向量值函數(shù)在定向曲線上的積分ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 向量值函數(shù)在定向曲線上的積分向量值函數(shù)在定向曲線上的積分( (第二類曲線積分第二類曲線積分) )二、問題的提出二、問題的提出四、第二類曲線積分的計算四、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的概念三、第二類曲線積分的概念一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量1、 帶有確定走向的曲線稱為定向曲線帶有確定走向的曲線稱為定向曲線AB 用用 表示起點為表示起點為 A , 終點為終點為 B 的定向的定向曲線曲線(弧弧).的的反反向向曲曲線線記記為為定定向向曲曲線線 .代代表表兩兩條條不不同同的的曲曲線線與與曲曲線線 的參數(shù)方程寫作：的參數(shù)方

2、程寫作：定向曲線定向曲線AB ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btBatA 對對應應終終點點對對應應其其中中起起點點表表示示：的的參參數(shù)數(shù)方方程程也也可可用用向向量量定定向向曲曲線線AB ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的點點的的向向徑徑上上對對應應參參數(shù)數(shù)表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲線上各點處的切向量的方向總是、定向光滑曲線上各點處的切向量的方向總是與曲線的走向相一致與曲線的走向相一致 .切向量為：切向量為：在其上任一點處的在其上任一點處的曲線曲線由參數(shù)方程給出的定向由參數(shù)方程給出的定向 )(, )(, )(tztytx .,

3、取取負負號號時時當當取取正正號號時時其其中中當當 baba一、一、 對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xOy 平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧 L 挪動到點 B, 求移cosABFW “(分割)大化小 “(近似)常代變“(求和)近似和 “取極限變力沿直線所作的功處理方法:動過程中變力所作的功W.ABF ABFABLxyO( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j1kMkMABxy1) “(分割)大化小.2) “(近似)常代變L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1

4、),(kkyx近似替代, ),(kk那么有kkkkyQxP),(),(kk所做的功為,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1那么用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點在kykxO3) “(求和)近似和4) “取極限nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定義定義. 設 L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧弧,假設對 L 的恣意分割和在部分弧段上恣意取點, 都存在,在定向曲線弧 L 上 對坐標的曲線積分,LyyxQxy

5、xPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim那么稱此極限為向量值函數(shù)或第二類曲線積分.在L 上定義了一個向量函數(shù)極限記作記作),(yxF( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y jLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ稱為對稱為對 坐標坐標x 的曲線積的曲線積分分;稱為對坐標稱為對坐標 y 的曲線積分的曲線積分. LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(,稱為定向積分曲線稱為定向積分曲線L.d),(d),(稱為積分表達式稱為積分表達式y(tǒng)yxQxyxP ,d稱為定向弧元素稱

6、為定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素稱為定向弧稱為定向弧的坐標的坐標為為Lrd假設記, 對坐標的曲線積分也可寫作rd)d,d(yx LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(oxyABL二、問題的提出二、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力變力 F F 沿曲線沿曲線 L L 所作的功所作的功,:BAL平面光滑曲線弧平面光滑曲線弧 jyxQiyxPyxF),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1 jyixMMiiii . ABFW,),(),(),(

7、jQiPFiiiiii 取取,),(1 iiiiiMMFW ,),(),(iiiiiiseFW 即即oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy ,d),(),( LsyxeyxF ,coscos),( jiyxe 若若記記,dcos),(cos),( LsyxQyxPW 則則,),(),(1 niiiiiiseFW ,),(),(lim10 niiiiiiseFW 三、第二類曲線積分的概念三、第二類曲線積分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),(,上上的的積積分分在在定定向向曲曲線線弧弧為為向向量

