平面向量的概念線性運算基本定理及坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積知識點與同步練習(xí)

1、平面向量的概念、線性運算、基本定理及坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積一、向量的概念1. 向量：既有大小有方向的量叫做向量只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量AB的長度（或稱模），記做|AB|.2. 幾何表示：向量可以用有向線段表示長度：向量AB的大小，也就是向量向量也可用字母a, b,c（印刷用黑體a，手寫用a）或用表示向量的有向線段的起點T和終點表示.例如，AB，CD .零向量：長度為0的向量記做0 單位向量：長度為1的向量平行向量：方向相同或相反的向量.記作a / /b規(guī)定：零向量與任一向量平行3. 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量記做a = b注意：向量相等與有向線段的起點無關(guān)共線向量：任一

2、組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫共線向量二、平面向量的線性運算（向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算）1向量加法的三角形法則已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點A，作 AB 二 a，BC二b，則向量AC叫做a和b的和，記做a + b，即a + b 二 AB BC求兩個向量和的運算，叫做 向量的加法這種方法稱為向量加法的三角形法則2向量加法的平行四邊形法則以同一個點 0為起點的兩個已知向量 a、b為鄰邊作OACB,則以0為起點的對角線TT T T0C是a與b的和，即a+ b = OA OOC此法叫做向量加法的平行四邊形法則規(guī)定：對零向量與任一向量 a， a + 0= 0

3、+a = a3.小結(jié)論對任意向量a、b，有|a+b|_|a|+|b| ；當(dāng) a、b 同向時,|a + b|=|a|+ |b| ；當(dāng) a、b 反向是，|a + b|=|a| -|b| (或 |b| -|a |)4.向量加法 交換律：a + b = b+ a ；向量加法 結(jié)合律:（a + b）+ c = a + （b+ c）5. 與a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.規(guī)定：零向量的相反向量是零向量6. 向量減法的幾何意義：a - b可以表示為從向量 b的終點指向向量a的終點的向量.7. 向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù) 乘，記作 a，它的長度與方

4、向規(guī)定如下：(1)a 円|a 1 ；(2)當(dāng)1、.、0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)/. :, 0時，二a的方向與a的方向相同.8. 數(shù)乘的運算律：(1)(a)=(i )a ; (2)()a - a a ; (3) (a b) - a ：. ；，.b.9. 向量共線充要條件：向量a(a = 0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使 a .三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量基本定理 如果e,、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一個實數(shù)、 2，使得a ' 1 e,. 2 e2把不共線的向量e,、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的基底.2. 向量

5、的夾角 已知兩個非零向量 a和b，作OA二a，= b，則.AOB-班0：180) 叫做向量a與b的夾角.如果a與b的夾角是90，稱a與b垂直，記作a _ b.當(dāng)v -0：時，a與b同向；當(dāng)v -180時，a與b反向.3. 正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4. 向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量 a，由平面基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a = x i yj這樣，平面內(nèi)的任一向量 a都可以由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x, y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a = (x, y).其中

6、x， y分別叫做a在x軸上，在y軸上的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示5. 平面向量的坐標(biāo)運算(1) 若 a= (X1,yJ，b=(X2,y2)，則 ab=(為 _ X2, % - y?)；(2) 若 a = (x, y), R ,則 a = ( x, y)； 若 A(X1,yJ, B(X2, y2)，則 AB = (x? -為，y? - ).6. 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a =(為，), b = (x?,y2)(b = 0),則向量a、b(b = 0)共線的充要條件為x2 -x?% =0.7.設(shè) R（X1,yJ, P2（X2,y2）.（1）若 P 是 RP

7、2 的中點，則 P =（學(xué)，學(xué)）；若pP"PF2，則卩=（詩,璽）.前三部分總結(jié)1. 向量相等（長度和方向）.2. 加法的三角形法則（首尾相連）、四邊形法則（起點相同）及其幾何意義 注意與平面幾何相結(jié)合小結(jié)論：（1） G為 ABC的重心（中線的交點）二 Ga+GB+Gc G 2XL_3 ,y1 y2 y3 G為二ABC的外心二 GA 二 GB 二 GC3.共線（平行）向量. a （論，yj ,b（X2, y2）（b =0） a /b：= a = b：= x°2 -X2yi =0 ； A,B,C三點共線二AB/AC.4.平面向量基本定理a = e 2e2（e1,仝不共線）四、

