又E（1，4），EFx軸，設直線l的解析式為y=kx+3，聯(lián)立，解得（為點C，舍去），點N坐標為（2k，k2+2k+3），聯(lián)立，解得（為點C，舍去），點M的坐標為（2k，k22k+3），過點M作MGx軸于G，過點N作NHx軸于H，F(xiàn)MN的內(nèi)心在直線EF上，EF是MFN的平分線，MFG=NFH，又MGF=NHF=90°，MGFNHF，=，即=，整理得，k22k3=（k22k+1），即k22k1=0，解得k1=1+，k2=1，點M（2k，k22k+3）在y軸的右側(cè)，點N（2k，k2+2k+3）在對稱軸直線x=1的右邊，解得2k1，k=1，故直線EF的解析式為y=（1）