8、量值值函函數(shù)數(shù)則則稱稱積積分分同同時時存存在在與與若若積積分分處處的的單單位位切切向向量量上上點點是是定定向向弧弧有有界界上上在在向向量量值值函函數(shù)數(shù)線線弧弧面面上上一一條條光光滑滑的的定定向向曲曲為為設設LyxFsyxQyxPsyxQsyxPyxLjiyxeLjyxQiyxPyxFxoyLLLL 1.定義定義記為：記為： LryxFd),(即：即： LsyxeyxFd),(),( LsyxQyxPdcos),(cos),( LryxFd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,LLLLP x yxP x ysQ x yyQ x ys若記那么：那么： LryxFd

9、),( LyyxQxyxPd),(d),( LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,d(yx ,d稱為定向弧元素稱為定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素稱為定向弧稱為定向弧的坐標的坐標為為Lrd.d),(d),(分分也也稱稱為為對對坐坐標標的的曲曲線線積積 LyyxQxyxP,稱為定向積分曲線稱為定向積分曲線L.d),(d),(稱為積分表達式稱為積分表達式y(tǒng)yxQxyxP 3. 第二類曲線積分存在的充分條件：第二類曲線積分存在的充分條件：4.4.第二類曲線積分的性質第二類曲線積分的性質1) 第二類曲線積分具有線性

10、性質第二類曲線積分具有線性性質.d),(,)(),(必必存存在在第第二二類類曲曲線線積積分分連連續(xù)續(xù)時時上上的的曲曲線線弧弧或或分分段段光光滑滑在在光光滑滑當當 LryxFLyxF LLLyQxPyQxPyQxPyQxPdddd)dd()dd(22112211 2) 對于定向積分曲線弧的可加性對于定向積分曲線弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 LLLyyxQxyxPyyxQxyxPyyxQxyxPLLL則則則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)3LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的

11、方向有關. LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(二、第二類曲線積分的計算二、第二類曲線積分的計算,d),(d),(,0)()(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存存在在則則第第二二類類曲曲線線積積分分且且一一階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)為為端端點點的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上具具有有及及以以在在上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為平平面面光光滑滑定定向向曲曲線線弧弧 LyyxQxyxPtytxbatytxLyxQyxPbattyytxxL定理定理ttytytxQtxtytxPyyxQxyxPbaLd)()(),()()(),(d),(d),

12、( 且且根本思緒根本思緒:計算定積分計算定積分轉轉 化化求曲線積分求曲線積分特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyL .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 則則.:)(:)2(dcyyxxL .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 則則例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的的一一段段弧弧到到上上從從為為拋拋物物線線其其中中計計算算BAxyLxxyL 解一：解一：)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的的定定積積分分化化為為對對 y,2yx ABLxxyxxydd 1122d)(yyyy. 11到到從從 y 114d2yy.54 例例1.

13、)1 , 1()1, 1(,d2的的一一段段弧弧到到上上從從為為拋拋物物線線其其中中計計算算BAxyLxxyL 解二：解二：)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定積分的定積分化為對化為對 xxy xy OBAOL 01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 闡明：闡明：2) 第二類曲線積分也是化為定積分進展計算，第二類曲線積分也是化為定積分進展計算，但此時定積分的上、下限要根據(jù)標題中給定但此時定積分的上、下限要根據(jù)標題中給定的定向曲線弧的起點和終點來選定，下限不的定向曲線弧的起點和終點來選定，下限不

14、一定小于上限一定小于上限 .3) 計算第二類曲線積分時，由于涉及到積分計算第二類曲線積分時，由于涉及到積分曲線的定向問題，要慎用對稱性曲線的定向問題，要慎用對稱性. 普通地，普通地，在曲線積分化為定積分后再對定積分思索能在曲線積分化為定積分后再對定積分思索能否用對稱性簡化計算否用對稱性簡化計算 .,),(, ),()1方方程程代代入入要要用用曲曲線線上上定定義義在在yxLyxQyxP.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLxyL

