第四節(jié)最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)

1、Tuesday, December 14, 20211最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)Tuesday, December 14, 20212最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)定義：在右半S平面上既無極點也無零點，同時無純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，相應的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在右半S平面上具有極點或零點，或有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，相應的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。 在幅頻特性相同的一類系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位移最小，并且最小相位系統(tǒng)的幅頻特性的斜率和相頻特性的角度之間具有內(nèi)在的關(guān)系。 對

2、最小相位系統(tǒng)：w=0時j (w)=-90積分環(huán)節(jié)個數(shù) ； w=時j (w)=-90(n-m) 。 不滿足上述條件一定不是最小相位系統(tǒng)。 滿足上述條件卻不一定是最小相位系統(tǒng)。Tuesday, December 14, 20213最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)11)(121=sTsTsG11)(122-=sTsTsGsTsTsG12311)(-=sTsTsG12411)(-=sesTsTsG-=11)(125例：有五個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下。系統(tǒng)的幅頻特性相同。212254321)(1)(1)()()()()(wwwwwwwTTAAAAA=wwwj11211)(TtgTtg-

3、=wwwj11212)(TtgTtg-=wwwj11213)(TtgTtg-=wwwj11214)(TtgTtg-=wwwwj-=-3 .57)(11215TtgTtgTuesday, December 14, 20214最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)設 ， 可計算出下表，其中 為對數(shù)坐標中 與 的幾何中點。2110TT =2T=1/10 T=w11T21Tw1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1 -39.3 -54.9-39.3-5.1j2(w)-6.3 -50.7-90 -129.3 -173.7j3(w)6.3 50.790 129.3173.

4、7j4(w)5.139.354.939.35.1j5(w)-5.7-45-73-96.6 -578.11/10 TTuesday, December 14, 20215由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當w從0變化至時，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如 j1(w) )。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w)；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如 j4(w) )。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)Tuesday, December 14, 2021

5、6最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 在最小相位系統(tǒng)中，對數(shù)頻率特性的變化趨勢和相頻特性的變化趨勢是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對數(shù)幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。 伯德證明，對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)相頻特性在某一頻率的相位角和對數(shù)幅頻特性之間存在下述關(guān)系：-=duuctghdudA2ln1)(0wj式中j0(w)為系統(tǒng)相頻特性在觀察頻率w0處的數(shù)值，單位為弧度；u=ln(w/w0)為標準化頻率；A=ln|G(jw)|；dA/du為系統(tǒng)相頻特性的斜率，當L(w)的斜率等于20dB/dec時，dA/du =1；函數(shù)為加權(quán)函

6、數(shù)，曲線如圖2222ln2lnuuuueeeeuctgh-=Tuesday, December 14, 20217最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)上述公式稱為伯德公式。該式說明對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性與相頻特性緊密聯(lián)系的，當給定了幅頻特性，其相頻特性也隨之而定，反之亦然。因此，可只根據(jù)幅頻特性（或只根據(jù)相頻特性）對其進行分析或綜合；而非最小相位系統(tǒng)則不然，在進行分析或綜合時，必須同時考慮其幅頻特性與相頻特性。在u=0(w=w0)時 ；2lnuctgh在u=2.3，即在w0上下十倍頻程處， ；2 . 02ln=uctgh偏離此點，函數(shù)衰減很快。即相頻特性在w0處的數(shù)值

7、主要決定于在w0附近的對數(shù)幅頻特性的斜率。在u=0.69（在w0上下倍頻程處， ；1 . 12ln=uctghTuesday, December 14, 20218最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達式。解：由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個積分環(huán)節(jié)；在w=1處，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6在w=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)在w=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分

8、環(huán)節(jié)(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(=ssssG2790)(11wwwj-=tgtgTuesday, December 14, 20219最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由于低頻段斜率為-40dB/dec所以有兩個積分環(huán)節(jié)；在w=0.8處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/0.8+1) 在w=30處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1)在w=50處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec，故有慣性

9、環(huán)節(jié)(s/50+1) 1501)(1301() 18 . 01()(2=ssssKsG2222)50(1lg20)30(1lg20lg20)8 . 0(1lg20lg20)(wwwww-=KLTuesday, December 14, 202110最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在w=4時，L(w)=0，這時可以不考慮轉(zhuǎn)折頻率在w=4以上的環(huán)節(jié)的影響424lg208 . 0lg20lg20)()4(=-=wwwwwKLL048 . 04lg204lg208 . 04lg20lg2022=-=KK148 . 0=K2 . 3=K) 1501)(1301() 18 . 01

10、(2 . 3)(2=sssssGTuesday, December 14, 202111非最小相位系統(tǒng)的頻率特性 在前面所討論的例子中，當 時，對數(shù)幅頻特性的高頻漸近線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于 。具有這種特征的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。在最小相位系統(tǒng)中，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的 。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。0w)(2mn-)(2mn-結(jié)論：在s右半平面上沒有零、極點的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，相應的傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù)；反之為非最小相位系統(tǒng)。Tuesday, December 14, 202112例有兩個系統(tǒng)

11、，頻率特性分別為：TjTjjGjTjjG-=wwwwww0 ,11)(,11)(21轉(zhuǎn)折頻率都是：ww1,121=T幅頻特性相同，均為：22221log201log20)(wwwTL-=相頻特性不同，分別為：0)(, 0)(, 0)0(,)(111111=-=-wjjjwwwjTtgtgwjjjwwwj-=-=-=-)(,)(, 0)0(,)(222112Ttgtg顯然， 滿足 的條件，是最小相位系統(tǒng)；而 不滿足 的條件，是非最小相位系統(tǒng)。可以發(fā)現(xiàn)：在右半平面有一個零點。)(1wj)(2wj0)(2)(1=-mnj0)(2)(2=-mnjTuesday, December 14, 202113sssG1011)(1=最小相位系統(tǒng)sssG1011)(1-=非最小相位系統(tǒng) 該兩個系統(tǒng)的波德圖如下所示：Tuesday, December 14, 202114奈氏圖為：sssG1011)(1=最小相位系統(tǒng)10, 1=T11 . 0sssG1011)(1-=非最小相位系統(tǒng)10, 1=T11 . 0-Tuesday, December 14, 202115 對于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相位特性之間具有唯一對應關(guān)系。這意味著，如果系