8、平面向量的數(shù)量積: 1、向量的夾角概念:，那么射線OA,OB的夾IT 彳T對于兩個非零向量 a,b，如果以O(shè)為起點，作OA二a,OB二角v叫做向量a與向量b的夾角，其中o _二“：二2、向量的數(shù)量積概念及其運算:（1）定義：如果兩個非零向量 a,b的夾角為二，那么我們把|a|b|cosr叫做向量a與向量b的數(shù)量積，記做ab即：a Lb = a b cos 日.（2）投影：b在a上的投影是一個數(shù)量 bcos日，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為4、向量的模長:3、向量的夾角公式:（3 ）坐標(biāo)計算公式:=沁y20A . A、B、DB . A、B、CC. B、C、DD. A、C、D5、平面向量的平行與垂

9、直問題：（1）若a二（片，比），b二&22），a/b，則xy?細(xì)1二0=Q= x1x2y1y 0（2 ）若 2 =（石，），b = （X2，y2），a _ b，則 Ob 例:、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用: 1、向量數(shù)量積定義的應(yīng)用d例1（1）已知=1,b =2,向量 a,b 的夾角為 § ,求（a 2bL（2a -b）（2）已知= （2,1）,b =（3, 一4）,求：（a bL（a -3b）;若二-1, b_c 二 9，求C的坐標(biāo)2、向量的夾角問題例2（1）已知向量a、b都是非零向量，且向量a 3b與向量7a-5b垂直，向量ffT T* fa -4b與向量7a - 2 b垂直，

10、求向量a與b的夾角。（2）若向量a = x,2x ， b=：；：-3x,2，且a， b的夾角為鈍角，求 x的取值范圍基礎(chǔ)練習(xí)：一、選擇題1. 下列向量給中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A . & =（0,0）, e2 =（1，一 2） ；B . e1=（-1,2）, ©2 =（5,7）;1 3C. e1 =（3,5）, 62 =（6,10）;D. e1 =（2,-3） , e2 = （,_）2 4Tf2. 已知向量 a、b,且AB=a+2b , BC = -5a+6b ,CD =7a-2b,則一定共線的三點是（）3. 如果ei、 e2是平面a內(nèi)兩個不共線的向

11、量，那么在下列各說法中錯誤的有 ？+血2(入吐R)可以表示平面 a內(nèi)的所有向量； 對于平面a中的任一向量a,使a=?ei+的入有無數(shù)多對；k,使 ?2ei+(_2e2=k(Xiei+ pie2); 若向量 恥什e2與 g+陽代共線，則有且只有一個實數(shù) 若實數(shù) 入使 &+叵=0，則啟尸0.A .B .C.D .僅5.若向量 a=(1,1), b= (1,-1) , c=(-2,4),則 c=A . - a+3b3 a-bC. a-3 bD . -3a + b6 .平面直角坐標(biāo)系中, I I OC = aOA + BOB ,O為坐標(biāo)原點,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點 C(x,

12、 y)滿足其中A . 3x+2y-11=0填空題a R且a+ B=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為2 2(x-1) +(y-2) =5 C . 2x-y=0D . x+2y-5=07. 作用于原點的兩力F 1 =(1,1) , F2 =(2,3),為使得它們平衡，需加力F3=TI8 若 A(2,3), B(x, 4),C(3,y),且 AB=2AC,則 x=, y=;1下 打9.已知 A(2,3),B(1,4)且 AB=(sin acos®, a 氏(-,-),則 a+ B=10 .已知a=(1,2) , b=(-3,2),若ka+ b與a-3b平行，則實數(shù) k的值為11、 若a b

13、0，則a與b的夾角的取值范圍是。12、 |a10,| bH36,a b = -180 , a 與 b 的夾角是 。13、已知a =(m,2),b=(-3,5),若a與b的夾角為鈍角，實數(shù) m的取值范圍為 14、已知 |a|=1,|b|= -、2,(a -b) _ a，則 a 與 b 的夾角是三、解答題15. 已知向量b與向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26，求b16 .如果向量AB = i-2j , BC = i+mj ,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定 實數(shù)m的值使A、B、C三點共線。17.已知 A、B、C 三點坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),33求證：EF/AB18.已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若 AP=AB ACG.WR)，試求入為何值時，點P在第三象限內(nèi)？19、已知a =(2,-1),b =(m,m -1),若a與b的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍。20、已知a、b都是非零向量，且 a 3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直,44求a與b的夾角。21、從BC 中，A