15、 例例2yBAoaax解解: (1) L: (1) L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,0:,sin,cos ttaytaxxyLd2 0ttad)sin( 334a 那那么么ta22sinyBAoaax(2) L 的方程為的方程為,:, 0aaxy xyLd2 aaxd0.0 那那么么被積函數(shù)一樣，起點和終點也一樣，但途徑不被積函數(shù)一樣，起點和終點也一樣，但途徑不同積分結果不同同積分結果不同.)0 ,()0 ,()2(的的直直線線段段軸軸到到點點沿沿從從點點aBxaA 解解例例22222,.1.(Fx y ixyjLLxxy設有一平面力場一質點在場力作用沿曲線運動 求場力所做的功為直線與拋物線所圍區(qū)

16、域的邊界 按逆時針方向繞行）概念與性質可以推行到空間曲線概念與性質可以推行到空間曲線, 空間有向曲線弧空間有向曲線弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( rzyxFd),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP概念與性質可以推行到空間曲線概念與性質可以推行到空間曲線, 空間有向曲線弧空間有向曲線弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(,),(),(處處的的單單位位切切向向量量上上點點是是zyxzyxe rzyxFd),( szyxezyxFd),(),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQP

17、d)coscoscos(,),( 處處的的切切向向量量的的方方向向角角為為上上點點zyx:計算方法計算方法 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxRtytztytxQtxtztytxPbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t計算其中為的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原原式式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd222222222取取逆逆時時針針方

18、方向向的的交交線線與與為為其其中中計計算算axyxzazyxzxyzxy 解解: : 曲線曲線 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原式原式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22為順時針方向為順時針方向軸正向看軸正向看從從其中其中計算計算CzzyxyxCzyxyzxxyzC ozyxC解解: : 曲線曲線 C C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin,costytx )02:(

19、sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt例例7.d)2(d)1(,)0(sin)0 ,()0 , 0(3的值最小的值最小的積分的積分到到從從使該曲線使該曲線求一條曲線求一條曲線中中的曲線族的曲線族和和在過點在過點 LyyxxyAOLaxayAO 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)絡：三、兩類曲線積分之間的聯(lián)絡：,)()( tytxL ：設有向平面曲線弧為設有向平面曲線弧為,),( 的方向角為的方向角為處的切向量處的切向量上點上點yxL LLsQ

20、PyQxPd)coscos(dd 則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 可以推行到空間曲線上可以推行到空間曲線上 例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的的一一段段弧弧到到從從為為沿沿拋拋物物線線其其中中積積分分化化為為對對弧弧長長的的曲曲線線把把yxLyyxQxyxPL 解解,10:,2 yyx L的方程為的方程為,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 LsyyxQyyxyP.d41),(41),(222四、小結四、小結1、第二類曲線積分的概念、第二類曲線積分的概念2、第二類曲線積分的計算、第二類曲線積分的計算3、兩類曲線積分

21、之間的聯(lián)絡、兩類曲線積分之間的聯(lián)絡思索題思索題 當當曲曲線線L的的參參數(shù)數(shù)方方程程與與參參數(shù)數(shù)的的變變化化范范圍圍給給定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常數(shù)數(shù)），試試問問如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示為為順順時時針針方方向向、逆逆時時針針方方向向）？思索題解答思索題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當當t從從 0 變變到到 2時時，L取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當t從從 2變變到到 0 時時，L取取順順時時針針方方向向.一、一、

22、填空題填空題: :1 1、 對對_的曲線積分與曲線的方向有關；的曲線積分與曲線的方向有關；2 2、 設設0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限對應于對應于L的的_點點, ,上限上限 對應于對應于L的的_點；點；4 4、兩類曲線積分的聯(lián)系是、兩類曲線積分的聯(lián)系是_ _. .練練 習習 題題二、二、 計算下列對坐標的曲線積分計算下列對坐標的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其其中中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界( (按按 逆時針方向繞行逆時針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其其中中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時針方向饒行按逆時針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中為為有有向向閉閉折折線線ABCD, ,這這里里 的的CBA,依依次次為為點點( (1 1, ,0 0, ,0 0